2023-2024学年北京市怀柔区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市怀柔区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算 9的结果为( )
A. 3B. 3C. ±3D. 9
2.如图，▱ABCD中，∠D=25∘，则∠A=( )
A. 50∘B. 65∘C. 115∘D. 155∘
3.点P2,4在正比例函数y=kxk≠0的图象上，则k的值为( )
A. −2B. −1C. 2D. 3
4.下列计算正确的是( )
A. 8− 2= 6B. 2 2+2=4 2C. 2× 8=4D. 8÷ 2=4
5.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.如图，一次函数y=−2x+4与y=kx+bk≠0的图象交于点P，则关于x的不等式−2x+4>kx+b的解集是( )
A. x<−1B. x>2C. x>3D. x<3
7.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5.D是AC边中点，E是AB边中点，下列结论中，正确的是( )
A. ∠A=30∘B. ∠C=90∘C. BD=2.5D. ED=2.5
8.如图，正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，AE=CF，连接DE，DF，EF，M为EF中点，连接DM，CM.若∠ADE=α，则∠CMF=( )
A. 45∘−12αB. 30∘−αC. 45∘−αD. α
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若 x+3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.将直线y=2x向下平移3个单位得到的直线为__________.
11.已知点P−1,y1，Q3,y2在一次函数y=kx+1k≠0的图象上，且y112.如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，若设学校旗杆的高度是xm，则可列方程为__________.
13.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADC=60∘，AO=2，以O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，则点D的坐标为__________.
14.如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CD=OD，点P是矩形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP=__________ ∘.
15.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y(单位：cm)是指距x(单位：cm)的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：
小明的身高是180cm，一般情况下，他的指距约是__________cm(保留整数).
16.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB,AC,BC的中点，点M是线段DE上任意一点，点N是∠ABC和∠ACB平分线的交点，连接DE,EF.有以下结论：
①∠BNC=2∠A；
②△MBC的面积是△ABC面积的一半；
③保持∠ABC的大小不变，改变AB的长度可使四边形DBFE是菱形成立；
④保持AB的长度不变，改变∠ABC的大小可使四边形DBFE是正方形成立．
其中所有正确结论是：__________.(填序号即可)
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27− 12+3 13；
(2) 18× 6−2 32.
18.(本小题8分)
已知a= 5+1，求代数式a2−2a+7的值．
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，且MD=NB，MN，AC相交于点O.求证：OM=ON.
20.(本小题8分)
已知：∠MAN.求作：菱形ABDC.
作法：如上图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；
②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD,BD；四边形ABDC就是所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=AC,AE平分∠CAB，
∴CO=.
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形( )(填推理的依据).
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形( )(填推理的依据).
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DE⊥AB交AB于点E，连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=10，AC=16，求OE的长．
22.(本小题8分)
某区八年级学生进行体质健康测试，抽取50名女生在一分钟内的仰卧起坐数量(单位：个)，数据整理如下：
a.50名女生仰卧起坐频数分布表
b.50名女生仰卧起坐频数分布直方图
c.51≤x≤60数据如下：
52 53 53 53 53 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 60 60 60
(1)频数分布表中a=______，b=______，c=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)在51≤x≤60这组数据中，中位数为______；
