人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第10课 实数全章复习与巩固（教师版）

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第10课 实数全章复习与巩固（教师版），共17页。试卷主要包含了实数的分类，1010010001…，实数与数轴上的点一 一对应，实数的三个非负性及性质，实数的运算，实数的大小的比较等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 平方根和立方根
知识点02 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
注意：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统
称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：
①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
能力拓展
考法01 平方根与算数平方根的定义
【典例1】下列说法错误的是
A．5是25的算术平方根B．1的立方根是
C．没有平方根D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根和平方根及立方根的定义逐一求解可得．
【详解】
解：是25的算术平方根，此选项说法正确；
B.1的立方根是1，此选项说法错误；
C.没有平方根，此选项说法正确；
D.0的平方根与算术平方根都是0，此选项说法正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根及立方根的定义．
【即学即练】16的平方根是_________，算术平方根是__________.
【答案】 ±4 4
【解析】
【详解】
∵42=16，(−4)2=16，
∴16的平方根为±4；
算术平方根为4.
故答案为±4，4.
【即学即练】若的平方根是±4，则a＝___．
【答案】256
【解析】
【分析】
根据平方根与算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：∵的平方根是±4，
∴，
∴，
故答案为：256．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根与算术平方根的定义：如果，那么就叫做b的平方根，如果对于两个正数有，则a是b的算术平方根．
【即学即练】（1）的平方根是________；
（2）的平方根是________，算术平方根是________；
（3）的平方根是________，算术平方根是________；
（4）的平方根是________，算术平方根是________．
【答案】 5
【解析】
【分析】
分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可．
平方根的定义：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根；
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．
【详解】
（1）的平方根是________；
（2）的平方根是________，算术平方根是____5____；
（3）的平方根是________，算术平方根是_____；
（4）的平方根是____，算术平方根是___．
故答案为： （1）；（2），5（3），；（4），
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
【即学即练】填空：
（1）一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________．
（2）一个数的立方等于它本身，这个数是________；一个数的立方根等于它本身，这个数是________．
【答案】 0或1 0 0或1 0或 0或
【解析】
【分析】
平方表示两个相同因数的相乘；平方根，又叫二次方根，一个正数有两个实数平方根，它们互为相反数，负数没有平方根；正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根；
立方表示指数为3的乘方运算即表示三个相同数的乘积；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根．也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．
根据特殊数的平方、平方根、算术平方根、立方、立方根，对各空填写即可．
【详解】
解：（1）一个数的平方等于它本身，这个数是0或1；
一个数的平方根等于它本身，这个数是0；
一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1；
（2）一个数的立方等于它本身，这个数是0或；
一个数的立方根等于它本身，这个数是0或．
故答案为：0，1；0；0或1；0或；0或．
【点睛】
本题是对平方，平方根，算术平方根，立方根的考查，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．
考法02 平方根的性质
【典例2】已知一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，则这个数是____
【答案】16
【解析】
【分析】
根据平方根的概念可得，然后求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，
∴，
解得：，
∴这个数是；
故答案为16．
【点睛】
本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．
【即学即练】若2a+1和a﹣7是数m的平方根，则m的值为___．
【答案】25或225
【解析】
【分析】
由题意易知2a+1+a-7=0，然后求解a的值，进而问题可求解．
【详解】
解：∵2a+1和a﹣7是数m的平方根，
∴2a+1+a-7=0或2a+1=a-7，
解得：a=2或a=-8，
∴或 m=225；
故答案为25或225．
【点睛】
本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．
【即学即练】若4a＋1的平方根是±5，则的算术平方根是_________．
【答案】6
【解析】
【详解】略
考法03 算数平方根的性质
【典例3】|x+2|++（2y﹣8）2＝0，则x+y+z＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由绝对值与算术平方根、平方的非负性解得x=-2，z=1，y=4，即可计算x+y+z的值．
【详解】
解：根据题意得，
x+2=0，=0，2y﹣8=0
解得x=-2，z=1，y=4，
所以x+y+z=-2+4+1=3
故答案为：3．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及绝对值与算术平方根、平方的非负性，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【典例4】被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．
【答案】10
【解析】
略
考法04 解方程
【典例5】解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解方程即可．
【详解】
【点睛】
本题考查了根据平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
【即学即练】求方程中x 的值（x﹣1）2 ﹣16 = 0
【答案】或
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解方程即可，平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数)
【详解】
解：（x﹣1）2 ﹣16 = 0
或
解得或
【点睛】
本题考查了根据平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
【即学即练】求下列式子中的x值：4（1+x）2＝49．
【答案】或．
【解析】
【分析】
利用平方根解方程即可得．
【详解】
解：，
，
或，
或．
【点睛】
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键．
考法05 立方根
【典例6】（1）一般地，如果___________，那么这个数叫做a的立方根或___________；数a的立方根记为___________：在“”中，a是___________，3是___________；
（2）正数的立方根是___________；负数的立方根是___________；0的立方根是___________．___________都有立方根．
【答案】 （1）一个数的立方等于a， 三次方根， ， 被开方数， 根指数； （2）正数， 负数， 0； 任何一个数
【解析】
【分析】
根据立方根的概念可得答案．
【详解】
⑴一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；数a的立方根记为：在中，a是被开方数，3是根指数；
⑵正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．任何一个数都有立方根．
故答案为：①一个数的立方等于a， ②三次方根，③，④被开方数，⑤根指数；⑥正数，⑦负数， ⑧0，⑨任何一个数．
【点睛】
本题考察了立方根的概念，牢记概念填空即可．
【即学即练】计算：______．
【答案】-5
【解析】
【分析】
由题意直接根据立方根的性质即可进行分析求值.
