2025年新高考数学高频考点+重点题型专题21函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题21函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用含解析答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点，，是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
9．如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ）
A．h(t)＝－8sint＋10B．h(t)＝－cst＋10
C．h(t)＝－8sint＋8D．h(t)＝－8cst＋10
10．函数在区间上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的值域是（ ）
A．[－1,1]B．
C．D．
12．健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为B．C．舒张压为D．
13．函数 的对称中心是（ ）
A．B．，
C．， D．，
14．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
15．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是
A．B．C．D．
16．已知函数满足条件：，为了得到的图象，可将函数的图象向右平移个单位，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题
17．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
18．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的最大值为2B．函数的图象关于点对称
C．函数是偶函数D．直线是函数图象的一条对称轴
19．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
20．给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数是奇函数，且的最小正周期为2
B．函数的最大值为2，当且仅当时为偶函数
C．函数的单调增区间是
D．函数，的单调减区间是
21．下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线成轴对称
三、填空题
22．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
23．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

24．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
25．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
26．已知函数（其中，，）的部分图像如图所示，则使成立的的最小正值为 .
27．函数f（x）=sinπx+csπx+|sinπx﹣csπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为 ．
28．已知函数，的部分图像如下图，则= .
四、解答题
29．函数的一部分图象如图所示，其中，，.
（1）求函数解析式；
（2）求时，函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
30．已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
31．已知，函数．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若的最大值是，求的值．
32．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
33．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：
(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①，②，③．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．
34．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
35．已知函数.
(1)当时，求的最大值、最小值以及取得最值时的值；
(2)设，若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
2.4
1.5
0.6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
参考答案：
1．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
4．A
【分析】首先化简函数，接着得到，根据题意得到，，根据求得的最小取值.
【详解】，
，
将的图象向左平移个单位得到，
所以，
因为实数，满足，
所以中一个取最大值1，一个取最小值
不妨取，
所以，解得，
，解得，
所以，
，当时，，
所以时，，
因为，所以，
所以的最小取值为，
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数图象的伸缩平移变换，以及三角函数的图象性质，属于三角函数的综合题目，需要掌握三角函数的最大值点和最小值点，并且结合关系求得参数的取值范围，考查学生分析问题解决问题的能力.
5．B
【分析】先由平移变换得到，在同一坐标系中作出两个函数图像，设为的中点，由，，然后根据为钝角三角形，只须，由求解，
【详解】由题意得，，作出两个函数图像，如图：
，，为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，
由对称性，则是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，
解得，则，
即，
所以，
因为为钝角三角形，
则，
所以，
解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将为钝角三角形，转化为，利用而得解.
6．D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
7．C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
8．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
9．D
【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.
【详解】设，
由题意可得，，，
，，，
，
当时，，得，
可取，
所以.
故选：D.
10．A
【详解】根据x的取值范围，判断函数的单调性，并结合特殊值的函数值，即得解.
【解答过程】当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
由此结合各选项中图象以及将代入到函数解析式中，函数值为，
将代入到函数解析式中，函数值为，
可知A中图像正确；
故选：A.
11．B
【分析】根据整体法即可求解.
【详解】由可得，所以
故选：B．
12．B
【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，，利用周期公式求出得解．
【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；
周期，知，所以选项B错误；
由题得，所以所以选项D正确.
故选：B
【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出的值，根据周期求出的值，根据特殊点求出的值.
13．D
【分析】根据整体法即可求解.
【详解】令（），解得（），
故函数的对称中心为，．
故选:D．
14．C
【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用三角函数的图像平移得到新的解析式，结合函数为偶函数即可求得的最小正值.
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位得，
由该函数为偶函数可知: ，
即，
当时， ，
所以的最小正值是为.
故选：
【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的图象平移，三角函数奇偶性，是中档题.
15．D
【详解】函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为，再向左平移个单位得到函数为，所得函数的图象的一条对称轴的，故选D
16．A
【详解】由由题意可得，
则，，
令可得，则，，
绘制函数图象如图所示，
令可得：，
令可得：，
据此可得，则的最小值为.
故选A.
17．BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
18．AC
【分析】先根据平移伸缩表示出函数的解析式，再根据图像性质判断选项即可.
【详解】由题意得，
所以的最大值为2，为偶函数，
的图像关于点对称，关于直线对称，
故B和D错误，A和C正确.
故选：AC.
