2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各点中，位于第四象限的点是( )
A. (5,−4)B. (−5,4)C. (5,4)D. (−5,−4)
2.下列采用的调查方式中，不合适的是( )
A. 了解珠江的水质，采用抽样调查
B. 了解白云区中学生睡眠时间，采用抽样调查
C. 了解一批圆珠笔的质量，采用全面调查
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
3.在实数 2， 3， 4， 5中，有理数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. x+y=5y=2B. x+y=1y+z=2C. xy=2x+y=1D. x−y=2y2=1
5.在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，下列说法错误的是( )
A. ∠A与∠B是同旁内角B. ∠1与B是同位角
C. ∠2与∠3是内错角D. ∠1与∠3是对顶角
7.已知aA. b>aB. −a<−bC. a−71−3b
8.如图所示，已知∠1=65∘，∠2=80∘，∠3=35∘，下列条件中，能得到AB//CD的是( )
A. ∠4=80∘B. ∠5=65∘C. ∠4=35∘D. ∠5=35∘
9.已知点M(−1,3)，点N为y轴上一动点，则MN的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 10
10.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方.如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是( )
A. 5B. 7C. 8D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是______.
12.一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成______组合适.
13.某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在80分以上．
14.数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD=AE，则点E所表示的数为______.
15.如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=62∘，则∠2=______.
16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→…根据这个规律，第2024个点的坐标为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组2x−5≤3(x−1)x+72>4x，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算： 4−3−8÷|−2|×(−7+5).
19.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程(组)：
(1)(x−1)2=9；
(2)2x+3y=54x−y=3.
20.(本小题8分)
如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C.求证：AB//MN.
21.(本小题8分)
数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
(1)本次问卷评价调查中，总体，个体，样本各是什么？
(2)统计表中m=______，n=______；并补全频数分布直方图；
(3)若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数.
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x,−2)，(3,y)，(0,2)，且(x+2)2+ y−1=0.
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC并求出三角形ABC的面积；
(2)若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，请写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标；若三角形ABC内某一点P经过上述平移后与点Q(a,b)对应，请写出点P的坐标.
23.(本小题8分)
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元.
(1)求A，B两种跳绳的单价；
(2)如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
24.(本小题10分)
定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+3b；当a(1)计算：(−4)☆3=______；(6− 2)☆2=______；
(2)化简(−3x2+2x−5)☆(−x2+2x+3)；
(3)如果1☆(x2−5)=13，求x的值.
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，动点P从点A出发，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，沿OED路线向点D运动，P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，连接PO，PQ，其中PQ不垂直于x轴.
(1)直接写出B，D两点的坐标；
(2)点P，Q开始运动后，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
(3)若动点P，Q分别以每秒1cm和每秒2cm的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形OPQ的面积为25cm2.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.(5,−4)在第四象限，故此选项符合题意；
B.(−5,4)在第二象限，故此选项不符合题意；
C.(5,4)在第一象限，故此选项不符合题意；
D.(−5,−4)在第三象限，故此选项不符合题意．
故选：A.
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可求解．
本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
2.【答案】C
【解析】解：A.了解珠江的水质，采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B.了解白云区区中学生睡眠时间，适宜用抽样调查，合适，故此选项不符合题意；
C.了解一批圆珠笔的质量，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
D.了解某班同学的数学成绩，适宜用全面调查，故此选项不符合题意．
故选：C.
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】解：在实数 2， 3， 4=2， 5中，有理数为 4，其他都是无理数，
故选：C.
根据有理数的定义进行求解即可．
本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.方程组x+y=5y=2是二元一次方程组，选项A符合题意；
B.∵方程组x+y=1y+z=2含有三个未知数，
∴方程组x+y=1y+z=2不是二元一次方程组，选项B不符合题意；
C.∵方程组xy=2x+y=1中方程xy=2是二次方程，
∴方程组xy=2x+y=1不是二元一次方程组，选项C不符合题意；
D.∵方程组x−y=2y2=1中未知数的最高次数为2，
∴方程组x−y=2y2=1不是二元一次方程组，选项D不符合题意．
故选：A.