(4)1分钟53个(不含53)以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全校1000人一共多少人可加分？
23.(本小题8分)
某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打8折出售；
B超市：20个以内(含20个)不打折，超过20个后，超过的部分打7折．
该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付y1元，去B超市购买应付y2元．
(1)分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
(2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算．
24.(本小题8分)
一次函数y=kx+bk≠0图象与一次函数y=12x+1图象平行，且函数图象经过点−2,−3.
(1)求k，b的值；
(2)当x>−2时，对于自变量x的每一个值，一次函数y=mx的值均大于y=kx+bk≠0值，直接写出m的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2α45∘<α<90∘，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE.过点A作射线AP，使得∠EAP=α，过点E作EF⊥AE交射线AP于点F.
(1)①依题意补全图形；
②求证：∠EAC=∠DAF；
(2)连接OF，DF，用等式表示线段OF，DF之间的数量关系，并证明．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点Pa,b.如果存在点Qa′,b′，满足a′=a−b，b′=a+b，则称点Q为点P的“非常点”．
(1)如图1，在Q1−1,3，Q23,−1，Q3−1,−1中，点P1,−2的“非常点”是______；
(2)若点Pa,b在第一象限，且a>b，判断△POQ的形状并证明；
(3)直线y= 3x+2 3与x轴，y轴分别交于G，H两点，若线段GH上存在点P的非常点Q，请直接写出线段OP长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解： 9=3，
故选：B.
2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据行四边形的性质可得AB//CD，再利用平行线的性质，即得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A+∠D=180∘，
∴∠A=180∘−∠D=180∘−25∘=155∘.
故选D.
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出4=2k，解之即可得出k的值．
【详解】∵点P2,4在正比例函数y=kxk≠0的图象上，
∴4=2k
∴k=2
故选C.
4.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减、乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】A. 8− 2=2 2− 2= 2，计算错误，故此选项不符合题意；
B.2 2和2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C. 2× 8= 16=4，计算正确，故此选项符合题意；
D. 8÷ 2= 4=2，计算错误，故此选项不符合题意；
故选C.
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛．
【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小，故选甲．
故选：A.
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线y=−2x+4在y=kx+bk≠0上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由题意得：不等式−2x+4>kx+b表示函数y=−2x+4的图象在函数y=kx+bk≠0图象上方的部分，
由图可知：该不等式的解集为：x<3，
故选：D.
7.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得∠B=90∘，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得BD=12AC=2.5，ED=12BC=2，即可求解．
【详解】解：∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90∘，故A，B选项错误；
∵D是AC边中点，E是AB边中点，
∴BD=12AC=2.5，ED=12BC=2，故C选项正确；D选项错误；
故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】在BC上截取CP=CF，连接PE，运用正方形的性质证明△ADE≌△CDF，运用全等三角形的性质证明是等腰三角形，再用等腰三角形性质求∠MFC=45∘−α，证明MC是的中位线，则得到∠MCB=∠BPE=45∘，最后由三角形外角性质得到∠CMF，即可得到答案．
【详解】解：在BC上截取CP=CF，连接PE，
∵正方形ABCD，
∴AD=DC=AB=BC，∠A=∠B=∠DCF=∠ADC=90∘，
在△ADE和△CDF中
AD=DC∠A=∠DCF=90∘AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE=α，
∴∠CDF+∠CDE=∠ADE+∠CDE，
即∠EDF=∠ADC=90∘，
∵DE=DF，∠EDF=90∘，
∴∠DEF=∠DFE=45∘，
∵∠CDF=α，∠DCF=90∘，
∴∠MFC=180∘−∠CDF−∠DCF−∠DFE=180∘−α−90∘−45∘=45∘−α，
∵点M是EF的中点，CP=CF，
∴MC是△EPF的中位线，
∴CM//EP，
∴∠BPE=∠MCB，
∵AB=BC，AE=CP=CF，
∴BE=BP，
∵∠B=90∘，
∴∠BEP=∠BPE=45∘，
