[数学]2023_2024学年江苏盐城亭湖区亭湖高级中学高一下学期期中数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年江苏盐城亭湖区亭湖高级中学高一下学期期中数学试卷
1. 复数
A. -1
（i为虚数单位）的虚部是
B. 1
C. -i
D. i
答案
解析
A
解：因为
，
所以复数 的虚部为 ，
因此正确答案为：A
2. 已知向量
A.
，
，若
，则实数 的值为（
C.
）
B.
D.
答案
解析
B
由已知得
，
，
∵
∴
∥
，
，解得
，
因此正确答案为：
3. 如图所示，在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，则
（
）
A.
C.
B.
D.
答案
解析
D
【分析】
根据图形结合向量的线性运算求解.
【详解】
因为 为
所以
的中点， 为
的中点，
.
故选：D.
4. 当太阳光与水平面的倾斜角为
时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
B

解析
【分析】
根据题意利用正弦定理得出影子长为
，再由三角函数值域即可得结果.
【详解】
设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 m．
由正弦定理，得
，
解得
．
又易知
即可知当
，可得
，即
，
时，x有最大值为
时，影子最长．
．
即竹竿与地面所成的角是
故选：B
5. 若向量
A.
，
，则 在 上的投影向量的坐标是（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据向量的坐标运算可得
【详解】
，再结合投影向量的定义运算求解.
因为
，
，则
，
所以 在 上的投影向量
故选：B.
.
6. 在
A.
中，
，
，则
的值为（
C.
）
B.
D.
答案
解析
B
由题得
所以
,
所以
，
.
因此正确答案为：B
7. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正
打破．若已知 的近似值还可以表示成
边形，求出圆周率 约
，则 的值为（
C.
，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给
）
A.
B.
D.
答案
解析
A
【分析】
将
代入
代入
，结合三角恒等变换思想化简可得结果.
，
【详解】
将
可得

.
故选：A.
8. 已知向量
A.
满足
，
，则 的最大值等于（
C. 2
）
B.
D.
答案
解析
A
【分析】
由
，
即得到点
，所以
共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】
设
，
因为
又
，
，
，所以
，所以点
共圆，
要使 的最大，即
中，由余弦定理可得
又由正弦定理
为直径，
在
，
，
即
的最大值等于
，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点
共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.
9. 设
A. 若
B. 若
C.
，
，
是复数，则下列命题中的真命题是（
）
，则
，则
，则
D. 若
，则
答案
解析
AC
【分析】
根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解.
【详解】
对于A，若
对于B，令
对于C，设
则
，则
，
，
，所以
，故A正确；
，但 ，故B不正确；
，
，所以
，则
，
，
，
所以
，
则
，
所以
，
则
，故C正确；
，
对于D，令
故选：AC
，则
，但
，所以D不正确；

10. 已知a，b，c分别是
三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（
）
A. 若
B.
是锐角三角形，则
若
C. 若
D. 若
是边长为1的正三角形，则
，
，
，则
有一解
，则
是等腰直角三角形
答案
BCD
解析
【分析】
借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项A；由数量积的定义计算可判定选项B；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项C；利
用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断D.
【详解】
对于A：若
由于
是锐角三角形，则
，所以
，即
，
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：若
，
，
，
由正弦定理得，
，即
，故
，
因为
，所以
，故 为锐角或钝角，
，则
有两解，故C错误；
，
对于D：若
即
，因为
，所以
，所以
或
，
即
或
为等腰三角形或直角三角形，D错误；
故选：BCD
11. 设点
A. 若
在
所在平面内，且点
且
､
､
､ 分别为该三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（
）
，则
；
B.
C.
；
若
若
，则
为等腰三角形；
D.
，则
.
答案
解析
ACD
【分析】
对A，化简可得
，再两边平方化简即可；对B，取
的中点 ，根据重心的性质化简判断即可；对C，根据条件推
导
即可；对D，根据垂心的性质推导可得
，再设
，根据
可得
，同理可得
，再根据向量的夹角公式求解即可.
【详解】
对A，若
且
，则
，
两边同时平方可得：
所以
，
，即
，故A错误；
的重心，有
对B，取
所以，
的中点 ，因为
是
，
，
，
又因为
，所以
，故B错误；
对C，因为 为
的内心，
，

