2023-2024学年北京市燕山地区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市燕山地区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 25的结果为( )
A. ±5B. 25C. −5D. 5
2.下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
3.如图，在▱ABCD中，∠A+∠C=140∘，则∠B的度数为( )
A. 140∘B. 120∘C. 110∘D. 100∘
4.如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为( )
A. 90∘B. 45∘C. 30∘D. 22.5∘
5.某羽毛球队20名队员的年龄数据如下表：
则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 6，15B. 8，8C. 15，8D. 15，15
6.如图，菱形 ABCD的对角线交于点O，点 M为AB的中点，连接OM，若AC=6，BD=8，则OM的长为( )
A. 52B. 4C. 5D. 3
7.在平面直角坐标系xOy中，点Px1,y1,Qx2,y2都在函数y=−2x+3的图象上．若x1A. 点P在第二象限B. 坐标原点不在此函数图象上
C. y1>y2D. y2<3
8.直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足S+S=S的图形的序号是( )
A. ①②B. ①③④C. ②③D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若 x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.计算： 14÷ 7=__________.
11.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+1的图象，y的值随x的增大而增大，则符合条件的k的值可以是__________.(写出一个即可)
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是__________.
13.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：“今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，这块沙田的面积是__________平方丈
14.“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用 x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系(不考虑水量变化对压力的影响)的是__________(填序号即可).
15.已知王红家、体育场、早餐店在同一直线上，右图反映的过程是：王红从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到早餐店去买早餐，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示王红离家的距离．根据图象王红在体育场停留时间是__________分钟；早餐店到王红家距离是__________km.
16.有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________.
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：( 12+ 20)+( 3− 5).
18.(本小题8分)
计算：3 5×2 10.
19.(本小题8分)
已知x= 5−1，求代数式x−12+4x−3的值．
20.(本小题8分)
下面是小明设计的作菱形ABEF的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF(点E在BC上，点F在AD上).
作法：如图，
①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF，所以四边形ABEF为所求的菱形．

