2025年新高考数学高频考点+重点题型专题02不等关系含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题02不等关系含解析答案，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
2．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是．
A．B．C．D．的大小关系不确定
3．已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞cdB．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bcD．
4．如果，那么下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A．甲先到教室B．乙先到教室
C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定
7．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．“”的一个充分条件是
A．或B．且C．且 D．或
9．设且，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
10．设，，则是成立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．若,且，则（ ）
A． B．
C． D．
13．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
14．设 (其中0A．PC．P15．若α，β满足，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0B．－π < 2α－β < π
C．－< 2α－β < D．0 < 2α－β < π
16．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知，，，则( )
A．B．C．D．
18．已知，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
19．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
21．已知且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
22．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
23．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
24．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，则
25．已知，且，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
26．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
27．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
28．(多选)已知a，b∈(0，1)，若a>b，则下列所给命题中错误的为（ ）
A．
B．
C．(1＋b)b>(1＋a)a
D．(1－b)b>(1－a)a
29．下列不等式中，推理正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若 ，则
30．已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．
31．在所给的四个条件：①；②；③；④中，能推出成立的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
三、填空题
32．长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是 .
33．设，，则，的大小关系为 .
34．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
35．给出下列五个论断：①；②；③；④；⑤.以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
36．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>，|β|>.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是 .
37．已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 .
38．已知角满足，，则的取值范围是 ．
39．已知，则的取值范围为 .
40．设x，y为实数，满足，，则的最小值是 .
41．已知，则的范围是 .
42．已知Sn是等差数列{an}的前n项的和，若S2≥4，S4≤16，则a5的最大值是 ．
43．给出下列三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成 个真命题.
44．已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
45．已知： ，那么c的取值范围是 .
46．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”)
四、解答题
47．国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
48．调查某地居民每年到商场购物次数与商场面积、到商场距离的关系，得到关系式（为常数）.如图，某投资者计划在与商场相距10km的新区新建商场，且商场的面积与商场的面积之比为.记“每年居民到商场购物的次数”、“每年居民到商场购物的次数”分别为，，称满足的区域叫做商场相对于的“更强吸引区域”.
（1）已知与相距15km，且.当时，居住在点处的居民是否在商场相对于的“更强吸引区域”内？请说明理由；
（2）若要使与商场相距2km以内的区域（含边界）均为商场相对于的“更强吸引区域”，求的取值范围.
49．已知为正实数．求证：.
50．已知下列三个不等式：
①；
②；
③，
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
51．已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
52．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
53．某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
参考答案：
1．B
【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高．
【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度小于＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
即人的身高大于170小于178,
故选：B．
2．A
【分析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出的表达式，利用不等式的性质求解即可.
【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有.
所以有，因此.
可得：；
可得：，因此.
故选：A
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.
3．C
【分析】取，则可判断A、B、D错误.则可选出答案.
【详解】若,此时，，.A、B、D错误.
因为，所以，又因为，所以，C正确.
故选C.
4．D
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，从而得解.
【详解】对于AB，当时，，，故AB错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.
【详解】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；
选项B中，，，与大小不能确定，故B错误；
选项C中，由于，故C错误；
选项D中，令，则，故D错误.
故选：A.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题.
6．B
【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较.
【详解】解：设步行速度与跑步速度分别为，，
则，总路程为，
则甲用时间为，乙用时间为，
则.
所以，故乙先到教室.
故选：B.
7．A
【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
8．C
【详解】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.
9．D
【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，
若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，
故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，
故选D．
【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．
10．A
【分析】根据条件，分析是否成立即可．
【详解】若，则成立，所以是充分性
若，则当时成立，不满足，所以不是必要性
所以是的充分不必要条件
所以选A
【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题．
11．D
【解析】讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.
【详解】（1）若以①②为条件，③为结论.
则，因为，即，
故，即；则此时可以组成真命题；
（2）若以①③为条件，②为结论.
则由，即，结合，故可得.
则此时可以组成真命题；
（3）若以②③为条件，①为结论.
则由，即，结合，即可得.
则此时可以组成真命题.
故可以组成正确命题的个数是：.
故选：.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题.
12．B
【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】由得，当时，，此时，，故CD错误，
当时，，此时A错误，
综上可知，当时，则成立，故B正确，
故选:B.
13．C
【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得.
【详解】对A，令，，有，故A错误；
对B，由，故，故B错误；
对C，，
即只需，，由，故，故C正确；
对D，令，有，故D错误.
故选：C.
14．A
【分析】利用基本不等式证明可得.
【详解】
又，
∴.
