第45讲空间向量的综合应用--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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这是一份第45讲空间向量的综合应用--2025高考一轮单元综合复习与测试卷，文件包含第45讲空间向量的综合应用原卷版docx、第45讲空间向量的综合应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页，欢迎下载使用。

考点1 利用向量法求距离
[名师点睛]
(1)向量法求点到直线距离的步骤
①根据图形求出直线的单位方向向量v.
②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量eq \(MN,\s\up6(→)).
③垂线段长度d＝eq \r(\(MN,\s\up6(→))2－（\(MN,\s\up6(→))·v）2).
(2)求点到平面的距离的常用方法
①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).
[典例]
例1 已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为________.
例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝eq \f(1,2)CD＝1，E为PC的中点.
(1)证明：BE∥平面PAD.
(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.
[举一反三]
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
(1)求点N到直线AB的距离；
(2)求点C1到平面ABN的距离.
考点2 立体几何中的探索性问题
[典例]
(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[举一反三]
(2022·衡水第10次调研)已知图中直棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1＝AC＝2BD＝4.点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF＝DQ，CP－BF＝DQ－AE＝1.
(1)求证：E，F，P，Q四点共面，且EF∥平面PQB；
(2)是否存在点P使得平面PQB与平面PQE夹角的余弦值为eq \f(\r(5),5)？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．
考点3 翻折问题
[名师点睛]
1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.
2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.
[典例]
(2022·宁波质检)图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝eq \r(3)，eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→)).以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝eq \r(6)，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值.
[举一反三]
(2022·常德市临澧一中阶段性考试)如图1，在矩形ABCD中，AB＝ 4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；
(2)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．
考点4 立体几何中的动态问题
[典例]
1.(2022·湖北八校二联)如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是拋物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序号)
2.(2022·华中师大一附中月考)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是________．
[举一反三]
1.(2022·上饶横峰中学期中)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，M是该正方体表面上的一点，若eq \(EM,\s\up6(→))＝xeq \(EF,\s\up6(→))＋yeq \(EG,\s\up6(→))(x，y∈R)，则点M的轨迹所形成的长度是________．
2.(多选)已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为eq \f(\r(5)a,4)
C．MP的最大值是eq \f(\r(21)a,4)
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为eq \f(\r(5),5)