2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.当a=−6时，二次根式 3−a的值为( )
A. 3B. 3C. ± 3D. ±3
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
3.某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是( )
A. 该校300名八年级学生是总体B. 抽取的50名学生是总体的一个样本
C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体D. 样本容量是6
4.下列计算中，正确的是( )
A. 32+42=3+4=7B. 8÷2=2
C. 2+ 3=2 3D. 8× 2=4
5.为执行“两免一补“政策，某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是( )
A. 4900x2=6400B. 4900(1+x)2=6400
C. 4900(1+x%)2=6400D. 4900(1+x)+4900(1+x)2=6400
6.下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 平行四边形一定是轴对称图形
7.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H.若AC=8，BD=6，则DH的长度为( )
A. 485
B. 365
C. 245
D. 4
8.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF=3，则EF的长是( )
A. 32
B. 3
C. 32
D. 3+12
9.如图，已知正方形ABCD的面积为6.它的两个顶点B，D是反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上两点，若点D的坐标是(m,n)，则m−n的值为( )
A. −6
B. −3
C. − 3
D. − 6
10.如图，在正方形ABCD中，AB=3，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作HG⊥BD于G，连结AH.在以下四个结论中：
①AF=HE；
②∠HAE=45∘；
③FG=3 22；
④FH= 2.
其中正确的结论有( )
A. ①③
B. ②③
C. ③④
D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若二次根式 2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
12.一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球______个.
13.两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母x；乙同学：当x=2时，分式的值为0.请你写出满足上述全部特点的一个分式______.
14.若关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x无解，则m的值为______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE//BC交AB于点E，若AB=DE=3，则BD的长为______.
16.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处.若EG⊥CD，BE=5，DG=3，则AE的长为______.
17.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则△GDF的面积为______.
18.如图，点A(2,a)在双曲线y=−6x(x>0)上，过D(−2,0)作直线AD交双曲线y=kx(x>0)于点B，过A作AC⊥x轴于C，连接BC，若△ABC的面积为1，则k的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1) 32−4 12+ 2；
(2)( 5−1)2+ 15÷ 3.
20.(本小题8分)
解方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)2x−2+6xx2−4=3x+2.
21.(本小题4分)
化简求值：1−a−2a÷a2−4a2+a，其中a= 5−2.
22.(本小题8分)
我校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人必选且只选一类最喜欢的课程)，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次随机调查的学生人数为多少；
(2)补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中m的值；
(4)若该校七年级共有1000名学生，请估计我校七年级学生选择“编织”劳动课的人数．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE=4，∠BCF=120∘，求菱形BCFE的面积.
24.(本小题6分)
如图1，平行四边形ABCD.
(1)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，用无刻度的直尺与圆规作出折痕.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB=5，AD=3 2，∠A=45∘，则BE=______(如需画草图，请使用图2).
25.(本小题8分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等.
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC中，∠ABC=90∘，∠A=30∘，AC=4，顶点A在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，若双曲线y=kx(k≠0)交边AC于中点D，交边AB于点E.
(1)若OA=7，求k值；
(2)若AE=13AB，求k值以及点D的坐标.
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，点P在x轴的正半轴上移动，将矩形OABC沿着PC对折，点O的对应点为O′，已知OA=4，OC=3.
(1)如图，当点O′恰好落在对角线AC上时，求直线PO′所对应的函数表达式.
(2)当P、O′、B三点在同一直线l上时，直接写出直线l所对应的函数表达式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当a=−6时，
二次根式 3−a= 3−(−6)= 9=3.
故选：B.
把a=−6代入二次根式 3−a，即可解决问题．
本题主要考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的化简求值．
2.【答案】A
【解析】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
3.【答案】C
【解析】解：A.该校300名八年级学生每周课外阅读时间是总体，原说法错误，故本选项不合题意；
B.抽取的50名学生每周课外阅读时间是总体的一个样本，原说法错误，故本选项不合题意；
C.每个八年级学生每周课外阅读时间是个体，说法正确，故本选项符合题意；
D.样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：C.