故选：A
15．C
【分析】由不等式的同向可加性得到，结合将右侧范围进一步缩小，即可得到答案
【详解】由知：
由知：
∴
又∵即
∴
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围
16．A
【分析】根据不等式的基本性质可判断A，利用作差法可判断BD的正误，利用反例可判断C的正误.
【详解】解：，故，，
故，故，
故，故A成立.
对于B，因为，故，
而，故，故B错误.
对于C，取，则，故C错误.
对于D，因为，故，
故，故D错误
故选：A．
17．A
【分析】根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性即可求解.
【详解】
另一方面，，
故选:
18．B
【分析】首先求，然后比较 与的绝对值大小即可求解．
【详解】，，，则，
由上两式作差得，，
由，
由，故，
所以，则
故选：B
19．C
【分析】由题意列不等式，即可求出结果.
【详解】由题意可得：
故选：C.
20．ABD
【分析】依题意得到，再根据不等式的性质一一判断即可；
【详解】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
21．BCD
【分析】由且，可以得到，，然后结合不等式的性质容易对A，B，C选项进行判断，然后利用基本不等式可对D选项进行判断.
【详解】A：因为且，所以，即，，不一定等于1，故A项不一定成立；
B：因为，所以，所以B项一定成立；
C：因为，所以，C项一定成立；
D：，D项一定成立.
【点睛】思路点睛：由不等式关系以及等式关系估算量的范围是常用的解题方法.
22．AC
【分析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;
对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;
对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;
对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;
故选:AC
【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
23．AC
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
24．BC
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
25．AC
【分析】根据题设条件可得同号，且，直接判断A选项，根据不等式的性质判断B选项，根据基本不等式判断C选项，根据判断函数的单调性判断D选项.
【详解】因为，且，所以同号，且，故A正确；
因为，则当时，，同时除以，因为，所以有即，故B错误；
因为，所以同号，所以，所以，又，所以等号取不到，所以，故C正确；
因为函数是单调增函数，且，所以，故D错误；
故选：AC
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
26．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
27．BD
【分析】由已知可得，作差即可比较大小，得出答案.
【详解】∵，两式相减得，即，∴．
又，∴．
而．∴，从而．
故选：BD．
28．ABC
【分析】根据a，b∈(0，1)且a>b，得到1>1－b>1－a>0，，>a，a>，再利用指数函数，幂函数的单调性判断.
【详解】因为a，b∈(0，1)且a>b，所以1>1－b>1－a>0，，
所以指数函数y＝（1-b）x单调递减，又>a，a>，
所以，，故A，B错误.
又指数函数单调递增，幂函数在单调递增，
所以(1＋b)b<(1＋a)b<(1＋a)a，故C错误.
所以(1－b)b>(1－b)a>(1－a)a，故D正确.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及指数函数，幂函数的单调性，属于基础题.
29．CD
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时，所以A错误；
对于B中，若，可得，则，所以B错误；
对于C中，由，可得，可得，即，所以C正确；
对于D中， ，由不等式的性质，可得，所以D正确.
故选：CD.
30．BCD
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】解：因为a，b，c满足c所以，
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
31．ABD
【分析】利用不等式的基本性质通过①，判断是否成立；②，同乘，判断即可；③，直接判断能否得到；④，同乘，判断即可．
【详解】解：由不等式的基本性质可知①，，所以①能使成立的条件；
②，同乘，可得，②能使成立的条件；
③，可知不成立；
④，同乘，成立．
故选：ABD．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，注意不等式成立的条件的应用，考查计算能力，推理能力，属于基础题．
32．小学中级
【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.
【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级教师的人数分别为，，，，
则，
，，，，
∴ ，
∴，.
若，
则，
∵，
∴ ，，，.
若，
则，
∵，
∴ .
∵，
∴ ，，与矛盾.
队长为小学中级教师时，去掉队长，
则，，，，
满足，，，；
队长为小学高级教师时，去掉队长，
则，，，，不满足；
队长为中学中级教师时，去掉队长，
则，，，，
不满足；
队长为中学高级教师时，去掉队长，
则，，，，不满足.
综上，队长为小学中级教师.
故答案为：小学中级.
【点睛】思路点睛：从题意中分析出，，，，，
得到，分析或是否满足题意，再分队长为小学中级教师、小学高级教师、中学中级教师、中学高级教师四种情况讨论即可得出结果.
33．
【分析】先分别将，平方，再进行大小比较即可.
【详解】解：，，
，
、的大小关系为；
故答案为：.
【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
34．若a＞b，a＜0且b＜0，则＜（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b）
【分析】直接利用不等式性质得到答案.
【详解】若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，
证明：，，故；，，故，
则，故.
故答案为：若a＞b，a＜0且b＜0，则＜.
【点睛】本题考查了不等式性质，属于简单题.