(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵AF=AB，BE=AB，
∴______=______，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，
即AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，(______)(填推理的依据)
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．(______)(填推理的依据)
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是BO,DO中点．
求证：四边形AECF是平行四边形．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−2x+5的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B
(1)求A， B两点的坐标；
(2)若点C1,b在一次函数y=−2x+5的图象上，求△AOC的面积．
23.(本小题8分)
一次函数y=kx+1(k≠0)的图象过点P−3,2，与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象；
(2)已知点C−1,0，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
24.(本小题8分)
如图，菱形 ABCD对角线AC和BD相交于点O， E是AD的中点，点 F， G在线段AB上，EF⊥AB，OG//EF.
(1)求证：四边形 OEFG是矩形；
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长．
25.(本小题8分)
3月14日是国际圆周率日，也是国际数学节．某校在这一天组织了数学集市的活动，该校的每位同学都上交了一幅作品，评委从作品的有创意的版面设计和数学在高科技领域中的广泛应用两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.所有作品版面设计和广泛应用单项得分的平均数、中位数如下：
b.甲、乙两位同学作品的得分如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在所有作品中，记在版面设计这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为p1；记在广泛应用这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为p2，则p1p2(填“>”，“=”或“<”).
(2)若按版面设计占40%，广泛应用占60%计算每位同学作品的平均得分，那么甲同学作品的平均得分是，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是 (填“甲”或“乙”).
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点A0,−1和B4,3，与过点0,−3且平行于x轴的直线交于点C.
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值大于函数y=kx+bk≠0的值，直接写出m的取值范围．
27.(本小题8分)
在Rt△ABC中，CA=CB，∠C=90∘，点 D在直线CA上(点 D 与点A、点C不重合)，连接BD，过点 D 作DB的垂线交直线AB于点 E，过点A作AB的垂线交直线DE于点F.
(1)如图1，当点 D在线段CA上时，
①求证：∠ABD=∠AFD；
②用等式表示线段AB，AD，AF之间的数量关系并证明.
(2)如图2，当点D在射线AC上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段AB，AD，AF之间的数量关系.
28.(本小题8分)
定义：对于给定的一次函数.y=ax+ba≠0,把形如y=ax+bx≥0−ax+b(x<0)的函数称为一次函数y=ax+b的衍生函数.
(1)已知函数y=x+1，若点P1,b,Q−2,b在这个一次函数的衍生函数图象上，则b 1=_，b 2=_
(2)已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0),B(1,2),C(−3,2),D(−3,0)，当函数y=kx−3k>0)的衍生函数的图象与矩形ABCD有1个交点时k=.当函数y=kx−3k0))的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出k的取值范围.
(3)已知点E(0,t)，以OE为一条对角线作正方形OMEN，当正方形OMEN与一次函数y=2x−2的衍生函数图象有两个交点时，求t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，此题容易出错选择A，应引起同学们的注意．
根据算术平方根的定义，直接得出 25表示25的算术平方根，即可得出答案．
【解答】
解：∵ 25表示25的算术平方根，
∴ 25=5.
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C.
利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C,AB//CD，
∴∠C+∠B=180∘，
∵∠A+∠C=140∘，
∴∠C=∠A=70∘，
∴∠B=110∘；
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
如图，折痕为 AC 与 BD ，∠ABC=90∘，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得∠ABD=45∘，∠BAC=45∘.所以剪口与折痕所成的角α的度数应为45∘.
解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=12∠ABC，∠BAC=12∠BAD，∠ABC=∠BAD=90∘，
∴∠ABD=45∘，∠BAC=45∘.
∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45∘.
故选：B.
5.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：由表可知，这组数据中15出现8次，次数最多，
所以这组数据的众数为15岁，
这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为15+152=15(岁).
故选：D.
6.【答案】A
【解析】【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
由菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=12AC=3，OB=OD=12BD=4，则∠AOB=90∘，所以AB= OA2+OB2=5，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM=12AB=52，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×6=3，OB=OD=12BD=12×8=4，
∴∠AOB=90∘，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
∵点M为AB的中点，
∴OM=12AB=52.
故选：A.
7.【答案】D
【解析】【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可．
【详解】∵y=−2x+3，−2<0，3>0
∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限
∵x1∴y1>y2，故C选项正确，不符合题意；
∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意；
∵当x=0时，y=3，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意；
∵x1∴y2>3，故D选项错误，符合题意；
故选：D.
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的S1,S2,S3，再结合a2+b2=c2进行逐一判断即可．
【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得S1= 34a2,S2= 34b2,S3= 34c2，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴S1+S2= 34a2+ 34b2= 34c2=S3，故图①符合题意；
图②中，由半圆的面积计算公式可得S1=18πa2,S2=18πb2,S3=18πc2，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴S1+S2=18πa2+18πb2=18πc2=S3，故图②符合题意；
图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得S1=14a2,S2=14b2,S3=14c2，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴S1+S2=14a2+14b2=14c2=S3，故图③符合题意；
图④中，由正方形的面积计算公式可得S1=a2,S2=b2,S3=c2，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3，故图④符合题意；
故选：D
9.【答案】x≥0
【解析】【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数x的取值范围.
详解：被开方数为非负数，故x≥0.
故答案为x≥0.
点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零.
10.【答案】 2
【解析】【分析】根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解： 14÷ 7= 14÷7= 2
故答案为： 2.
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键．
根据题意得到k>0，进而求解即可．
【详解】∵一次函数y=kx+1的图象，y的值随x的增大而增大，
∴k>0
∴符合条件的k的值可以是1(答案不唯一).
故答案为：1(答案不唯一).
12.【答案】(5,4)
【解析】【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5,4).
故答案为：(5,4).
13.【答案】84
【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意，画出示意图如下：
∵AB=24丈，BC=7丈，AC=25丈，
∴AB2+BC2=242+72=625，AC=252=625，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90∘，
∴S△ABC=12AB•BC=12×24×7=84(平方丈)，
故答案为：84.
14.【答案】②
【解析】【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，
∴图象②适合表示y与x的对应关系．
故答案为：②．
15.【答案】15
1.5

【解析】【分析】本题考查利用函数图象解决实际问题，正确的读懂图象给出的信息是解题的关键．
根据图象进行作答即可．
【详解】由图象可得，王红在体育场停留时间是30−15=15分钟，
早餐店到王红家距离是1.5km.
故答案为：15，1.5.
16.【答案】2026
【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，
故答案为：2026.
17.【答案】解：( 12+ 20)+( 3− 5)
=2 3+2 5+ 3− 5
=3 3+ 5.

【解析】【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
18.【答案】解：原式=6 50
=6 25×2
=6×5 2
=30 2.

【解析】【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
19.【答案】∵x= 5−1
∴x−12+4x−3
=x2−2x+1+4x−3
=x2+2x+1−3
=x+12−3
= 5−1+12−3
=5−3
=2.