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4.【答案】D
【解析】解：A. 32+42= 25=5，所以A选项不符合题意；
B. 8÷2=2 2÷2= 2，所以B选项不符合题意；
C.2与 3不能合并，所以C选项不符合题意；
D. 8× 2= 8×2=4，所以D选项符合题意．
故选：D.
根据二次根式的性质对A、B选项进行判断；根据二次根式的加法运算对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，
∴4900(1+x)2=6400.
故选B.
这两年投入教育经费的年平均增长率为x，根据某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元可列方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
6.【答案】C
【解析】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
故A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，
∴一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，
∴对角线相等的菱形是正方形，
故C符合题意；
平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，
故D不符合题意，
故选：C.
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断B不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断C符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC= OB2+OC2= 32+42=5，
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC⋅DH=12AC⋅BD，
即5DH=12×8×6，
解得：DH=245，
故选：C.
由菱形的性质和勾股定理得BC=5，再由S菱形ABCD=BC⋅DH=12AC⋅BD，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠BCD=90∘，AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由折叠可知，∠ACB=∠ACE，
∴∠CAF=∠ACF，而AF=3，CE平分∠ACD，
∴AF=CF=3，∠ACB=∠ACF=∠FCD=30∘，
∴DF=12CF=32，
∴EF=DF=32，
故选：A.
根据矩形的性质得∠D=∠BCD=90∘，AD//BC，由平行线的性质得∠DAC=∠ACB，由折叠的性质得∠ACB=∠ACE，于是∠CAF=∠ACF，则AF=CF=3，证明∠ACB=∠ACF=∠FCD=30∘即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、利用平行线的性质和折叠的性质推出AF=CF=2是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为6，
∴AB=AD= 6，
∵点D的坐标是(m,n)，
∴点B的坐标是(m+ 6,n− 6)，
∵点B，D是反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上两点，
∴mn=(m+ 6)(n− 6)，
∴m−n=− 6，
故选：D.
求出AB=AD= 6，然后表示出点B的坐标，再根据点B，D在反比例函数图象上列式计算即可．
本题考查了坐标与图形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出点B的坐标是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45∘.
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS).
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF.
∵∠ALH+∠LAF=90∘，
∴∠LHC+∠DAF=90∘.
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC.
∴FH=AF，
∵FH⊥AE，
∴FH∴AF②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45∘，故②正确；
③连接AC，交BD于点O，
∴BD⊥AC，
在△AFO和△FHG中，
∠FAO=∠HFG∠AOF=∠FGHAF=HF，
∴△AFO≌△FHG(AAS)，
∴FG=AO，
∵AO=12AC=12× 2×AB=3 22，
∴FG=3 22，故③正确；
④若FH= 2，则AH= 2⋅FH= 2× 2=2，
∴AH故④错误．
综上所述，②③正确．
故选：B.
①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；AF②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45∘，据此得证；
③利用条件证明△AFO≌△FHG，可得FG=AO=12AC，可得结论；
④若FH= 2，则AH= 2⋅FH= 2× 2=2，AH本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练添加辅助线是解题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】解：由题意知2x−6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3.
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】12
【解析】解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4=20(个)，
所以袋子中有红球20−8=12(个)，
故答案为：12.
先用白球的个数除以摸到白球的频率稳定值求出球的总个数，继而可得答案．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】x−2x(答案不唯一)
【解析】解：根据题意可得：x−2x(答案不唯一).
故答案为：x−2x(答案不唯一).
根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
14.【答案】−6
【解析】解：原方程2xx−3−1=m3−x，
方程两边同乘x−3得，2x−x+3=−m，
∵关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x无解，
∴x−3=0，即x=3，
∴3+3=−m，
解得m=−6，
故答案为：−6.
