2023-2024学年北京市通州区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市通州区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为( )
A. 6.9×10−7B. 6.9×107C. −6.9×107D. −6.9×10−7
2.已知a>b，则下列不等式中不成立的是( )
A. a+2>b+2B. a−2>b−2C. 2a>2bD. −2a>−2b
3.下列计算正确的是( )
A. a+a2=a3B. a2⋅a3=a6C. 2a3b3=6a9b3D. a6÷a4=a2
4.下列调查方式，正确的是( )
A. 旅客乘坐高铁前的安检，采用抽样调查方式
B. 某鞋厂了解全国中学生穿鞋的尺码范围，采用全面调查方式
C. 了解北京市中学生的睡眠时间，采用抽样调查方式
D. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式
5.已知x=1y=2是关于x，y的二元一次方程ax+y=1的一组解，那么a的值为( )
A. −1B. 1C. 0D. 3
6.如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式是下列选项中的( )
A. x−4<2B. 4−x>2C. −2x≥4D. 2x<0
7.某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位：万步)，将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是( )
A. 1.2，1.3B. 1.3，1.3
C. 1.4，1.35D. 1.4，1.3
8.已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有( )
①如果ab=0，那么a=0或b=0；
②如果a2=b2，那么a=b；
③如果a0；
④如果a>b，那么a+b的符号与a的符号相同；
⑤如果a>b>0，那么1a>1b.
A. ①②④B. ②③⑤C. ①③④D. ①④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：a2−3a=__________.
10.已知二次三项式y2+my+1是完全平方式，其中m是一次项系数．则m的所有取值是__________.
11.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：__________.
12.已知二元一次方程组−x+2y=8,2x−y=−5,那么x+y的值为__________.
13.如果am÷an=1(a≠0,m,n是正整数)，那么m___________n.(填写“>”，“=”，“<”)
14.数学老师布置10道选择题作为课堂练习，并将全班同学的得分情况绘制成下表，则全班同学这次课堂练习的平均成绩是__________分．
15.如图，直尺和含30∘角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果∠1=140∘，则∠2的度数为_______________ ∘.
16.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：
第n层六边形数图形的几何点数是__________(用含有字母n的代数式表示).
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程组．
(1)3x−2y=1x−y=3；
(2)x+2y=12x+y=5.
18.(本小题8分)
解下列不等式(组).
(1)2x≤x+5,x+12>2−x
(2)−1<−3x−24<3.
19.(本小题8分)
计算下列各题．
(1)x+yx2−xy+y2
(2)12x3−18x2+6x÷−6x
20.(本小题8分)
分解因式．
(1)a3−4a2+4a；
(2)2x+32−16.
21.(本小题8分)
计算下列各题．
(1)先化简，再求值：2x+y2−2x+y2x−y−2y2，其中x=14，y=2024.
(2)已知2x2−x−1=0，求代数式3x+23x−2−3xx+1的值．
22.(本小题8分)
本学期我们学习了一元一次不等式(组)，二元一次方程组，整式的运算，观察、猜想与证明，因式分解，数据的收集与表示六章内容．在一次数学测试中，试卷满分为100分，小穆同学想用扇形图统计每一章分值所占百分比情况，于是将测试内容及所占分值的分布情况整理计算后列出下列表格．请你完成下列任务．
(1)将表格中的内容补充完整．
(2)补全扇形统计图．
23.(本小题8分)
如图，点P在∠O的一边OA上．
(1)请你依据给出的画图步骤补全图形．
画法：
①过点P画直线PC⊥OA，交射线OB于点C；
②过点P画射线OB的垂线段PD，垂足为点D；
③过点D画直线DE//OA，交直线CP于点E.
(2)完成下列任务：
①写出图中所有与∠O相等的角；
②如果OP=4，PC=3，OC=5，求点P到射线OB的距离．
24.(本小题8分)
补全下列证明过程．
如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，垂足为点A，点E在边CD上，且EF⊥AD，垂足为点F，∠1=∠6.求证：∠DAB+∠D=180∘.
证明：∵CA⊥AD，EF⊥AD、
∴∠2=∠3=90∘.
∴EF//______.(理由： )
∴∠4=______.(理由： )
∵∠1=∠6，
∴∠1=_____.(理由： )
∴DC//______.(理由： )
∴∠DAB+∠D=180∘.(理由： )
25.(本小题8分)
用一元一次不等式(组)解应用题．
某次数学竞赛中出了10道题，每答对1题得5分，每答错1题或不答扣3分，问至少要答对几道题，得分不低于10分．
26.(本小题8分)
某工厂在甲地购买了一批原材料共120吨，运往工厂车间进行加工生产．工厂有小、中、大三种车型可供运输使用，每种车的运载量和运费如下表(假设每辆车均满载).
(1)若这批物资用小，中两种车型来运送，需运费8200元，则需小、中两种车型的车各几辆?
(2)工厂决定用小、中，大三种车型，共15辆车同时运送这批原材料﹐请你写出所有的符合条件的用车方案，用车方案中运费最少是多少元?(小、中，大三种车均要参与运送)
27.(本小题8分)
我们把按照某种规律排列的一列数，称为数列，我们规定：如果对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足c=ab−a+b，则称这个数列为好运数列．
(1)在数列①12，13，−23；②1，−2，−1，3中，是好运数列的是____；(填序号)
(2)如果数列…，2，x，3x+2，…，是好运数列，求x的值；
(3)若数列…，m，n，3，…，是好运数列，且m，n都是正整数，直接写出所有符合条件的m，n的值．
28.(本小题8分)
如图1，AB//CD，∠PAB=150∘，∠PCD=120∘，求∠APC度数．
小明的解题思路是：
如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

