[数学]2023_2024学年江苏南京鼓楼区南京田家炳高级中学高一上学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年江苏南京鼓楼区南京田家炳高级中学高一上学期月考数学试卷
1. 下列关系中，（1）
A. 1
；（2）
B. 2
；（3）
；（4）
C. 3
；（5）
，正确的个数为（
D. 4
）
答案
解析
C
【分析】
根据实数集、有理数集、正整数集、自然数集的字母表示的符号逐一判断即可.
【详解】
，所以①正确；
，所以②正确；
，所以③错误；
，所以④错误；
，所以⑤正确.
故选：C
2. 下列各组函数为同一函数的是（
A.
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
由同一函数的定义依次判断即可．
【详解】
对于A，
对于B，
对于C，
与
的定义域不同， 不是同一函数；
的定义域不同， 不是同一函数；
与
与
的定义域相同，对应关系也相同， 是同一函数；
对于D，
与
的定义域不同， 不是同一函数.
故选：C.
3.
（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
，
故选： ．
4. 若
A.
，则
的最小值为（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据基本不等式，积定和最小，凑积为定值，即可求出．
【详解】
因为
，所以
，∴
（当且仅当
故选：B．
时，等号成立），所以，
的最小值为 ．

【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
5. 已知p：
A.
，那么p的一个充分不必要条件是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
判断出
的真子集，得到答案.
【详解】
因为
是
的真子集，故
是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是
故选：C
的真子集，均不合要求.
6. 已知命题p：“
，
”，命题q：“
或
，
”．若命题 和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是
D.
（
A.
）
或
B.
C.
答案
解析
D
若
，
，则
，
∴
．
若
，
，
则
，
解得
或
．
∵命题 和命题q都是真命题，
∴
或
，
∴
．
因此正确答案为D．
7. 定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合
，
是自恋数 ，则 的真子集个数为（
B. 15
）
A. 7
C. 31
D. 63
答案
解析
A
【分析】
根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得.
【详解】
，所以8是自恋数；
，所以23不是自恋数；
，所以81不是自恋数；
，所以153是自恋数；
，所以254不是自恋数；
，所以370是自恋数.
所以集合
.
所以真子集个数：
故选：A
个.
8. 关于 的不等式
的解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是（
）

A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数 的取值范围.
【详解】
由
若
若
可得
；
，则不等式解集为空集；
，则不等式的解集为
，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则
若 ，则不等式的解集为
；
则这两个整数为
；所以
；
综上
或
，
故选：A
9. 设
A.
，
B.
，若
，则实数 的值可以为（
C.
）
D.
答案
解析
ABD
【分析】
利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】
解：由题意，集合
，由
可得
，
则
当
当
或
或
或
，
时，满足
即可；
时，需满足
时，需满足
时
，解得：
，解得：
；
；
当
因为
有且只有一个根，所以
.
.
所以 的值可以为
故选：ABD.
10. 已知关于 的不等式
A.
的解集是
B.
，则（
C.
）
D.
答案
解析
AC
【分析】
由题可得
【详解】
因为
，进而根据根与系数的关系可得
，
，然后逐项判断即得.
的解集是
，
所以
，且 和4是方程等于0的两个解，
所以
，即
，
，
所以
，
所以AC正确，BD错误.
故选：AC
11. 下列选项正确的是（
）
A. 若
，则
的最小值为4
B.
D.
若
，则
的最小值是2
C.

若
，则
的最大值为
若正实数 ， 满足
，则
的最小值为8
答案
解析
CD
解：当
令
时， 显然不成立；
，则
，
，结合对勾函数单调性可知，当
时，取得最小值
， 错误；
若
，则
，
当且仅当
即
时取等号，此时取得最大值
， 正确；
正实数 满足
当且仅当
，则
，
且
，即
，
时取等号，此时
的最小值为8， 正确．
因此正确答案为：
．
12. 已知
为正实数，且
，则（
）
A.
的最大值为8
B.
的最小值为8
C.
D.
的最小值为
的最小值为
答案
解析
ABD
【分析】
对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可
【详解】
解：因为
结合
，当且仅当
，即
时取等号，
，故 的最大值为8，A正确；
，解不等式得
得
由
，
所以
，
当且仅当
即
时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，
当且仅当
时取等号，此时
取得最小值
，C错误；
，
当且仅当
即
时取等号，此时
取得最小值
，D正确；
故选：ABD
13. 函数
的定义域为
.
答案
解析
【分析】
根据函数有意义的条件，列出不等式组，解出即可.
【详解】
由
，
得函数的定义域为
故答案为：
，
.
14. 已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为
．
答案