∴∠MCB=∠BPE=45∘，
∵∠MFC=45∘−α，
∴∠CMF=∠MCB−∠MFC=45∘−45∘−α=α，
故选：D.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，能够灵活运用各性质，作出合适的辅助线构造出全等三角形是解决问题的关键．
9.【答案】x≥−3
【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得x+3≥0
∴x≥−3
故答案为：x≥−3.
10.【答案】y=2x−3.
【解析】【分析】根据平移后解析式的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”进行求解即可．
【详解】解：直线y=2x向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为y=2x−3.
故答案为：y=2x−3.
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，明确图象的平移变化规律是解题关键．
11.【答案】1
【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，由−1<3时，y10，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：∵点P−1,y1，Q3,y2在一次函数y=kx+1k≠0的图象上，
∴当−1<3时，y1∴y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴取k=1，
故答案为：1(答案不唯一).
12.【答案】x2+52=x+12
【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设学校旗杆的高度是xm，根据勾股定理得到：x2+52=x+12，
故答案为：x2+52=x+12.
13.【答案】2 3,0
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，由菱形的性质可得AC⊥BD，∠ADO=12∠ADC=30∘，进而由直角三角形的性质得到AD=2AO=4，再利用勾股定理得OD= AD2−AO2=2 3，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADO=12∠ADC=30∘，
∴∠AOD=90∘，
∴AD=2AO=4，
∴OD= AD2−AO2= 42−22=2 3，
∴点D的坐标为2 3,0，
故答案为：2 3,0.
14.【答案】75
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；根据四边形ABCD是矩形，可得OC=OD，再根据CD=OD，求出∠COD的度数，再利用BP=BC，即可求出∠BCP的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，OB=OC，
∵CD=OD，
∴CD=OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠DOC=60∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30∘；
∵BP=BC，
∴∠BCP=(180∘−30∘)÷2=75∘.
故答案为：75.
15.【答案】21
【解析】【分析】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当y=180时x的值即可．
【详解】解：设身高y(单位：cm)是指距x(单位：cm)的一次函数解析式为y=kx+b，当x=16时，y=133，当x=18时，y=151，
则16k+b=13318k+b=151，
解得k=9b=−11，
∴y=9x−11，
当y=180时，180=9x−11，
解得x≈21，
即小明的身高是180cm，一般情况下，他的指距约是21cm，
故答案为：21.
16.【答案】②③
【解析】【分析】连接BM,CM,BE根据三角形内角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形BFED是平行四边形，由AB长度再变化，当AB=BC时，即BD=DE即可得到四边形DBFE是菱形，即可判断③；由四边形DBFE是平行四边形，∠ABC的大小再变化，当∠ABC=90∘时，四边形DBFE是矩形，只有当BD=DE时，四边形DBFE是正方形即可判断④
【详解】解：如图，连接BM,CM,BE，
∵CN,BN分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠NBC=12∠ABC,∠NCB=12∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘,∠BNC+∠NBC+∠NCB=180∘，
∴180∘−∠BNC=12180∘−∠A，即90∘+12∠A=∠BNC，故①错误；
∵D，F分别是AB,BC的中点，
∴DE是三角形△ABC的中位线，
∴DE//BC,DE=12BC，
∴△MBC与△BCE等底等高，
∴△MBC与△BCE的面积相等，
∵E是AC的中点，
∴△BCE的面积等于△ABC的一半，
∴△MBC的面积是△ABC面积的一半，故②正确；
∵DE//BC,DE=12BC=BF，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵∠ABC的大小不变，
若DBFE是菱形，则BD=DE，
∵BD=12AB,DE=12BC，
∴当AB=BC时，则DBFE是菱形成立，故③正确；
同理，当∠ABC=90∘时，四边形BFED是矩形，
当且仅当BD=DE时，四边形DBFE是正方形，故④错误；
故正确的有②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，中线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】(1)解： 27− 12+2 13
=3 3−2 3+2 33
=5 33.
(2)解： 18× 6−2 32
=3 2× 6−12
=6 3−12.