完成下列任务：
(1)依据小明的思路写出求∠APC的度数的完整解答过程；
(2)如图3，AD//BC，直线MN与直线AD，BC分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足∠AGP=∠α，∠BHP=∠β.请你直接写出点P分别在6个区域运动时，∠GPH、∠α、∠β之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．(点P不在直线AD，BC，MN上)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：0.00000069=6.9×10−7，
故选：A.
2.【答案】D
【解析】解：根据不等式的性质，可得，
A、∵a>b，∴a+2>b+2，正确，不符合题意；
B、∵a>b，∴a−2>b−2，正确，不符合题意；
C、∵a>b，∴2a>2b，正确，不符合题意；
D、∵a>b，∴−2a< -2b，原变形错误，符合题意．
故选：D.
根据不等式的性质，若a>b，且c>0，那么ac>bc，若a>b，且c<0，那么acb，那么a±c>b±c，依次判断即可得出答案．
本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟练应用这些性质是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法运算法则逐项判断即可作出选择．
【详解】解：A、a与a2不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故本选项计算错误，不符合题意；
C、2a3b3=8a9b3，故本选项计算错误，不符合题意；
D、a6÷a4=a2，故本选项计算正确，符合题意．
故选：D.
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近普查结果行判断即可．
【详解】解：A、对旅客乘坐高铁前的安检，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，不符合题意；
B、某鞋厂了解全国中学生穿鞋的尺码范围，人数众多，范围广，应采用抽样调查，不符合题意；
C、了解北京市中学生的睡眠时间，人数众多，范围广，应采用抽样调查，符合题意；
D、了解一批手机电池的使用寿命，数量大，范围广且具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意．
故选C.
5.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值是解决本题的关键．
把x=1y=2代入ax+y=1，得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：把x=1y=2代入ax+y=1，得
a+2=1.
∴a=−1.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了在数轴上表示解集、解不等式等知识点，正确求解不等式成为解题的关键．
先确定数轴表示的解集，然后再通过解不等式逐项判断即可．
【详解】解：由题意可知数轴表示的解集为：x<2，
A.x−4<2的解集为x<6，不符合题意；
B.4−x>2的解集为x<2，符合题意；
C.−2x≥4的解集为x≤−2，不符合题意；
D.2x<0的解集为x<0，不符合题意．
故选：B.
7.【答案】D
【解析】【分析】中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
(1.3+1.3)÷2=1.3，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是掌握有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，难度一般．
根据有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，逐个判断即可．
【详解】解：①如果ab=0，那么a=0或b=0，正确，故①是真命题；
②如果a2=b2，那么a=b或a=−b，原命题错误，故②假命题；
③如果a0，正确，故③是真命题；
④如果a>b，那么a+b的符号与a的符号相同，正确，故④是真命题；
