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专题04 三角函数(2大考向真题解读)-备战2025年高考数学真题题源解密(新高考卷)
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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式,属于常规题型,难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时,结合了具体函数图像的画法,Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注:同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1.(2024新高考Ⅰ卷·4)已知,则( )
A.B.C.D.
2.(2024新高考Ⅰ卷·7)当时,曲线与的交点个数为( )
A.3B.4C.6D.8
二、多选题
3.(2024新高考Ⅱ卷·9)对于函数和,下列说法正确的有( )
A.与有相同的零点B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴
三、填空题
4.(2024新高考Ⅱ卷·13)已知为第一象限角,为第三象限角,,,则 .
一、单选题
1.(2022新高考Ⅰ卷·6)记函数的最小正周期为T.若,且的图象关于点中心对称,则( )
A.1B.C.D.3
2.(2023新高考Ⅰ卷·8)已知,则( ).
A.B.C.D.
3.(2022新高考Ⅱ卷·6)若,则( )
A.B.
C.D.
4.(2023新高考Ⅱ卷·7)已知为锐角,,则( ).
A.B.C.D.
二、多选题
5.(2022新高考Ⅱ卷·9)已知函数的图像关于点中心对称,则( )
A.在区间单调递减
B.在区间有两个极值点
C.直线是曲线的对称轴
D.直线是曲线的切线
三、填空题
6.(2023新高考Ⅰ卷·15)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是 .
7.(2023新高考Ⅱ卷·16)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则 .
一、三角函数基本概念
1、弧度制
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化:,,.
(3)扇形的弧长公式:,扇形的面积公式:.
2、任意角的三角函数
(1)定义:任意角的终边与单位圆交于点时,则,,.
(2)推广:三角函数坐标法定义中,若取点P是角终边上异于顶点的任一点,设点到原点的距离为,则,,
三角函数的性质如下表:
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET :三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:.
(2)商数关系:;
三、三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变,符号看象限,说明:(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作;(2)无论有多大,一律视为锐角,判断所处的象限,并判断题设三角函数在该象限的正负;(3)当为奇数是,“奇变”,正变余,余变正;当为偶数时,“偶不变”函数名保持不变即可.
四、两角和与差的正余弦与正切
①;
②;
③;
五、二倍角公式
①;
②;
③;
六、降次(幂)公式
知识点四:半角公式
七、辅助角公式
(其中).
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
注:正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是;正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是;
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离;
九、与的图像与性质
(1)最小正周期:.
(2)定义域与值域:,的定义域为R,值域为[-A,A].
(3)最值
假设.
①对于,
②对于,
(4)对称轴与对称中心.
假设.
①对于,
②对于,
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
(5)单调性.
假设.
①对于,
②对于,
(6)平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤;
方法一:.先相位变换,后周期变换,再振幅变换,不妨采用谐音记忆:我们“想欺负”(相一期一幅)三角函数图像,使之变形.
方法二:.先周期变换,后相位变换,再振幅变换.
注:在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩(先相位后周期,即“想欺负”),但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现,所以必须熟练掌握,无论哪种变化,切记每一个变换总是对变量而言的,即图像变换要看“变量”发生多大变化,而不是“角”变化多少.
【三角函数常用结论】
1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化,利用可以实现角的弦切互化.
2、“”方程思想知一求二.
3、两角和与差正切公式变形
;
.
4、降幂公式与升幂公式
;
.
5、其他常用变式
.
6、拆分角问题:①;;②;③;
④;⑤.
注意:特殊的角也看成已知角,如.
7、关于三角函数对称的几个重要结论
(1)函数的对称轴为,对称中心为;
(2)函数的对称轴为,对称中心为;
(3)函数函数无对称轴,对称中心为;
(4)求函数的对称轴的方法;令,得;对称中心的求取方法;令,得,即对称中心为.
(5)求函数的对称轴的方法;令得,即对称中心为
一、单选题
1.(2024·江苏南通·三模)已知,则( )
A.B.C.D.
2.(2024·山东济南·三模)若,则( )
A.1B.C.2D.
3.(2024·重庆·三模)已知,且,则( )
A.B.C.D.
4.(2024·浙江·三模)若,则( )
A.B.