【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
(1)先运用二次根式的性质化简进行化简，再合并同类二次根式，即可作答．
(2)先运算乘方再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
18.【答案】解：a2−2a+7
=a−12+6.
当a= 5+1时，
原式= 5+1−12+6=11.

【解析】【详解】【分析】先将式子化成a−12+6，再把a= 5+1代入，可求得结果.
【点睛】本题考核知识点：求代数式的值.解题关键点：将式子先变形.
19.【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴DA=BC，DA//BC.
∵MD=NB，
∴DA−MD=BC−NB.
∴MA=NC.
∵DA//BC，
∴∠MAO=∠NCO；∠AMO=∠CNO.
在△AMO和△CNO中，
∠AMO=∠CNOAM=CN∠MAO=∠NCO
∴△AMO≌△CNOSAS.
∴OM=ON.

【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定以及性质，由平行四边形的性质可得出DA=BC，DA//BC.进一步得出MA=NC，∠MAO=∠NCO；∠AMO=∠CNO.利用SAS证明△AMO≌△CNO，由全等三角形的性质可得出OM=ON.
20.【答案】(1)解：如图：
∴四边形ABDC就是所求作的菱形．
(2)证明：∵AB=AC,AE平分∠CAB，
∴CO=BO，
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)，
故答案为：BO，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．

【解析】【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握相关知识是解题的关键．
(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先根据等腰三角形的性质得到CO=BO，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形ABDC是平行四边形，然后加上AB=AC可判断四边形ABDC是菱形．
21.【答案】(1)证明∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA.
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
∴∠DCA=∠DAC.
∴DC=DA.
∵AB=AD，
∴AB=DC.
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵DC=DA，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC，OB=12DB，AO⊥DB
∴AO⊥DB.
∴∠AOB=90∘
∵AC=16，
∴AO=8.
∵AB=10，
∴OB= AB2−AO2=6.
∵DE⊥AB，O为BD的中点
∴OE=12DB.
∴OE=OB=6.

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
(1)根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠DCA=∠DAC，再根据等角对等边得出DC=DA，从而得出AB=DC，然后根据一组对边平行且相等得出四边形ABCD是平行四边形，最后根据领边相等的平行四边形为菱形即可得证；
(2)根据菱形的性质得出∠AOB=90∘，AO=8，再根据勾股定理得出OB=6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
22.【答案】(1)解：依题意，
a=50×10%=5,
b=50−1−5−20−16=8,
c=8÷50×100%=16%.
(2)解：如图所示：
(3)解：根据51≤x≤60这组数据，
52，53，53，53，53，55，55，55，55，55，55，56，56，56，56，58，59，60，60，60
共有20个数，排在中间位置为第10和11个数
即55+552=55
∴中位数为55;
(4)解：依题意，15+16+850×1000=780(人)
∴那么根据抽取的结果预估全校1000人一共780人可加分

【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，中位数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
(1)根据频数、频率、总数之间的关系列式计算，即可作答．
(2)结合(1)的结论进行作图即可；
(3)结合排序后位于数据中间位置的数，为中位数，进行作答即可；
(4)运用样本估计总体进行列式计算，即可作答．
23.【答案】(1)解：y1=50×x×0.8=40x，x≥0，
∴y1=40xx≥0，
当0≤x≤20时，y2=50x，
当x>20时，y2=50x−20×0.7+50×20=35x+300，
∴y2=50x0≤x≤2035x+300x>20；
(2)解：当0≤x≤20时，y1当x>20且x为整数时：
若y1若y1=y2，得40x=35x+300，解得x=60；
若y1>y2，得40x>35x+300，解得x>60；
综上，当060时，在B厂家购买划算．

【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．
(1)根据售价、购买数量和折扣可直接写出y1关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可；
(2)根据x不同的取值范围，分别求出当y1y2时对应的x的取值范围即可．
24.【答案】(1)解：∵一次函数y=kx+bk≠0的图象与一次函数y=12x+1图象平行，
∴k=12.
∵一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点−2,3，
∴−3=12×−2+b.
∴b=−2；
(2)解：一次函数y=kx+bk≠0图象经过点−2,−3，
把点−2,−3代入y=mx，得−3=−2m，
解得m=32，
∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值均大于一次函数y=kx+bk≠0的值，
∴12≤m≤32.

【解析】【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
(1)分别列方程即可求出k和b的值；
(2)根据两直线交点坐标，数形结合解决问题．
25.【答案】(1)解：补图如下：
①
②证明：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=2α，
∴∠OAD=α，AB=AD
∵∠EAF=α，
∴∠EAF−∠OAF=∠OAD−∠OAF，
∴∠EAC=∠DAF.
(2)证明：延长AE到点M，使EM=EA，连接OM，MF，
∵E是OB中点，
∴EO=EB.
在△BAE和△OME中，EB=EO∠BEA=∠OEMEA=EM
∴△BAE≌△OMESAS.
∴∠BAE=∠OME，OM=AB.
∵EF⊥AE，
∴FA=FM.
∴∠EMF=∠EAF.
∴∠EMF−∠EMO=∠EAF−∠BAE.
∴∠EAC=∠OMF.
∴∠DAF=∠OMF.
在△DAF和△OMF中，AD=MO∠DAF=∠OMFAF=MF，
∴△DAF≌△OMFSAS.
∴DF=OF.

