专题6.9 角中的四种常见思想方法-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对角中的四种常见思想方法的理解！
【题型1 数形结合思想】
1．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
2．（2023上·吉林·七年级统考期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度．
3．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出∠AOB=75°，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．
(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；
①设计用一副三角尺画出105°角的画图方案，并画出相应的几何图形；
②用一副三角尺能画出145°的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．
(2)利用一副三角尺在图中画出∠MON的角平分线OP，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度．
(3)如图，现有19°、23°、29°角的三种模板，∠ABC=19°，∠FED=23°，∠IHG=29°请设计一种方案，只用给出的一种模板画出1°的角．
小冬想出了一个方案，利用19°角模板画出1°角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将∠ABC的顶点B与点O重合，BC边与射线ON重合，如图所示，将∠ABC绕点O逆时针旋转19°，得∠A1B1C1，再将∠A1B1C1绕点O逆时针旋转19°，得∠A2B2C2，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：19°×19−180°×2=361°−360°=1°．
请从23°或29°角模板中选一个你认为能画出1°角的模板，设计一个方案，并说明理由．
(4)对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出1°的角？请作出判断，并说明理由．
4．（2023上·江苏盐城·七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
5．（2023上·宁夏银川·七年级统考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：
(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出，OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 ；
(2)若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
(3)若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 ．
6．（2023上·湖南长沙·七年级长沙麓山国际实验学校校考期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，定义A，B，C，D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且∠AOC=∠BOC，则∠AOC=______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=6:5．她经过计算发现，∠AOC−20°∠BOD+12°的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为50°/s，OB旋转速度为25°/s，当OB旋转到与OD重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出∠AOD=______；
②请帮助乐乐求解运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系．
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．
（1）∠QOC= °
（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．
①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；
②当t= 时，OP⊥OC．
【题型2 分类讨论思想】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC=∠BOD．

(1)试说明：∠AOB=∠COD；
(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG时，请正确画出图形，并直接写出∠AOG的度数．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC,OD，使得∠COD=90°．

(1)如图一，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线，若∠COE=25°时，则∠DOE=________°，∠AOC=________°；
(2)如图二，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD．
①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数（写出推理过程）；
②若∠AOC=α0°<α<90°，则∠EOF的度数是________（直接填空）．
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，则∠AOC的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
3．（2023下·上海长宁·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________；
(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD，当旋转角α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角；
(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
4．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）已知 ∠AOB与∠COD互补，将∠COD绕点O逆时针旋转．
(1)若∠AOB=110°,∠COD=70°
①如图1，当∠COB=30°时，∠AOD= °；
②将∠COD绕点O逆时针旋转至∠AOC=3∠BOD，求∠COB与∠AOD的度数；
(2)将∠COD绕点O逆时针旋转α°(0<α<180)，在旋转过程中，∠AOD+∠COB的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
5．（2023上·江苏南通·七年级校联考期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．

(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
(3)已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB=α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
6．（2023下·广东广州·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90°．
(1)如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOC+∠DOF的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线OG，当OG恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COG的数量关系；
(3)过点O作射线OH，当OC恰好为∠AOH的角平分线时，另作射线OK，使得OK平分∠COD，若∠HOC=3∠HOK，求出∠AOH的度数．
7．（2023·湖北武汉·七年级统考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
8．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）平面上顺时针排列射线OA,OB,OC,OD，∠BOC=30°，∠COD=12∠AOB，射线OM,ON分别平分∠AOB，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°）．
(1)如图1，若∠AOD=10°，则∠AOM=___________，∠CON=___________；
(2)如图2，探究∠MON与∠BON的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若∠BON=5°，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，同时将∠COD绕点O以每秒3°逆时针旋转，若旋转时间为t秒0【题型3 方程思想】
1．（2023上·全国·七年级期末）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)
(1)如图1，求∠MON的度数；
(2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒
①当8②当02．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）综合题
如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠D=30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为______；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？
3．（2023上·江苏·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
4．（2023下·湖北黄冈·七年级校联考开学考试）如图，已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°.
(1)当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0(3)点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（05．（2023上·浙江绍兴·七年级统考期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
6．（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．

(1)如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB=120°，∠COD=100°，求∠MON的度数；
(2)将∠COD绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设∠AOC＝β，求∠MON的度数（用α、β表示）；
(3)在（1）条件下，将∠COD从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为t秒（07．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOD=120°，射线OB、OC均为∠AOD内的射线．
(1)如图1，若OB、OC为∠AOD的三等分线，则∠BOD＝ ；
(2)如图2，若∠BOC=60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小
(3)射线OB以每秒10°的速度顺时针方向旋转，射线OC以每秒8°的速度顺时针方向旋转，射线OM始终平分∠AOC，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达OA的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，∠AOB−∠DOM=20°.
8．（2023下·全国·七年级假期作业）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
(1)如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上．
①若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0②若射线OF绕点O顺时针旋转n°0【题型4 整体思想】
1．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．

2．（2023上·安徽宣城·七年级统考期末）已知：将一副三角板如图1摆放，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．
（1）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，则∠MON的度数是 ．
（2）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，则∠MON的度数是 ．
3．（2023·湖南娄底·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
4．（2023上·山西·七年级校联考期末）数学课上，李老师出示了如下题目．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索思路
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
（1）请你直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为______，图3中∠MON的度数为______；
特例启发，解答题目
（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；
拓展结论，设计新题
（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
5．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）现有一副三角尺，将△ABC和△ADE重合于点A放置，且∠BAC=∠D=90°，∠ABC=∠C=45°，∠DAE=60°．将三角尺ADE绕点A逆时针旋转一周（旋转过程中∠BAD和∠CAE均是指小于180°的角），分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点B在AE上，直接写出图1中∠MAN=______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点B在EA的延长线上，直接写出图2中∠MAN=______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若∠BAE=x°，
①∠NAE=______．（用含x的代数式表示）
②请求出∠MAN的度数．
6．（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
(1)如图1，当∠AOC=40°时，∠AOE=________°，∠BOF=________°．
(2)如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
7．（2023上·河北唐山·七年级校考期末）已知∠AOB＝120∘，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；
（2）如图②，若∠COD＝50∘，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝________；
（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α(0∘<α<60∘)，则∠MON＝________．