故
，即
，
故点 的轨迹为过
的垂线，即
的中垂线，
则
是以
为底边的等腰三角形，故C正确；
对D，因为 为
即
的垂心，则
，即
，则
，
，
同理，
设
，所以
，所以
，
，
因为
，
即
，则
，
，即
，
则
，
，
，故D正确.
故选：ACD
12. 欧拉公式
（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的
关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数
的共轭复数为
答案
解析
【分析】
根据欧拉公式化简复数，再根据共轭复数的定义，即可求解.
【详解】
根据欧拉公式
，
所以复数 的共轭复数是
故答案为：
.
13. 若
，
，
，则向量 与 的夹角为
.
答案
/
解析
【分析】
根据模长公式即可代入求解.
【详解】
设向量 与 的夹角为 ，
因为
因为
，
，即
，
，
，所以
即
，故
，则向量 与 的夹角
，
因为
．
故答案为： ．
14. 锐角
的角
，
，
的对边分别为 ， ， ，满足
，则
的取值范围为
.
答案
解析
【分析】

利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到
，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得 的取值范围，
再次利用正弦定理的边角变换转化所求为
【详解】
，从而得解．
因为
，则
，
所以
，
由正弦定理得
又
，
，故
中，
，
因为在锐角
，所以
或
，
当
时，
时，
，所以
，解得
，符合题意；
当
，此时
，
，不合题意；
综上，
，
又
，而
，则 的取值范围为
所以
．
故答案为：
．
15. （1）已知
（2）已知复数 满足
，若
为实数，求 的值．
，若复数 是实系数一元二次方程
的一个根，求
的值．
答案
解析
（1）
；（2）19.
【详解】
解（1）
所以
，
（2）设
则
，
，
，
，
，
16. 已知csα
，sin（α﹣β）
，且α、β∈（0， ）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ） ．
解析
（Ⅰ）∵ ，
∵
，
，∴α﹣β∈（
，
， ），
，
∴sinα
，cs（α﹣β）
，
∴cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]＝cs（α﹣β）csα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]＝csα cs（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵
，
，∴β
．

17. 在三角形
中，
，D是线段
上一点，且
，F为线段
上一点．
（1）若
（2）求
，求
的取值范围；
的值；
答案
解析
（1） ，（2）
解：（1）因为
，所以
，
得
，
因为
，所以
，
所以
，
（2）因为在三角形
所以
中，
，
，
所以
，
，通过题意得
，
所以
，
，
因为
所以
，所以
的取值范围为
，
18. 在路边安装路灯，灯柱
与地面垂直（满足
），灯杆
，路宽
与灯柱
所在平面与道路垂直，且
，路灯 采用锥形
．
灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知
．设灯柱高
，
(1)当
时，求四边形
的面积；
(2)求灯柱的高 （用 表示）；
(3)若灯杆
与灯柱
所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最小值．
答案
(1)
(2)
(3)
，
最小值为
，
解析
（1）当
所以
时，
，
又
所以
是等边三角形，所以
中，
，
所以在
，即
，
所以
；
四边形
（2）
在
，
，
，
中，由正弦定理得
，
所以

所以
在
中，由正弦定理得
，
，
所以
所以
，所以
；
（3）在
中，由正弦定理得
，
，
所以
所以
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以当
时， 取最小值
，
故
关于 的函数表达式为
，
最小值为
.
19. 在
中，点
是
内一点，
(1)如图，若
试求
，过点 的直线 交直线
分别于
两点，且
，已知
为非零实数.
的值.
，且
(2)若
，设
，试将
表示成关于 的函数，并求其最小值.
答案
解析
(1)
(2)
，最小值为：
【分析】
（1）根据题意用
表示出
，再根据M，P，N三点共线用
表示出
，利用平面向量基本定理即可求解.
， ，再对
（2）根据数量积的定义分别求出
数，再利用基本不等式求
平方即可将
表示成关于 的函
的最小值即可.
【详解】
（1）一方面
，
故
.
另一方面，由M，P，N三点共线知，
所以
，即
消去 ，得
（2）由
所以
，故
.
得，
，因为
，
，所以
；
，所以
；
所以
当目仅当
即
时等号成立，

所以
;
.
【点睛】
本题考查向量模的最值，利用向量数量积的定义将
，再对 平方，将
，
，
转化为
，
表示成关于 的函数，最后利用基本不等式求出
的最小
值.