专题07 直线与圆（3大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
试题精讲
一、多选题
1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
一、单选题
1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
二、填空题
3．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
4．（2022新高考Ⅱ卷·15）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
一、直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1、直线方程的五种形式
2、求曲线（或直线）方程的方法
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
3、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
4、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
四、三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
五、圆
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
六、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
七、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【直线与圆常用结论】
一、直线
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
二、圆
1、圆的参数方程
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
一、单选题
1．（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·四川成都·三模）已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ）
A．1 或 B． 或 C． 或 D． 或
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·二模）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
7．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·北京·三模）已知直线，圆，下列说法错误的是（ ）
A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点；
B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为；
C．对任意实数，圆不关于直线对称；
D．存在实数，使得直线与圆相切．
10．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1
C．直线与圆可能相切
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
14．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
15．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
16．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
三、填空题
17．（2024·广东汕头·三模）已知圆经过，，三点，
（i）则圆的标准方程为 ；
（ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 .
18．（2024·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ．
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
20．（2024·湖南·二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可）
21．（2024·浙江·三模）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可）
22．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 .
命题解读
考向
考查统计
1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。
2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。
3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。
直线与圆的位置关系
2023·新高考Ⅰ卷，6
2022·新高考Ⅱ卷，15
2023·新高考Ⅱ卷，15
2024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）
圆与圆的位置关系
2022·新高考Ⅰ卷，14
直线的斜率
2022·新高考Ⅱ卷，3
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0