先把分式方程通过去分母化为整式方程，再根据分式方程无解即x=3，再把x=3代入整式方程即可求出m的值．
本题考查了分式方程的解，熟知分式方程无解的意义是解题的关键．
15.【答案】3 52
【解析】解：∵∠ABC=90∘，点D为Rt△ABC斜边AC的中点，
∴AD=CD=BD=12AC，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠ABC=90∘，DE//BC，
∴∠DEA=90∘，即DE⊥AB，
∴AE=BE，即点E为AB的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6，
在Rt△ABC中，AC2= AB2+BC2= 32+62=3 5，
∴BD=12AC= 5.BD=12AC=3 52.
故答案为：3 52.
根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD=BD=12AC，证得△ABD是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出点E为AB的中点，从而得到DE是Rt△ABC的中位线，最后根据勾股定理求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定和勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16.【答案】916
【解析】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H=90∘，
∵EG⊥CD，
∴BH//EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC=CD，
∴BE//GH，
∴四边形BEGH是平行四边形，
∴GH=BE=5，
由折叠得GE=BE=5，
∴BH=GE=5，
∵DG=3，
∴DH=DG+GH=3+5=8，
∵BH2+CH2=BC2，CH=8−CD=8−AB，
∴52+(8−AB)2=AB2，
解得AB=8916，
∴AE=AB−BE=8916−5=916，
故答案为：916.
作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH//EG，由四边形ABCD是菱形，得AB=BC=CD，BE//GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH=BE，由折叠得GE=BE，则BH=GE，所以DH=DG+GH，由勾股定理得求得AB的值，所以AE=AB−BE，于是得到问题的答案．
本题考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】9 2−92
【解析】解：过点D作EF的平行线，交AE于点M，交FG于点N.
则MN⊥AE，MN⊥FG.
由旋转可得，AE=AB，EF=BC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠ADE=90∘，
∴AD=BC=EF=DE=3，MN=EF=3，
∴AE=AB=FG= AD2+DE2=3 2，∠DAM=45∘，
∴DM=AD⋅sin45∘=3× 22=3 22，
∴DN=MN−DM=3−3 22，
∴△GDF的面积为12FG⋅DN=12×3 2×(3−3 22)=9 2−92.
故答案为：9 2−92.
过点D作EF的平行线，交AE于点M，交FG于点N，则MN⊥AE，MN⊥FG.由旋转可得，AE=AB，EF=BC，结合矩形的性质可得AD=BC=EF=DE=3，MN=EF=3，AE=AB=FG= AD2+DE2=3 2，DM=AD⋅sin45∘=3 22，则DN=MN−DM=3−3 22，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查旋转的性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
18.【答案】−283
【解析】解：∵点A(2,a)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴a=−3，即AC=3，
∴A(2,−3)，
∵△ABC的面积为1，
∴△ABC中AC边上的高为：23，
∴点B的横坐标为2+23=83，
设直线AD的解析式为y=kx+b，A(2,−3)，D(−2,0)在一次函数图象上，
2k+b=−3−2k+b=0，解得k=−34b=−32，
∴直线AD解析式为y=−34x−32，
当x=83时，y=−34×83−32=−72，
∴B(83,−72)，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=83×(−72)=−283.
故答案为：−283.
先求出a值，再求出直线AD的解析式，根据面积求出点B的横坐标，代入直线解析式得到点B的纵坐标，继而得到k值．
本题考查了反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
19.【答案】解：(1) 32−4 12+ 2
=4 2−2 2+ 2
=3 2；
(2)( 5−1)2+ 15÷ 3
=5+1−2 5+ 5
=6− 5.