利用二元一次方程组的定义逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】
解：∵不等式x≥−2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、B，
∵不等式x≥−2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除D.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：A、∠A与∠B是同旁内角，此选项不符合题意；
B、∠1与B是同位角，此选项不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，此选项不符合题意；
D、∠1与∠3是邻补角，此选项符合题意；
故选：D.
根据同位角、内错角、同旁内角和对顶角、邻补角的定义即可判断．
此题考查的是同位角、内错角、同旁内角和对顶角、邻补角的定义，掌握其定义是解决此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵a∴b>a，
∴选项A不符合题意；
∵a∴−a>−b，
∴选项B符合题意；
∵a∴a−7∴选项C不符合题意；
∵a∴−3a>−3b，
∴1−3a>1−3b，
∴选项D不符合题意．
故选：B.
根据a此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠3=35∘，∠5=35∘，
∴∠3=∠5，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故选：D.
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
当MN⊥y轴时，MN的长度最小，最小值为1，
故选：A.
过M点作y轴的垂线，交y轴于点N，MN的长度即为所求，
本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离如图，掌握点到直线上的所有连线中，垂线段最短是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
4+p+m=2+7+m，
解得p=5，
设第一列第三个数为x，
则4+5+m=2+5+x，
解得x=m+2，
∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和，
∴4+m+2=5+7，
解得m=6，
故选：D.
根据题意和表格中的数据，可以先求出p的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据一列的三个数之和等于第二排的三个数之和，可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
11.【答案】1，−1，0
【解析】解：∵立方根是它本身有3个，分别是±1，0.
故答案±1，0.
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，所以根据立方根的对应即可求解．
本题主要考查了立方根的性质．对于特殊的数字要记住，立方根是它本身有3个，分别是±1，0.如立方根的性质：(1)正数的立方根是正数．(2)负数的立方根是负数．(3)0的立方根是0.
12.【答案】6
【解析】解：(170−147)÷4≈6(组)，
故答案为：6.
求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、最大值与最小值的差的关系进行计算即可．
本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，掌握组距、组数、最大值与最小值的差之间的关系是正解答本题的关键．
13.【答案】17
【解析】解：设这个同学答对x道题，
故5x−2(20−1−x)>80，
解得：x>1667，
故这个同学至少要答对17道题，成绩才能在80分以上．
故答案为：17.
利用答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分，表示出所得分数以及所扣分数，进而得出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键．
14.【答案】1− 5
【解析】解：∵正方形的面积为5，
∴AD= 5，
∵AD=AE，
∴AE= 5，
∵A表示的数为1，且点E在点A左侧，
∴点E所表示的数为1− 5.
故答案为：1− 5.
根据正方形的面积为5得出AD= 5，再根据AD=AE，得到AE= 5，最后根据A表示的数为1且点E在点A左侧来确定点E所表示的数．
本题主要考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解题的关键．
15.【答案】59∘
【解析】解：如图，标出字母，
∵AB//CD，
∴∠1+∠FBC+∠2=180∘，
∵纸条是对折，
∴∠FBC=∠2，
∴2∠2+∠1=180∘，
∵∠1=62∘，
∴∠2=12×(180∘−62∘)=59∘.
故答案为：59∘.
根据平行线的性质和对折可得2∠2+∠1=180∘，依此即可求解．
本题考查了平行线的性质，本题的解题关键找出是纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案．
16.【答案】(45,1)
【解析】解：根据所给点的排列方式可知，
第a2(a为奇数)个点的坐标为(a,0).
又452=2025，
所以第2025个点的坐标是(45,0).
则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度，
所以第2024个点的坐标是(45,1).
故答案为：(45,1).
根据所给的点的排序可知，第a2(a为奇数)个点的坐标为(a,0)，据此可解决问题．
本题考查点的坐标排列规律，能根据所给点的排列得出第a2(a为奇数)个点的坐标为(a,0)是解题的关键．
17.【答案】解：解不等式2x−5≤3(x−1)得x≥−2，
解不等式x+72>4x得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
在数轴上表示为：
.