【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的性质；
(1)①根据题意画出图形，即可求解；
②根据菱形的性质得出∠OAD=α，AB=AD，再根据角的和差即可得证；
(2)延长AE到点M，使EM=EA，连接OM，MF，根据中点的定义结合SAS证明△BAE≌△OME，再根据全等三角形的性质及角的和差利用SAS证明△DAF≌△OMF，然后根据全等三角形的性质即可得证．
26.【答案】(1)解：若点Qa′,b′为点P1,−2的“非常点”，则a′=1−(−2)=3，b′=1+(−2)=−1，
即Q3,−1，
所以Q23,−1满足题意；
故答案为：Q2.
(2)证明：∵Pa,b，Qa−b,a+b，
∴PQ= (a−b−a)2+(a+b−b)2= a2+b2，OP= a2+b2，OQ= a−b2+a+b2= 2a2+2b2，
∴PQ2+OP2=OQ2，
∴△POQ是直角三角形，
同时PQ=OP，
∴△POQ是等腰直角三角形；
(3)解：∵点Qa−b,a+b在线段GH上，
∴a+b= 3(a−b)+2 3，
整理得b=(2− 3)a+3− 3，
∵点Pa,b的非常点为点Q，
∴点Pa,b是直线y=(2− 3)x+3− 3上的动点，
∵点Qa−b,a+b在线段GH上，
∴当点Q在点G处时，点P在点A处，当点Q在点H处时，点P在点B处，
即点P在线段AB上运动，
当点P在点A处时，点Q在点G处，
令y=0，则0= 3x+2 3，
解得x=−2，
∴G(−2,0)，
由(2)知，△GAO是等腰直角三角形，
∴A(−1,1)，
即此时P(−1,1)，OP= 2，
当点P在点B处时，点Q在点H处，
令x=0，则y=2 3，
∴H(0,2 3)，
由(2)知，△OBH是等腰直角三角形，
∴B( 3, 3)，
即此时P( 3, 3)，OP= 6，
∴OP的最大值为 6；
设直线y=(2− 3)x+3− 3与直线y= 3x+2 3相交于点D，
联立方程组y=(2− 3)x+3− 3y= 3x+2 3，
解得x=−32y= 32，
∴D(−32, 32)，
∴OD= (−32)2+( 32)2= 3，
过点O作OC⊥BD于点C，
当点P在点C处时，点Q在点D处，此时OP取最小值，
∵△OCD是等腰直角三角形，
∵OC= 22OD= 62，
即OP的最小值是 62；
∴线段OP长度的取值范围是 62≤OP≤ 6.

【解析】【分析】(1)根据“非常点”的定义，即可得到答案；
(2)根据勾股定理及其逆定理，即可判断答案；
(3)将点Q的坐标代入y= 3x+2 3，并化简为b=(2− 3)a+3− 3，即得点P的运动路径是一条线段，根据点Q的运动范围，即可求得点P在线段AB上运动，分别求得点P在线段AB两端点位置时OP的长，即得OP的最大值 6，当OP⊥AB时，OP的值最小，求出此时OP的值，即得答案．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的动点路径问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，求一次函数的解析式，探求动点P的运动路径是解题的关键．

甲
乙
丙
丁
平均数
90
90
85
85
方差
42
45
42
45
指距x/cm
16
18
20
22
身高y/cm
133
151
169
187
一分钟仰卧起坐个数(单位：个)
频数
百分比
31≤x≤40
1
2%
41≤x≤50
a
10%
51≤x≤60
20
40%
61≤x≤70
16
32%
71≤x≤80
b
c
合计
50
100%