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据完全平方公式进行计算，同时根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(1)2x2−4x−1=0；
2x2−4x=1，
x2−2x=12，
x2−2x+1=1+12，
(x−1)2=32，
∴x−1=± 62，
∴x1=1+ 62，x2=1− 62；
(2)2x−2+6xx2−4=3x+2，
2(x+2)+6x=3(x−2)，
2x+4+6x=3x−6，
5x=−10，
x=−2，
经检验，x=−2是增根，原分式方程无解．
【解析】(1)根据配方法解方程即可；
(2)将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可．
本题考查了分式方程的解法：(1)解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】解：原式=1−a−2a⋅a(a+1)(a+2)(a−2)
=1−a+1a+2
=1a+2，
当a= 5−2时，
原式=1 5= 55.
【解析】先化简，再带入求解．
本题考查了分式的化简及二次根式的运算，因式分解是解题的关键．
22.【答案】解：(1)18÷30%=60(人)，
答：本次随机调查的学生人数为60人；
(2)“电工”的频数为60−15−18−6−12=9(人)，补全条形统计图如图所示：
(3)15÷60×100%=25%，即m=25，
答：m=25；
(4)1000×1260=200(人)，
答：该校七年级1000名学生中选择“编织”劳动课的大约有200人．
【解析】(1)由两个统计图可得，“厨艺”的频数为18，占调查人数的30%，根据频率=频数总数可求出答案；
(2)求出“电工”的频数即可补全条形统计图；
(3)根据频率=频数总数可求出“厨艺”所占的百分比，确定m的值；
(4)样本估计整体，求出样本中“编织”所占的百分比，进而估计整体中“编织”所占的百分比，进而求出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
23.【答案】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，且BC=2DE.
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF//BC.
∴四边形BCFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).
(2)解：在菱形BCFE中，∠BCF=∠BEF=120∘，BE=BC，
∴∠EBC=60∘.
∴△EBC是等边三角形．
∴BE=BC=CE=4.
过点E作EG⊥BC于点G.
∴BG=2.
∴EG= BE2−BG2=2 3.
∴S菱形BCFE=BC⋅EG=4×2 3=8 3.
【解析】(1)根据点D和E分别是AB和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到DE//BC，且BC=2DE，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
(2)根据∠BEF的大小，可判定△EBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作EG⊥BC于点G，运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
24.【答案】 10
【解析】解：(1)如图1中，点E即为所求；
(2)如图2中，过点E作EH⊥AB于点H，BJ⊥CD于点J.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3 2，∠C=∠DAB=45∘，AB//CD，
∴BJ=JC=3，
∵EH⊥AB，BJ⊥CD，
∴EH=BJ=3，
∵AE=AB=5，
∴AH= AE2−EH2= 52−32=4，
∴BH=AB−AH=5−4=1，
∴BE= EH2+BH2= 32+12= 10.
故答案为： 10.
(1)以A为圆心，AB为半径作弧交CD一点E，连接AE，点E即为所求；
(2)如图2中，过点E作EH⊥AB于点H，BJ⊥CD于点J.求出EH，BH，利用勾股定理求解．
本题考查作图-轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x+0.4)万元，
由题意得：24x+0.4=16x，
解得：x=0.8，
经检验，x=0.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.4=0.8+0.4=1.2，
答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是1.2万元；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，
由题意得：30−m≤2m，
解得：m≥10，
设所需费用为w万元，
由题意得：w=1.2m+0.8×(30−m)=0.4m+24，
∵0.4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值=0.4×10+24=28，
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为28万元．
【解析】(1)设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x+0.4)万元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
26.【答案】解：(1)过点C作CF⊥x轴于F，如图1所示：

∵∠ABC=90∘，AB⊥x轴，
∴四边形ABCF为矩形，
∴AF=BC，CF=AB，
在Rt△ABC中，∠A=30∘，AC=4，
∴BC=12AC=2，由勾股定理得：AB= AC2−BC2=2 3，
∴AF=BC=2，CF=AB=2 3，
∵OA=7，
∴OF=OA−AF=5，点A(7,0)，
∴点C(5,2 3)，
∵点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(6, 3)，
∵点D在双曲线y=kx(k≠0)上，
∴k=6 3；
(2)由(1)可知：CF=AB=2 3，BC=AF=2，
∴AE=13AB=2 33，
∴设OF=t，则OA=OF+AF=t+2，
∴点C(t,2 3)，点A(t+2,0)，点E(t+2,2 33)，
∵点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(t+1, 3)，
∵点D，E均在双曲线y=kx(k≠0)上，
∴k= 3(t+1)=2 33(t+2)，
解得：t=1，
∴k= 3(t+1)=2 3，
∴点D的坐标为(2, 3).