【点睛】根据三角函数解析式求解性质时，可以用整体代换来进行处理，也可以作图处理.
19．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
20．ABD
【分析】，可判断A正确，利用正弦函数的知识可判断B正确，，该函数无单调增区间，可判断C错误，，解出不等式，可判断D正确.
【详解】因为，所以其是奇函数，最小正周期为
故A正确
函数的最大值为2，
当且仅当时为偶函数
故B正确
，其单调递减区间为，无单调增区间
故C错误
，令
解得，与的公共部分为
故D正确
故选：ABD
21．ACD
【分析】本题可根据单调递增区间为判断出A错误，然后根据最小正周期判断出B正确，再然后根据关于点成中心对称判断出C错误，最后根据正切函数没有对称轴判断出D错误.
【详解】A项：令，即，
函数的单调递增区间为，A错误；
B项：最小正周期，B正确；
C项：令，即，
函数关于点成中心对称，C错误；
D项：正切函数没有对称轴，则函数也没有对称轴，D错误，
故选：ACD.
22．/
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
23．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
24．
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
25．
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
26．
【分析】由图象可知A=1，,可知，又过点，代入知，求得，令即可求出.
【详解】由函数图象可知A=1，又，
所以，因为函数图象过点，代入解析式可知，
因为，
所以， ，
所以函数解析式为，其对称轴由 可得
因为，即
所以是函数的一条对称轴，当时，的最小正值为，
故填.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，根据图象求函数解析式，重点研究了函数的对称轴方程，属于难题.
27．
【详解】试题分析：先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．
解：由题意可得，f（x）=，
若f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，
则f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．
|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=csπx=﹣，函数取得最小值，
∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，
故答案为．
考点：正弦函数的图象．
28．
【分析】先求出周期，从而可得，代入函数值为0，结合已知的范围，可求得，最后由可得．
【详解】由题意，∴，
又，，而，∴，
，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．
29．（1）；（2）；（3），.
【分析】（1）根据图象得最大最小值，由最值可得可得和，根据周期可得，根据最高点的坐标可得；
（2）根据正弦函数的图象可得值域；
（3）根据图象得平移变换得到，再根据正弦函数的递减区间可得结果.
【详解】（1）根据函数的一部分图象，其中，，，
可得，∴；
∵，∴，
再根据，可得，，
∴，，∵，∴，
∴函数的解析式为；
（2）∵，∴，∴，
∴函数的值域为；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
对于函数，
令，，
求得，，
故函数的单调减区间为，.
【点睛】本题考查了根据图象求解析式，考查了利用正弦函数的图象求值域，考查了利用正弦函数的单调性求函数的单调区间，属于中档题.
30．(1)；
(2).
【分析】（1）由题得即得解；
（2）首先求出，再利用不等式的性质和三角函数的图象和性质得解.
【详解】（1）解：由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即，
函数的周期为.
（2）解：由函数图象的最低点为，得，
由得.
又点在图象上，得，即，
故，，所以，，
又，所以，所以.
又，所以，
所以.
所以的值域为.
31．（Ⅰ）,;（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解.
试题解析：（Ⅰ）由题意
由，得．
所以单调的单调递增区间为，.
（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，
故．
32．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
33．(1)作图见解析；选②做为函数模型，
(2)安排早上5点至7点以及11点至18点
【分析】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质
求出该拟合模型的函数解析式即可．
（2）由，令y≥1.05，得，从而解出，即可求出结果．
【详解】（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：

结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②做为函数模型，
∴，
∵，∴
又∵函数y＝0.9cs（φ）+1.5的图象过点，
∴，
∴，∴，
又∵，∴φ，
∴
（2）由（1）知：
令y≥1.05，即，∴
∴，
∴，
又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全．
34．（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【分析】（1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；
（2）由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.
【详解】（1）
由图象可知，，
则有
又因为时取最大值6.5，可得，
所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.
令，
得
得，
即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【点睛】关键点点睛：实际问题中的三角函数问题，需要理解读懂题意，转化为解三角形问题是解题的关键，属于中档题.
35．(1)当时，；当时，.
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质即可得解；
（2）分别求得的值域，将问题转化为的值域是的值域的子集，从而得解.
【详解】（1）因为
，
，，
所以当，即时，；
当，即时，；
综上，当时，；当时，.
（2），，
，即，
，，
，
因为对于任意，都存在，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，即，
所以，.