35．②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤
【分析】利用不等式的性质和做差比较即可得到答案.
【详解】由②③⇒⑤，
因为，，则.
由③④⇒⑤，
由于，，则，所以.
由②④⇒⑤，
由于，且，则，所以.
故答案为：②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤
36．①③⇒②
【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．
【详解】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，
若①②成立，如，但③不成立，
若②③成立，如，但①不成立．
故答案为：①③⇒②．
37．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)
【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.
【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.
①，③，
则，
所以.
故答案为：①③推出⑤
【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.
38．
【详解】结合题意可知：，
且：，
利用不等式的性质可知：的取值范围是.
点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．
39．
【分析】由，可得,再将同乘可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，.
将不等式,同乘以,
则，即.
故答案为.
【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
40．
【解析】利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
41．
【分析】根据不等式的性质运算求解即可.
【详解】由题,故,.
故,,则,又,故.
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.
42．
【详解】试题分析：设等差数列公差为则，因此，即a5的最大值是
考点：利用不等式性质求最值
43．3
【分析】可先对②作等价变形处理，分析成立条件，再将题设条件进行组合
【详解】，与同号，
具体证明如下：
由①③②：若，，即，则与同号，则
由①②③：若，，即与同号，可得，
由②③①：若，，
即与同号，，可得，
所以可以组成3个真命题
【点睛】当证明过程中发现条件复杂时，需先将条件进行转化，确定为真命题时，需要进行证明
44．
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又，
所以，
所以，
即的取值范围是.
因为所以，
即，
所以的取值范围是
答案：,
45．（9，30）
【解析】由，，得，然后根据的取值范围得出答案．
【详解】，
即
，
．
故答案为：（9，30）
【点睛】本题考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．
46．乙
【分析】根据题意，求得甲、乙购买该用品的平均单价，结合作差比较法，即可求解.
【详解】由题意得甲购买该用品的平均单价为，
乙购买该用品的平均单价为，
因为，可得，所以，
即乙的购买方式更优惠.
故答案为：乙
47．
【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y元,根据题意可得关于的二次函数解析式.由题意知,进而得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得的取值范围.
【详解】设税率调低后的“税收总收入”为y元,则
.
依题意,得,
即,
整理,得,解得.
根据x的实际意义,知,所以为所求.
故x的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.
48．（1）居住在点处的居民是不在商场相对于的“更强吸引区域”内，理由见解析；（2）.
【分析】（1）设商场，的面积分别为，，点到，的距离分别为，则，，，为常数，，由余弦定理得，利用作差法可得，由此能求出当时，居住在点处的居民是不在商场相对于的“更强吸引区域”内．
（2）以所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系，由，得，将代入，得，从而，推导出商场相对于的“更强吸引区是：圆心为，，半径为的圆的内部，由此能求出的取值范围．
【详解】（1）设商场，的面积分别为，，点到，的距离分别为，，
则，，，为常数，，
在中，，，，
由余弦定理得：
．
又，
此时，，
将代入，得，
，，
当时，居住在点处的居民是不在商场相对于的“更强吸引区域”内．
（2）以所在直线为轴，为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由，得，将代入，得，
代入坐标，得，
化简，得，
，配方得，
商场相对于的“更强吸引区是：圆心为，，半径为的圆的内部，
与商场相距的区域（含边界）是：圆心为，半径为的圆的内部及圆周，
由题设，圆内含于圆，即，
，，
解得．
的取值范围是．
【点睛】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、圆的性质，考查余弦定理、作差法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是综合题．
49．证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
50．可组成3个正确命题．
【分析】由题意（1）中，对②变形得，进而可得①③②．
（2）中，由，则，可得①②③．
（3）中，由，则，可得②③①．
【详解】（1）对②变形得，
由得②成立，即①③②．
（2）若，则，即①②③．
（3）若，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
【点睛】本题主要考查了不等关系与不等式的性质的应用，不等式的性质是不等式的基础内容，也是考查的热点内容，主要用于比较实数或式子的大小，以及证明一些不等式或与函数、数列等知识综合命题．解题时，注意作差法及特殊值法在比较大小中的应用．
51．可组成3个正确命题，证明见解析.
【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可.
【详解】（1）对②变形：，由得②成立，∴①③②.
（2）若，则，∴①②③.
（3）若，则，∴②③①.
综上所述，可组成3个正确命题.
52．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
53．当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
【分析】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用元和坐乙车所需费用元,再对和作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论.
【详解】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，
则，，
所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
故得解.
【点睛】本题主要考查运用不等式知识中的比较大小解决实际生活中的确定方案的问题，属于中档题．关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子，运用数学方法解决问题．