【解析】首先求出两个不等式的解集，再根据大大取大、小小取小、比大的小比小的大取中间、比大的大比小的小无解的原则，得出不等式组的解集，再把不等式的解集用数轴表示出来．
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
18.【答案】解：原式=2−(−2)÷2×(−2)=2−2=0.
【解析】根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)(x−1)2=9，
方程两边开方得：x−1=±3，
解得：x1=4，x2=−2；
(2){2x+3y=5①4x−y=3②，
①+②×3得：14x=14，
解得：x=1，
把x=1代入①得：2+3y=5，
解得：y=1，
所以方程组的解是x=1y=1.
【解析】(1)先方程两边开方得出x−1=±3，再求出方程的解即可；
(2)先①+②×3得出14x=14，求出x=1，再把x=1代入①求出y即可．
本题考查了平方根和解二元一次方程组，能根据平方根的定义得出x−1=±3是解(1)的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程组是解(2)的关键．
20.【答案】证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC(已知)，
∴∠EFC=∠DMC=90∘(垂直定义)，
∴EF//DM(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠CDM(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠CDM(等量代换)，
∴CD//MN(内错角相等，两直线平行)，
∵∠3=∠C(已知)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB//MN(平行于同一直线的两直线互相平行).
【解析】由垂直的性质得到EF//DM，进而可证∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到CD//MN，再由∠3=∠C，可证AB//CD，然后根据平行线的判定即可得到AB//MN.
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，关键是平行线性质定理的熟练应用．
21.【答案】1200.3
【解析】解：(1)本次问卷评价调查中总体是全体同学(1200人)对食堂就餐的评价，个体是每个同学对食堂就餐的评价，样本是抽取的300名同学对食堂就餐的评价，
(2)本次问卷评价抽取总人数为：30÷0.1=300(人)，
m=0.4×300=120，n=90300=0.3，
补全频率分布直方图如下：
故答案为：120，0.3.
(3)(0.4+0.2)×1200=720(人)，
答：估计评价得分不低于80分的人数为720人．
(1)根据总体、个体、样本的定义解答即可；
(2)根据频率定义计算出m、n即可；
(3)用评价得分不低于80分的人数的频率乘总人数即可．
本题考查了频率分布直方图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，熟练掌握数据分析观念是关键．
22.【答案】解：(1)∵(x+2)2+ y−1=0，
∴x+2=0，y−1=0，
∴x=−2，y=1，
∴A、B的坐标分别为(−2,−2)，(3,1)，
如图所示：
△ABC的面积=4×5−12×5×3−12×2×4−12×1×3=7；
(2)∵把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，
∴A′，B′，C′的坐标分别为(−3,1)，(2,4)，(−1,5)，点P的坐标为(a−1,b+3).
【解析】(1)利用非负性求出x和y的值，求出A，B的坐标，即可画出三角形；把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(2)根据平移变换的性质即可得出答案．
本题考查了坐标与图形变化-平移，非负数的性质和三角形的面积，掌握平移的规律是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
3x+y=1055x+3y=215，
解得：x=25y=30，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
(2)设购进A种跳a件，总费用为w元，
∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，
则2a≤48−a，
解得：a≤16，
w=25a+30(48−a)=−5a+1440，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=16时，w有最小值为1360元，
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
【解析】(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．
24.【答案】−1312− 2
【解析】解：(1)∵−4<3，
∴(−4)☆3=−4−3×3=−4−9=−13；
∵6− 2−2=4− 2>0，
∴6− 2>2，
故(6− 2)☆2=6− 2+3×2=6− 2+6=12− 2.