【解析】【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键．
把x= 5−1代入x−12+4x−3变形后的结果，即可得到答案．
20.【答案】(1)

(2)∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，
即AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．(一组邻边相等的平行四边形是菱形)

【解析】【分析】(1)根据题意直接作图即可；
(2)由作图可得AF=BE，结合平行四边形的对边平行，可得四边形ABEF为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和菱形的判定以及基本作图，正确理解题意、熟知菱形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】证明：∵▱ABCD，
∴AO=CO,BO=DO，
∵E，F分别是BO,DO中点，
∴OE=12BO，OF=12DO，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．

【解析】【分析】由▱ABCD可知，AO=CO,BO=DO，由E，F分别是BO,DO中点，可得OE=12BO，OF=12DO，即OE=OF，进而结论得证．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
22.【答案】(1)解：对于y=−2x+5，
当y=0时，0=−2x+5，
解得：x=52，
∴点A的坐标为52,0,
当x=0时y=5，
∴点B的坐标为0,5；
(2)解∶ ∵点C1,b在一次函数y=−2x+5的图象上，
∴b=−2×1+5.
∴b=3.
∴SAOC=12×52×3=154.

【解析】【分析】该题主要考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数图象上点的特征：
(1)利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可；
(2)由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解．
23.【答案】(1)解：将P−3,2代入y=kx+1k≠0，
得：k=−13，
函数表达式：y=−13x+1，
令x=0，y=1，
∴与y轴交于点B0,1；
画出函数y=−13x+1的图象如下：
；
(2)解：在y=−13x+1中，令y=0，则有0=−13x+1，
解得：x=3，
∴A3,0，
分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为−4,1；
②AB为对角线时，点D的坐标为4,1，
③AC为对角线时，点D的坐标为2,−1.
综上所述，点D的坐标是−4,1或4,1或2,−1.

【解析】【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
(1)将P−3,2代入y=kx+1(k≠0)可求出k的值，由一次函数解析式可得出答案．
(2)分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质可得出点D的坐标．
24.【答案】(1)证明：∵菱形ABCD对角线AC和BD相交于点O，
∴DO=BO.
∵E是AD的中点，
∴EO//AB.
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90∘，
∴四边形OEFG是矩形．
(2)解∶∵四边形ABCD是菱形，
∶.AC⊥BD,AB=AD=10.
在Rt△AOD中， E为AD中点，
∴AE=12AD=5,OE=12AD=5.
∵EF=4，
∴在Rt△AFE中，AF= AE2−EF2= 52−42=3，
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=EO=5，
∴BG=AB−AF−FG=2.

【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点：
(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG//EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由四边形OEFG是矩形，得到即可．
25.【答案】(1)解：由版面设计的平均数大于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为p1小于所有学生数的一半；由广泛设计的平均数小于于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为p2大于所有学生数的一半，故p1故答案为：<.
(2)解：乙同学作品的平均得分为85×40%+88×60%=86.8，
甲同学作品的平均得分为86×40%+87×60%=86.6，
因为86.8>86.6，
则甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是乙．
故答案为：乙．

【解析】【分析】本题主要考查了中位数、平均数、加权平均数等知识点：
(1)根据中位数和平均数的意义即可解答；
(2)根据加权平均数的定义可求得乙同学作品的平均得分，再求出甲的加权平均数，与乙比较即可解答．
26.【答案】(1)解：将A0,−1、B4,3代入函数表达式y=kx+b可得：
b=−14k+b=3，
解得k=1b=−1，
则函数的表达式为y=x−1，
依题得，过点0,−3且平行于x轴的直线为y=−3，
∵C是该函数与过点0,−3且平行于x轴的直线的交点，
∴x−1=−3，
解得x=−2，y=x−1=−2−1=−3，
即C−2,−3.
(2)解：当直线y=mx过点C时，
即把−2,−3代入y=mx，
得−2m=−3，
m=32，
∵当x>−2时，对于x的每一个值，y=mxm≠0的值大于y=x−1的值，
∴−2m≥−2−1，
解得m≤32，
当y=mx与直线y=x−1平行时，m=1，
此时，满足条件，
且当m<1时，不满足条件，
即1≤m≤32.

