2025版高考数学全程一轮复习练习第七章七向量法求立体几何中的折叠探索及最值问题

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第七章七向量法求立体几何中的折叠探索及最值问题，共16页。
会用向量法解决立体几何中的折叠、角的存在条件及最值问题，提高学生空间想象能力、数学运算能力．
关键能力·题型剖析
题型一 折叠问题
例1 [2024·江西景德镇模拟]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝2，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD.
(1)证明：平面PAC⊥平面ACD；
(2)若M为PD上的一点，点P到平面ACM的距离为，求二面角M-AC-D的余弦值．
[听课记录]
题后师说
折叠问题的两个解题策略
巩固训练1
[2024·辽宁锦州模拟]如图一， △ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上的点，AD＝BE＝AC＝2；如图二，将△CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置，PO＝3.
(1)求证：OP⊥平面ABED；
(2)求二面角B-PE-F的正弦值．
题型二 探索性问题
例2 [2024·河北石家庄模拟]如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，SA＝SB＝AB＝2，AD＝.
(1)证明：BD⊥平面SOC；
(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[听课记录]
题后师说
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”转化为“点的坐标的方程是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知条件和结论列出等式，解出参数．
巩固训练2
[2024·河南郑州模拟]在底面ABCD为梯形的多面体中．AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2CD＝2，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
题型三 最值问题
例3 [2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
[听课记录]
题后师说
利用向量法求解与角有关的最值问题时，往往将问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等方法可供选择．
巩固训练3
如图，已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E，F为圆弧AB上的两个三等分点，EH，FG为母线，P，Q分别为线段AD，FG上的动点(与端点不重合)，经过C，P，Q的平面α与线段EH交于点M.
(1)证明：CP∥MQ；
(2)当AP＝GQ时，求平面α与圆柱底面O所成夹角的正弦值的最小值．
高考大题研究课七 向量法求立体几何中的折叠、探索及最值问题
关键能力·题型剖析
例1
解析：(1)证明：在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，
∵BC∥AD，BC＝AN＝AD，
∴四边形ABCN为平行四边形，∴AB＝CN，
∴CN＝AD，∴CD⊥AC；
∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊂平面ACD，∴平面PAC⊥平面ACD.
(2)分别取AC，AD中点O，G，连接PO，OG，
∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD＝AC，PO⊂平面PAC，
∴PO⊥平面ACD，∵O，G分别为AC，AD中点，
∴OG∥CD，∴OG⊥平面PAC，
则以O为坐标原点，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，A(，0，0)，C(－，0，0)，D(－，2，0)，
∴＝(，－2，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，2，0)，＝(－2，2，0)，＝(，0，－1)，
设＝λ＝(λ，－2λ，λ)(0