C.D.
5.(2024·河北保定·二模)已知,则( )
A.B.C.D.
6.(2024·湖北荆州·三模)已知,则的值为( )
A.B.C.D.
7.(2024·山东青岛·三模)为了得到 的图象,只要把 的图象上所有的点( )
A.向右平行移动 个单位长度B.向左平行移动 个单位长度
C.向右平行移动 个单位长度D.向左平行移动 个单位长度
8.(2024·天津滨海新·三模)已知函数,关于该函数有下列四个说法:
(1)函数的图象关于点中心对称
(2)函数的图象关于直线对称
(3)函数在区间内有4个零点
(4)函数在区间上单调递增
以上四个说法中,正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9.(2024·河北石家庄·三模)已知角满足,则( )
A.B.C.D.2
10.(2024·重庆·三模)已知函数的部分图像如图所示,若,则( )
A.B.C.D.
11.(2024·安徽合肥·三模)已知,则( )
A.B.C.D.
12.(2024·江西九江·三模)若,则( )
A.B.C.D.
13.(2024·江苏宿迁·三模)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是的一个单调增区间
B.是的一个对称中心
C.在上值域为
D.将的图象向右平移个单位,再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
14.(2024·黑龙江·三模)已知函数在区间内恰有3条对称轴,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
15.(2024·河北·三模)已知函数在区间内没有零点,则周期的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多选题
16.(2024·山东威海·二模)已知函数,则( )
A.在上单调递减
B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C.在上有两个零点
D.
17.(2024·云南昆明·三模)已知函数的最小正周期大于,若曲线关于点中心对称,则下列说法正确的是( )
A.B.是偶函数
C.是函数的一个极值点D.在单调递增
18.(2024·湖南长沙·三模)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为2
B.函数的图象关于直线对称
C.不等式的解集为
D.若在区间上单调递增,则的取值范围是
19.(2024·湖南衡阳·三模)已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.
C.函数在上单调递增
D.方程的解为,
20.(2024·河南·三模)已知函数的最小正周期为,则下列说法正确的有( )
A.的图象可由的图象平移得到
B.在上单调递增
C.图象的一个对称中心为
D.图象的一条对称轴为直线
21.(2024·广西钦州·三模)已知函数,则下列命题正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.若,则
D.将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象
22.(2024·河北秦皇岛·三模)已知函数,则( )
A.是偶函数;B.是周期为的周期函数;
C.在上单调递增;D.的最小值为.
23.(2024·安徽芜湖·三模)已知,下面结论正确的是( )
A.时,在上单调递增
B.若,且的最小值为,则
C.若在上恰有7个零点,则的取值范围是
D.存在,使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
三、填空题
24.(2024·全国·二模)已知,则 .
25.(2024·安徽合肥·三模)已知,则 .
26.(2023·黑龙江佳木斯·三模)已知,,则 .
27.(2024·黑龙江·三模)已知,则 .
28.(2024·江西宜春·三模)已知,且,则 .
29.(2024·北京·三模)已知函数,若是偶函数,则 ;若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个,则的取值范围是 .
30.(2024·河北衡水·三模)已知是函数的一条对称轴,在区间内恰好存在3个对称中心,则的取值范围为 .
31.(2024·安徽合肥·三模)已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点,则的取值范围是 .
32.(2024·江西九江·三模)已知函数在区间上有且仅有三个零点,则的取值范围是 .
33.(2024·湖北荆州·三模)设,,,若满足条件的与存在且唯一,则 , .
命题解读
考向
考查统计
高考对三角函数的考查,基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上,高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查,体现三角恒等变换的工具性作用,以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式,进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。
三角函数的图像与性质
2022·新高考Ⅰ卷,6
2023·新高考Ⅰ卷,15
2024·新高考Ⅰ卷,7
2022·新高考Ⅱ卷,9
2023·新高考Ⅱ卷,16
2024·新高考Ⅱ卷,9
三角恒等变换
2023·新高考Ⅰ卷,8
2024·新高考Ⅰ卷,4
2022·新高考Ⅱ卷,6
2023·新高考Ⅱ卷,7
2024·新高考Ⅱ卷,13
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
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