【解析】【分析】(1)将A、B坐标分别代入函数表达式y=kx+b，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为−3对应的自变量的值即可得到C点坐标；
(2)分情况讨论：当直线y=mx过点C时和当直线y=mx与直线y=x−1平行时，即可得到符合条件的m的取值范围．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题．
27.【答案】(1)①证明：∵CA=CB，∠C=90∘，
∴∠ABC=∠BAC=180∘−90∘2=45∘，
∵BD⊥DF，AB⊥AF，
∴∠ADF+∠BDC=90∘，∠CBD+∠BDC=90∘，
∴∠CBD=∠ADF，
∴∠AFD+∠ADF=180∘−90∘−45∘=45∘，
∵∠CBD+∠ABD=45∘，
∴∠ABD=∠AFD；
②解：在CB上截取CG=CD，
∵CA=CB，CG=CD，
∴GB=DA，∠CGD=∠CDG=45∘，
∵∠C=90∘，∠BAF=90∘，
∴∠BGD=∠DAF=90∘+45∘=135∘，
在△BDG与△DFA中，
∵∠GBD=∠ADF∠BGD=∠DAFGB=DA，
∴△BDG≌△DFA(ASA)，
∴BG=AF，
在Rt△CDG与Rt△ABC中，
AB2=2AC2，AF2=DG2=2CD2，
∵AD=AC−CD，
∴AB= 2AD−AF；
(2)解：图形如图所示，AB= 2AD−AF，理由如下，
过D作DH//BC，
∵CA=CB，CG=CD，
∴GB=DA，∠CGD=∠CDG=45∘，
∵DH//BC，
∴∠DHB=∠ABC=45∘，∠ADH=∠ACB=90∘，
∴∠DAH=∠AHD=45∘，
∴AD=DH，
∴AH= 2AD，
∵∠FDB=∠ADB=90∘，
∴∠ADF=∠BDH，
在△ADF与△HDB中，
∵∠FAD=∠DHB=45∘AD=DH∠ADF=∠BDH
∴△ADF≌△HDB(ASA)，
∴AF=BH，
∴AH= 2AD=AB+BH=AB=AF，
∴AB= 2AD−AF.

【解析】【分析】(1)本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据CA=CB，∠C=90∘得到∠ABC=∠BAC=180∘−90∘2=45∘，根据BD⊥DF，AB⊥AF得到∠ADF+∠BDC=90∘，∠CBD+∠BDC=90∘∠AFD=180∘−90∘−45∘=45∘，即可得到证明；②在CB上截取CG=CD，证明△BDG≌△DFA，结合勾股定理即可得到答案；
(2)本题考查三角形全等的判定与性质，过D作DH//BC，先证明△ADF≌△HDB，得到AF=DH，即可得到答案；
28.【答案】(1)由题意得：函数y=x+1的衍生函数为y=x+1x≥0−x+1(x<0)
∵点P1,b1,Q−2,b2在这个一次函数的衍生函数图象上，
∴b 1=1+1=2，b 2=−−2+1=3；
(2)由题意得：函数y=kx−3k>0)的衍生函数为y=kx−3x≥0−kx−3(x<0)，
当函数y=−kx−3k>0)的衍生函数的图象与矩形ABCD有1个交点时如图所示，
此时y=−kx−3过点−3,0，解得：k=1；
②由题意得：函数y=kx−3k>0)的衍生函数为y=kx−3x≥0−kx−3(x<0)
当点D在衍生函数y=−kx−3k<0)上时k取最小值，0=3k−3，解得：k=1
当点A在衍生函数y=kx−3k>0)上时k取最大值，0=k−3，解得：k=3
当函数y=kx−3k>0))的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，k的取值范围是1(3)一次函数y=2x−2的衍生函数为y=2x−2x≥0−2x−2(x<0)
∵正方形OMEN，
当E在y轴正半轴上
∴ON与x轴正半轴的夹角为45∘
∴直线ON的表达式为y=x
联立y=2x−2y=x，解得：x=2y=2
∴N(2,2),M(−2,2)
∴MN=4
∴OE=4
∴E(0,4)
∴t=4；
∵正方形OMEN，
当E在y轴负半轴上
∴OM与x轴正半轴的夹角为45∘
∴直线OM的表达式为y=−x
联立y=2x−2y=−x，解得：x=23y=−23
∴M(23,−23),N(−23,−23)
∴MN=43
∴OE=43
∴t=−43；
如图，当E0,−2时，正方形OMEN与一次函数y=2x−2的衍生函数图象有三个交点
∴t<−2
综上：t的取值范围是t=4或t=−43或t<−2

【解析】【分析】(1)根据衍生函数的定义求解即可；
(2)根据题意求出y=kx−3k>0)的衍生函数，画出图形即可求出答案；根据题意画出图形，当点D在衍生函数y=−kx−3k<0)上时k取最小值，当点A在衍生函数y=kx−3k>0)上时k取最大值，求解即可；
(3)分情况讨论：当E在y轴正半轴上，当E在y轴负半轴上，分别画出图形，结合图形求解即可
本题考查新定义函数，利用点与分段函数的关系求函数值，与矩形、正方形交点个数确定范围，掌握新定义函数，利用点与分段函数的关系求函数值，与矩形、正方形交点个数确定范围分类讨论构造方程求解是解题关键．
年龄/岁
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85
广泛应用
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