【详解】
解：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查立方根求值，熟练掌握立方根的性质是解题的关键.
【即学即练】计算：（1）______； （2）_______； （3）_______；（4）______； （5）______； （6）______；（7）______．
【答案】 3 30 2.3
【解析】
【分析】
（1）直接利用立方根的定义即可求解；
（2）直接利用立方根的定义即可求解；
（3）直接利用立方根的定义即可求解；
（4）直接利用立方根的定义即可求解；
（5）直接利用立方根的定义即可求解；
（6）利用算术平方根和立方根的定义即可求解；
（7）利用算术平方根和立方根的定义即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴，即；
（4）
∵，
∴，即；
（5），
∵，
∴；
（6）；
（7）．
故答案为：3，，，，30，，2.3．
【点睛】
本题考查立方根和算术平方根．熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．
【典例7】已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝________．
【答案】﹣3780
【解析】
【分析】
由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y．
【详解】
解：∵≈1.558，≈﹣15.58，
∴y＝﹣3780．
故答案为：﹣3780．
【点睛】
本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．
【即学即练】；；；；；______，_______．
【答案】 5.848， 12.60
【解析】
【分析】
根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．
【详解】
解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：5.848，12.60．
【点睛】
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．
【典例8】求下列各式中的值：
；
【答案】；
【解析】
【分析】
把原方程化为，再利用立方根的含义解方程即可；
【详解】
解：

解得：
【点睛】
本题考查的是利用立方根的含义与平方根的含义解方程，掌握“立方根与平方根的含义”是解本题的关键.
【即学即练】求下列各式中的x的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据立方根解方程即可．
【点睛】
本题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
【即学即练】求下列各式中的x，
【答案】
【解析】
【分析】
方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.
解：方程变形得：，
开立方得：1-2x＝−3，
解得：x＝2.
【点睛】
此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【即学即练】求下列各式中的：
【答案】x=-3．
【解析】
【分析】
先求得（x+1）3的值，然后依据立方根的定义列方程求解即可．
解：∵2（x+1）3=-16，
∴（x+1）3=-8．
∴x+1=-2，
解得x=-3．
【点睛】
本题主要考查的是立方根、平方根，熟记立方根及平方根的定义是解题的关键．
【即学即练】已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，求3a-b的值．
【答案】18
【解析】
【分析】
利用平方根，立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，
∴2a-1=9，3a+b-4=8，
解得：a=5，b=-3，
∴3a-b=18．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【即学即练】若与互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据互为相反数的和为零，可得方程，再根据等式的性质变形．
【详解】
由题意可得：，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相反数的概念以及立方根，利用互为相反数的和为零得出方程是解题关键．
【典例9】正方体的体积为，则它的棱长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可．
【详解】
正方体的体积为
它的棱长为cm
故答案为：
【点睛】
本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．
【即学即练】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）
【答案】（1）0.5h；（2）9.65km
【解析】
【分析】
（1）根据，其中d=6km是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；
（2）根据，其中t=6h，是雷雨持续时间，开立方，可得答案；
【详解】
（1）．这场雷雨大约能持续0.5h．
（2）
【点睛】
本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
课程标准
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
算术平方根
平方根
立方根
定义
若正数x，，正数x叫做a的算术平方根，。
若数x，，数x叫做a的平方根，
若数x，，数x叫做a的立方根，。
a的范围
a是任意数
表示
(根号a)
(正负根号a)
(三次根号a)
正数有一个算术平方根，是正数
正数有两个平方根，它们互为相反数
正数有一个立方根，是正数
0的算术平方根是0
0的平方根是0
0的立方根是0
负数没有算术平方根
负数没有平方根
负数有一个立方根，是负数
性质
双重非负性
被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
被开方数小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。