⑤如果a>b>1，那么1a>1b，如果1>a>b>0，那么1a<1b，原命题错误，故⑤假命题；
∴是真命题的有①③④．
故选：C.
9.【答案】a(a−3)
【解析】【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2−3a=a(a−3).
故答案为a(a−3).
10.【答案】±2
【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式的特点，掌握a±b2=a2±2ab+b2成为解题的关键．
直接运用完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵二次三项式y2+my+1是完全平方式，
∴y2+my+1=y±12=y2±2y+1，
∴m=±2.
故答案为：±2.
11.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等.
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12.【答案】3
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
将方程组中的两个方程相加，即可得到答案．
【详解】解：{−x+2y=8①2x−y=−5②
由①+②，得：x+y=3.
故答案为：3.
13.【答案】=
【解析】【分析】本题考查同底数幂相除，零指数幂．熟练掌握同底数幂除法和零指数幂的运算法则是解题的关键．
先根据同底数幂除法计算，再由1=a0，得出am−n=a0，则m−n=0.即可求解．
【详解】解：∵am÷an=am−n=1=a0，
即∴am−n=a0，
∴m−n=0，
∴m=n，
故答案为：=.
14.【答案】86
【解析】【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解：根据加权平均数x=14070×2+80×20+90×10+100×8=86.
故答案为：86分．
【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数公式是解题关键．
15.【答案】70∘/70度
【解析】【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
如图，根据平行线的性质得到∠1+∠BAD=180∘，∠2=∠BAC，再把∠1=140∘，∠DAC=30∘代入即可求解．
【详解】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠1+∠BAD=180∘，∠2=∠BAC，
∵∠1=140∘，
∴∠BAD=40∘，
∵∠DAC=30∘，
∴∠2=∠BAC=∠DAC+∠BAD=30∘+40∘=70∘.
故答案为：70∘
16.【答案】4n−3/−3+4n
【解析】【分析】本题主要考查了图形的规律，掌握数形集合思想成为解题的关键．
先根据表格中已有数据进行推理补全表格，进而归纳出结论即可．
【详解】解：前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；
然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1−1、3=2×2−1、5=2×3−1，可得第六层的几何点数是2×6−1=11，第n层的几何点数是2n−1；
再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1−2、2=3×2−2、3=3×3−2，可得第六层的几何点数是3×6−2=16，第n层的几何点数是3n−2；
最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×1−3、5=4×2−3、9=4×3−3，可得第六层的几何点数是4×6−3=21，据此第n层的几何点数为4n−3.
故答案为：4n−3.
17.【答案】(1)解：{3x−2y=1①x−y=3②，
①−2×②可得：x=1−2×3=−5，
将x=−5代入②可得：−5−y=3，解得：y=−8，
所以该方程组的解为：x=−5y=−8.
(2)解：{x+2y=1①2x+y=5②，
2×①-②可得：3y=−3，解得：y=−1，
将y=−1代入②可得：2x−1=5，解得：x=3，
所以该方程组的解为：x=3y=−1.

