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新高考数学一轮复习课件 第3章 必刷大题6 导数的综合问题(含详解)
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1.(2023·温州模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)ln x.(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
f(x)的定义域为(0,+∞),
(2)若f(x)≥(a2-a)ln x对∀x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.
由f(x)≥(a2-a)ln x对∀x∈(1,+∞)恒成立,
2.设f(x)=2xln x+1.(1)求f(x)的最小值;
f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1),
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当00,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,
3.(2023·邢台质检)2022年2月4日,第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行,拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱,达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品,其中某个挂件纪念品每件的成本为5元,并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收,预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件.(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式;
由题意,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件,而每件产品的成本为5元,且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13),∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17].
(2)求出f(x)的最大值Q(a).
∵f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17],∴f′(x)=(28+2a-3x)(18-x),
则f′(x)≥0,即f(x)在[13,17]上单调递增,∴f(x)max=f(17)=12-a,
4.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=x2+2x- ,a∈R.(1)当a=4时,求f(x)的极值;
故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
(2)若曲线y=f(x)与直线y=ax在(0,4]上有且只有一个交点,求a的取值范围.
①当a=0时,g(x)=x2+2x,在(0,4]上无零点,不符合题意;②当a0,x→0时,g(x)0,
综上,a的取值范围为(-∞,0)∪{4}∪[8,+∞).
5.(2023·济宁质检)已知函数f(x)=acs x+bex(a,b∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x.(1)求实数a,b的值;
因为f′(x)=-asin x+bex,
所以f′(x)=-sin x-ex,设g(x)=-sin x-ex,g′(x)=-cs x-ex=-(cs x+ex).
所以g′(x)1,所以g′(x)e>2,所以 < ,
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