故答案为：−13；12− 2；
(2)−3x2+2x−5−(−x2+2x+3)=−2x2−8，
∵−2x2−8<0，
∴−3x2+2x−5<−x2+2x+3，
故(−3x2+2x−5)☆(−x2+2x+3)
=(−3x2+2x−5)−3(−x2+2x+3)
=−3x2+2x−5+3x2−6x−9
=−4x−14；
(3)当1≥x2−5时，则1+3(x2−5)=13，
解得：x=± 433，
则x2−5=439−5=−29<1；
当1 6或x<− 6，
则1−3(x2−5)=13，
解得：x=± 473；
则x2−5=479−5=29<1，
故x=± 473不符合条件，舍去；
故x的值为± 433.
(1)利用a(2)先由−3x2+2x−5−(−x2+2x+3)=−2x2−8<0知−3x2+2x−5<−x2+2x+3，再根据新定义列出算式去括号、合并同类项即可得；
(3)分1≥x2−5和1本题考查的是实数的运算及整式的加减，根据题意理解新定义的运算法则是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，
∴B(5,7)，C(5,4)，AB+CD=10(cm)，
∴D(10,4)；
(2)∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90∘或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180∘，理由如下：
分情况讨论：①当点P在AB上，Q在OE上时，如图1所示：
∵AB//CD//x轴，
∴∠PQE=∠APQ=∠APO+∠OPQ=90∘−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90∘；
②当点P在BC上，Q在OE上时，如图2所示：
过P作PM//OE，则PM//AB，
∴∠PQE=∠MPQ=∠MPO+∠OPQ=90∘−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90∘；
③当点P在AB上，Q在DE上时，如图3所示：
过Q作QN//OE，则QN⊥DE，QN//AB，
∴∠PQN=∠BPQ，
∴∠PQE=90∘+PQN=90∘+∠BPQ=90∘+180∘−∠APO−∠OPQ=270∘−(90∘−∠AOP)−∠OPQ=180∘+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180∘；
④当点P在BC上，Q在DE上时，如图4所示：
∵BC//DE//y轴，
∴∠AOP+∠BPO=180∘，∠PQE=∠BPQ，
∴∠BPO=180∘−∠AOP，
∴∠PQE=∠BPQ=360∘−∠BPO−∠OPQ=360∘−(180∘−∠AOP)−∠OPQ=180∘+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180∘；
综上所述，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在的数量关系为∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90∘或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180∘；
(3)设点P、Q的运动时间为t秒，分两种情况：
①0则OQ=2tcm，
由题意得：△OPQ的面积=12×2t×7=25，
解得：t=257；
②5≤t≤7时，点P在BC上，Q在DE上，
过P作OE的平行线交ED的延长线于G，如图5所示：
则BP=(t−5)cm，QE=(2t−10)cm，
∵OA=7cm，DE=4cm，
∴GE=OA−BP=7−(t−5)=(12−t)cm，
∴GQ=GE−QE=12−t−(2t−10)=(22−3t)cm，
∵△OPQ的面积=梯形POEG的面积−△OEQ的面积−△PQG的面积=25，
∴12×(5+10)×(12−t)−12×10×(2t−10)−12×5×(22−3t)=25，
解得：t=6；
综上所述，运动时间为257秒或6秒时，三角形OPQ的面积为25cm2.
【解析】(1)由题意即可求解；
(2)分情况讨论：①当点P在AB上，Q在OE上时，②当点P在BC上，Q在OE上时，③当点P在AB上，Q在DE上时，④当点P在BC上，Q在DE上时，分别由平行线的性质求解即可；
(3)设点P、Q的运动时间为t秒，分两种情况：①0②5≤t≤7时，点P在BC上，Q在DE上，过P作OE的平行线交ED的延长线于G，由△OPQ的面积=梯形POEG的面积−△OEQ的面积−△PQG的面积=25，得12×(5+10)×(12−t)−12×10×(2t−10)−12×5×(22−3t)=25，解得t=6即可．
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、平行线的性质、三角形面积、梯形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键．组别
评价得分
频数
频率
A组
60≤x<70
30
0.1
B组
70≤x<80
90
n
C组
80≤x<90
m
0.4
D组
90≤x<100
60
0.2