【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键
(1)直接用加减消元法解答即可；
(2)直接用加减消元法解答即可.
18.【答案】(1)解：{2x⩽x+5①x+12>2−x②，
解①得：x≤5，
解②得：x>1，
∴1(2)解：∵−1<−3x−24<3
∴{−1<−3x−24①−3x−24<3②，
解①得：x<2，
解②得：x>−103，
∴−103
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集方法是银题的关键．
先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再根据确定不等式组的解集方法“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”，确定出不等式组的解集即可．
19.【答案】(1)
解：原式=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3=x3+y3；
(2)解：原式=12x3÷−6x−18x2÷−6x+6x÷−6x
=−2x2+3x−1.

【解析】【分析】本题考查多项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟练掌握多项式乘以多项式、多项式除以单项式法则是解题的关键．
(1)根据多项式乘以多项式法则计算即可；
(2)根据多项式除以单项式法则计算即可．
20.【答案】(1)解：a3−4a2+4a，
=aa2−4a+4
=aa−22.
(2)解：2x+32−16
=2x+3+42x+3−4
=2x+72x−1.

【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解题的关键．
(1)先提取公因式a，然后再运用完全平方公式分解即可；
(2)先用平方差公式分解，然后再整理即可．
21.【答案】(1)解：2x+y2−2x+y2x−y−2y2
=4x2+4xy+y2−4x2+y2−2y2
=4xy，
当x=14、y=2024时，4xy=4×14×2024=2024.
(2)解：由2x2−x−1=0可得2x2−x=1，
3x+23x−2−3xx+1
=9x2−4−3x2−3x
=6x2−3x−4
=32x2−x−4
=3×1−4
=−1.

【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．
(1)先根据整式的混合运算法则化简，然后再将x=14、y=2024代入计算即可；
(2)由2x2−x−1=0可得2x2−x=1，然后运用整式的混合运算法则化简原式，最后代入计算即可．
22.【答案】(1)解：所占分值为：100−15−20−20−10−10=25(分)，
百分比为：25100×100%=25%，
圆心角度数为：360∘×25%=90∘.
故填表如下：
(2)解：补全扇形统计图为：


【解析】【分析】本题考查统计表，扇形统计图．注意数形结合．
(1)用总分减去其它章的分值，再用这个分值除以100分，乘以100%计算百分比，然后用360度乘以这个百分比，即可求得扇形统计图中圆心角度数．
(2)根据二元一次方程(组)和整式的运算在扇形统计图中圆心角度数，补全扇形统计图即可．
23.【答案】(1)解：如图所示，直线PC、线段PD、直线DE即为所画．
(2)解：①与∠O相等的角，有∠CDE、∠DPC.
理由：∵DE//OA，
∴∠O=∠CDE，
∵PC⊥OA，
∴∠OPD+∠DPC=∠OPC=90∘，
∵PD⊥OB，
∴∠PDO=90∘，
∴∠O+∠OPD=90∘，
∴∠O=∠DPC.
②∵S△OPC=12OP⋅OC=12×4×3=6
又∵S△OPC=12OC⋅PD
∴12×5PD=6
∴PD=125.
∴点P到射线OB的距离为125.

【解析】【分析】(1)根据语言描述，画出图形即可；
(2)①利用平行线与余角的性质求解即可；②利用S△OPC=12OP⋅OC=12OC⋅PD，求解即可．
【点睛】本题考查画垂线，画平行线，点到直线的距离，三角形的面积，平行线的性质，余角的性质．熟练掌握画垂线、画平行线的画法和平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：∵CA⊥AD，EF⊥AD，
∴∠2=∠3=90∘.
∴EF//AC.(理由：同位角相等，两直线平行)
∴∠4=∠6.(理由：两直线平任，同位角相等)
∵∠1=∠6，
∴∠1=∠4.(理由：等量代换)
∴DC//AB.(理由：内错角相等，两直线平行)
∴∠DAB+∠D=180∘.(理由：两直线平行，同旁内角互补)

【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
先根据同位角相等，两直线平行得出EF//AC，再根据平行线的性质得出∠4=∠6，从而可得出∠1=∠4，然后根据内错角相等，两直线平行得出DC//AB，最后由两直线平行同旁内角互补得出结论．
25.【答案】解：设答对了x道题，则答错或不答(10−x)道题，
依题意，得：5x−3(10−x)≥10，
解得：x≥5.
答：至少要答对5道题，得分才不低于10分．

【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设答对了x道题，则答错或不答(10−x)道题，根据得分=5×答对题目数−3×答错或不答题目数结合得分不低于10分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
26.【答案】(1)解：设需小型车x辆，中型车y辆，
根据题意得：5x+8y=120400x+500y=8200，
解得：x=8y=10.
答：需小型车8辆，中型车10辆.
(2)解：设需小型车a辆，中型车b辆，则大型车15−a−b辆，
根据题意得：5a+8b+1015−a−b=120，整理得：5a+2b=30，则a=6−25b，
∵a,b,15−a−b均为正整数，
∴b=5,a=4,c=6或b=10,a=2,c=3，
所以有两种运送方案：方案一：小种车型4辆，中型车5辆，大型车6辆，需运费：400×4+500×5+600×6=8200元；
方案二：小种车型2辆，中型车10辆，大型车3辆，需运费：400×2+500×10+600×3=7600元；
∵8200>7600，
∴方案二运费最省，其费用为7600元..