【解析】(1)过点C作CF⊥x轴于F，则四边形ABCF为矩形，先求出AF=BC=2，CF=AB=2 3，再根据OA=7得OF=OA−AF=5，从而得点A(7,0)，点C(5,2 3)，则点D(6, 3)，将点D的坐标代入y=kx之中即可求出k的值，
(2)由(1)可知CF=AB==2 3，BC=AF=2，则AE=13AB=2 33，设OF=t，则OA=OF+AF=t+2，则点C(t,2 3)，点A(t+2,0)，点E(t+2,2 33)，进而得点D(t+1, 3)，将的点D，E的坐标代入y=kx之中得t=1，由此即可得出k的值及点D的坐标．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，含有30∘角的直角三角形，理解反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握含有30∘角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)过O′作O′H⊥OA于H，如图：
∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴AC= 42+32=5，
∵将矩形OABC沿着PC对折，点O的对应点为O′，
∴CO′=OC=3，O′P=OP，∠CO′P=∠COP=90∘，
∴∠AO′P=90∘，O′A=AC−CO′=5−3=2，
∴O′P2+O′A2=AP2，即OP2+22=(4−OP)2，
解得OP=32，
∴P(32,0)，O′P=32，AP=4−OP=52，
∵2S△APO′=AP⋅O′H=O′A⋅O′P，
∴O′H=O′A⋅O′PAP=2×3252=65，
∴PH= O′P2−O′H2= (32)2−(65)2=910，
∴OH=OP+PH=32+910=125，
∴O′(125,65)，
设直线PO′所对应的函数表达式为y=kx+b，
∴125k+b=6532k+b=0，
解得k=43b=−2，
∴直线PO′所对应的函数表达式为y=43x−2；
(2)∵BC//OP，
∴∠BCP=∠CPO，
∵将矩形OABC沿着PC对折，点O的对应点为O′，
∴∠CPO′=∠CPO，
∴∠BCP=∠CPO′，
∴BP=BC=4，
∴AP= BP2−AB2= 42−32= 7，
∴OP=OA+AP=4+ 7，
∴P(4+ 7,0)，
设直线l所对应的函数表达式解析式为y=mx+n，把P(4+ 7,0)，B(4,3)代入得：
(4+ 7)m+n=04m+n=3，
解得m=−3 77n=21+12 77，
∴直线l所对应的函数表达式解析式为y=−3 77x+21+12 77.
【解析】(1)过O′作O′H⊥OA于H，求出AC= 42+32=5，根据将矩形OABC沿着PC对折，点O的对应点为O′，得CO′=OC=3，O′P=OP，∠CO′P=∠COP=90∘，由勾股定理得OP2+22=(4−OP)2，OP=32，即知P(32,0)，O′P=32，AP=4−OP=52，用面积法求出O′H=O′A⋅O′PAP=2×3252=65，可得O′(125,65)，再用待定系数法得直线PO′所对应的函数表达式为y=43x−2；
(2)求出P(4+ 7,0)，设直线l所对应的函数表达式解析式为y=mx+n，把P(4+ 7,0)，B(4,3)代入求出m，n，即可得到答案．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，待定系数法求一次函数解析式等，解题的关键是掌握待定系数法和求出相关点坐标．