解析
【分析】
根据一元二次方程根的分布得出结论．
【详解】
设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知
，解得－ 故答案为：
.
15. 若
，则
.
答案
解析
【分析】
由对数的运算性质求解．
【详解】
因为
则
，
.
故答案为：
.
16. 已知正数 ， 满足
，则
的最小值是
.
答案
解析
【分析】
利用基本不等式求得
【详解】
的最小值.
，
当且仅当
时等号成立.
故答案为：
17. 已知集合
，
．
(1)若
(2)若
，求
；
，求实数a的取值集合．
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）求出集合A，B，根据集合的交集运算即得答案；
（2）由
得
，分类讨论，根据判别式讨论集合B中元素，判断是否满足题意，确定a的值，即可得答案.
【详解】
（1）由题意得集合
，
，
故
；
（2）由
由于
得
，
，
故
当
时，
，满足题意；
时，对于
，
，

当
当
时，
时，
，此时
，
，满足题意；
，则
，此时
.
，要满足
，
故实数a的取值集合为
18. 关于 的不等式
的解为
.
(1)求 ， 的值；
(2)求关于 的不等式
的解集.
答案
解析
(1)
(2)
，
【分析】
（1）由题意知：
，
是方程
的两根，由韦达定理可解得系数 ， 的值；
（2）根据分式不等式的解法进行求解即可.
【详解】
（1）∵ 的不等式
的解为
，
∴
，
是方程
的两根，且
，
，
；
由韦达定理可得：
，解得
（2）∵
即
，
.∴不等式
等价为
，
，解得
，即不等式的解集为
.
19. 已知命题 ：关于 的方程
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值集合
的两根均在区间
”是“
内.
；
(2)设
，是否存在实数 ，使得“
”的必要不充分条件，若存在，求出实数 的取值范围；若不存
在，说明理由.
答案
解析
(1)
；
(2)存在，
.
【分析】
（1）先求出
的两个解，在根据两根均在区在
内，列出不等式组，求出实数m的取值集合
；
（2）根据p是q的必要不充分条件得到
是
的真子集，分
与
求解实数a的取值范围.
【详解】
（1）由
得:
，
所以
或
，
因为命题p为真命题，所以
，得
.
所以
（2）集合
，集合
，
.
由题设，
是 的真子集，
当
当
时，
时，
，解得:
或
；满足题意
，解得：
综上所述：
，
所以存在实数
，满足条件.
20. 解答下列各题.
（1）设
（2）设
，
，
，求
.
且
恒成立，求实数 的取值范围.

答案
解析
（1）证明见解析；（2）
【分析】
.
（1）结合基本不等式证得不等式成立.
（2）首先分离常数 ，然后结合基本不等式求得 的取值范围.
【详解】
（1）∵
∴
，
，
，
，
，
当且仅当
时取等号.
（2）∵
∴
，
，
由
恒成立，得
，
又
∴
，
，
，
则
.
当且仅当
，即
时上式等号成立.
∴
∴
.
的取值范围是：
.
21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有
200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估
计，若能动员
入将为
户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高 ，而从事水果加工的农民平均每户收
万元.
（1）若动员 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求 的最大值.
答案
解析
（1）
；（2）
（1）动员 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则
，解得
.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则
），
，（
化简得
由于
，（
）.
，当且仅当
时等号成立，所以
，所以 的最大值为
.
22. 设
(1)若不等式
．
对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求
(3)解关于 的不等式
的最小值；
答案
(1)
(2)
(3)答案见解析
解析

（1）由
当
恒成立得：
时，不等式为
时，
对一切实数 恒成立；
；
，不合题意；
当
，解得：
.
综上所述：实数 的取值范围为
（2）
，
，
（当且仅当
，即
时取等号），
的最小值为 .
（3）由
①当
得：
；
时，
，解得：
，即不等式解集为
；
②当
时，令
，解得：
，
；
（i）当
，即
时，不等式解集为
时，不等式解集为
；
（ii）当
（iii）当
，即
，即
；
，
时，不等式可化为
；
，
不等式解集为
（iv）当
，即
时，不等式解集为
；
综上所述：当
时，不等式解集为
；当
时，不等式解集为
；当
；当
时，不等式解集为
；当
时，不等式解集为
时，不等式解集为
.