【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，弄清量之间的关系、正确列出方程是解题的关键.
(1)设需小型车x辆，中型车y辆，然后根据题意列出方程组求解即可；
(2)设需小型车a辆，中型车b辆，则大型车15−a−b辆，然后根据题意可得5a+2b=30，即a=6−25b；再根据a,b,15−a−b均为正整数，确定a、b、c的取值，再确定方案，最后求出各方案的运费比较即可.
27.【答案】(1)解：①12×13−12+13=−23，故①是好运数列；
②−2×−1−−2−1=5≠3，故②不是好运数列；
故答案为：①．
(2)解：∵数列…，2，x，3x+2，…，是好运数列，
∴2x−2+x=3x+2，
解得：x=−2.
(3)解：∵数列…，m，n，3，…，是好运数列，
∴mn−m+n=3，
又∵m，n都是正整数，
∴m=2n=5或m=3n=3或m=5n=2.

【解析】【分析】本题考查新定义，一元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解，根据新定义列出相应方程是解题的关键．
(1)根据好运数列的定义对①②进行分析即可；
(2)根据好运数列的定义列出相应的方程，解方程即可；
(3)根据好运数列的定义列出相应的二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可．
28.【答案】(1)解：过点P作PE//AB(如图2)，则
∠APE=180∘−∠PAB=180∘−150∘=30∘，
∵PE//AB，AB//CD，
∴PE//CD，
又∵∠PCD=120∘
∴∠CPE=180∘−∠PCD=180∘−120∘=60∘，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=30∘+60∘=90∘
(2)解：当点P在区域①内时，∠GPH=β−α，

过点P作PE//AD
∴∠GPE=α
∵AD//BC
∴PE//BC
∴∠HPE=β
∴∠GPH=∠HPE−∠GPE=β−α；
当点P在区域②内时，∠GPH=α+β，

过点P作PE//AD
∴∠GPE=α
∵AD//BC
∴PE//BC
∴∠HPE=β
∴∠GPH=∠GPE+∠HPE=α+β；
当点P在区域③内时，∠GPH=α−β，

与点P在区域①内同理可得∠GPH=α−β；
当点P在区域④内时，∠GPH=α−β，

过点P作PE//AD
∴∠GPE=180∘−α
∵AD//BC
∴PE//BC
∴∠HPE=180∘−β
∴∠GPH=∠HPE−∠GPE=180∘−β−180∘−α=α−β；
当点P在区域⑤内时，∠GPH=360∘−β−α，

过点P作PE//AD
∴∠GPE=180∘−α
∵AD//BC
∴PE//BC
∴∠HPE=180∘−β
∴∠GPH=∠HPE+∠GPE=180∘−β+180∘−α=360∘−α−β；
当点P在区域⑥内时，∠GPH=β−α，

与点P在区域④内同理可得∠GPH=β−α.

【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，过点P作PE//AB是解题的关键．
(1)根据过点P作PE//AB，证明PE//CD，根据平行线的性质求解即可；
(2)分别作出各区域内的图形，再利用平行线的性质求解即可．
成绩/分
70
80
90
100
人数/人
2
20
10
8
名称及图形几何点数层数
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
第一层
1
1
1
1
第二层
2
3
4
5
第三层
3
5
7
9
…
…
…
…
…
第六层
6
11
16
21
…
…
…
…
…
第n层
n
2n−1
3n−2
测试内容
所占分值
百分比
圆心角度数
一元一次不等式(组)
15分
15%
360∘×15%=54∘
二元一次方程(组)
20分
20%
360∘×20%=72∘
整式的运算



观察、猜想与证明
20分
20%
360∘×20%=72∘
因式分解
10分
10%
360∘×10%=36∘
数据的收集与表示
10分
10%
360∘×10%=36∘

小
中
大
运载量/(吨/辆)
5
8
10
运费/(元/辆)
400
500
600
测试内容
所占分值
百分比
圆心角度数
一元一次不等式(组)
15分
15%
360∘×15%=54∘
二元一次方程(组)
20分
20%
360∘×20%=72∘
整式的运算
25分
25%
90∘
观察、猜想与证明
20分
20%
360∘×20%=72∘
因式分解
10分
10%
360∘×10%=36∘
数据的收集与表示
10分
10%
360∘×10%=36∘