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    第39讲 空间几何体及其表面积、体积--2025高考一轮单元综合复习与测试卷
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    第39讲 空间几何体及其表面积、体积--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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    这是一份第39讲 空间几何体及其表面积、体积--2025高考一轮单元综合复习与测试卷,文件包含第39讲空间几何体及其表面积体积原卷版docx、第39讲空间几何体及其表面积体积解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共24页, 欢迎下载使用。


    1.空间几何体的结构特征
    (1)多面体的结构特征
    (2)旋转体的结构特征
    2.直观图
    (1)画法:常用斜二测画法.
    (2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
    ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
    3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
    4.柱、锥、台、球的表面积和体积
    考点1 基本立体图形
    [名师点睛]
    空间几何体结构特征的判断技巧
    (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
    (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
    直观图
    (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.”
    (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=eq \f(\r(2),4)S原图形.
    [典例]
    1.(多选)(2022·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
    A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
    B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
    C.长方体是直平行六面体
    D.存在每个面都是直角三角形的四面体
    2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( )
    A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
    3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq \r(2),其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
    A.2B.2eq \r(2)
    C.4D.4eq \r(2)
    [举一反三]
    1.下列说法正确的是( )
    A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥
    B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
    C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥
    D.如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体
    2.(2022·浙江·镇海中学模拟预测)如图,梯形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,,,则原图形的面积为( )
    A.B.C.D.
    3.如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4eq \r(3) m,则圆锥底面圆的半径等于______ m.
    考点2 表面积与体积
    [名师点睛]
    1.空间几何体表面积的求法
    (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
    (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
    2.求空间几何体的体积的常用方法
    (1)公式法:规则几何体的体积问题,直接利用公式进行求解;
    (2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体;
    (3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.
    [典例]
    1.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若θ=30°,侧棱长为eq \r(21),则( )
    A.正四棱锥的底面边长为6
    B.正四棱锥的底面边长为3
    C.正四棱锥的侧面积为24eq \r(3)
    D.正四棱锥的侧面积为12eq \r(3)
    2.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为________.
    3.(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( )
    A.20+12eq \r(3) B.28eq \r(2)
    C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
    4.(2020·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为________.
    5.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为________.
    [举一反三]
    1.(2022·重庆八中模拟预测)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
    A.8πB.4πC.8D.4
    2.(2022·河北保定·一模)圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )
    A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.2∶3
    3.(2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测)若圆锥的母线长为,侧面展开图的面积为,则该圆锥的体积是( )
    A.B.C.D.
    4.(2022·广东佛山·二模)如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为( )
    A.2πB.4πC.16πD.
    5.(2022·河北衡水中学一模)已如A,B,C是表面积为的球O的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为( )
    A.B.C.D.
    6.(2022·福建福州·模拟预测)如图,一个正六棱柱的茶叶盒,底面边长为,高为,则这个茶叶盒的表面积约为______.(精确到0.1,)
    7.(2022·广东·华南师大附中模拟预测)在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为______.
    考点3 与球有关的切接问题
    [名师点睛]
    (1)求解多面体的外接球时,经常用到截面图.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O′的半径为r,M为截面圆上任意一点,球心O到截面圆O′的距离为d,则在Rt△OO′M中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.
    (2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.
    [典例]
    1.(2022·湖南·长郡中学模拟预测)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的侧面积为( )
    A.B.C.D.
    2.(2022·天津·南开中学模拟预测)棱长为的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些球的最大半径为( )
    A.B.C.D.
    3.(2022·湖北十堰·三模)在四棱锥中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=3,AB=4,则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为( )
    A.B.10C.D.11
    [举一反三]
    1.(2022·天津和平·一模)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知平面,四边形为正方形,,,若鳖牖的体积为l,则阳马的外接球的表面积等于( ).
    A.B.C.D.
    2.(2022·天津·二模)已知在中,角所对的边分别为,且又点都在球的球面上,且点到平面的距离为,则球的体积为( )
    A.B.C.D.
    3.(2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
    A.B.C.D.
    4.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知正四面体ABCD的表面积为,且A,B,C,D四点都在球O的球面上,则球O的体积为______.
    5.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”,它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中,,,则该四面体的内切球表面积为___________.
    6.(2022·山东省实验中学模拟预测)在四面体ABCD中,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的等腰直角三角形,平面平面BC,则四面体ABCD的外接球的表面积为__________.
    名称
    棱柱
    棱锥
    棱台
    图形
    底面
    互相平行且全等
    多边形
    互相平行且相似
    侧棱
    平行且相等
    相交于一点,但不一定相等
    延长线交于一点
    侧面形状
    平行四边形
    三角形
    梯形
    名称
    圆柱
    圆锥
    圆台

    图形
    母线
    互相平行且相等,垂直于底面
    相交于一点
    延长线交于一点
    轴截面
    矩形
    等腰三角形
    等腰梯形
    圆面
    侧面展开图
    矩形
    扇形
    扇环
    圆柱
    圆锥
    圆台
    侧面展开

    侧面积公

    S圆柱侧=2πrl
    S圆锥侧=πrl
    S圆台侧=π(r1+r2)l
    名称
    几何体
    表面积
    体积
    柱体(棱柱和圆柱)
    S表面积=S侧+2S底
    V=Sh
    锥体(棱锥和圆锥)
    S表面积=S侧+S底
    V=eq \f(1,3)Sh
    台体(棱台和圆台)
    S表面积=S侧+S上+S下
    V=eq \f(1,3)(S上+S下+eq \r(S上S下))h

    S=4πR2
    V=eq \f(4,3)πR3
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