江苏省徐州市睢宁县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份江苏省徐州市睢宁县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确，请把正确选项的字母代号填在表中相应的题号下．
1．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x=﹣3
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣4=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣3）2=13 B．（x﹣3）2=5 C．（x﹣6）2=13 D．（x﹣62）2=5
3．一元二次方程x2+4x﹣1=0的两根之积是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
4．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过（ ）
A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
5．⊙O的半径为3，点A在直线l上，已知OA=3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内心到三边的距离相等 B．三角形的外心到三个顶点的距离相等
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升（ ）
A．70cm B．10cm或70cm C．10cm D．5cm或35cm
8．将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是（ ）
A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣1）2﹣3; C．y=（x+1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
9．如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是（ ）
A．到CD的距离保持不变 B．到D点距离保持不变
C．等分 D．位置不变
10．已知二次函数y=x2﹣4mx+m﹣的图象经过原点O，与x轴相交于另一点A，抛物线的顶点为B，则△OAB的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．一元二次方程x2=4的解是 ．
12．若代数式x2+4的值与5x的值互为相反数，则x的值为 ．
13．若关于x的方程x2﹣2x+4k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．已知二次函数y=ax2的图象经过点（﹣2，3），当x＞0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 ．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，如果∠BAD=70°，∠ACB=80°，那么∠ABD= °．
17．抛物线y=2x2+4x﹣3m的顶点在x轴上，则m= ．
18．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是 ．
三、解答题：本大题共3小题，19题10分，20、21题各8分，共26分．
19．解方程：
（1）4x2﹣1=0； （2）2x2﹣3x=0．
20．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0有一个根为﹣1．
（1）求m的值；
（2）直接写出这个方程的两根之和和两根之积．
21．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为P，BP=2，求弦CD的长．

四、解答题：本大题共4小题，每小题9分，共36分．
22．某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率．
23．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，求∠BED的度数．
24．已知二次函数y=﹣x﹣．
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）在如图中建立平面直角坐标系，并画出该函数的图象．（列表、描点、连线）
（3）结合图象回答问题：
①当x的取值范围是 时，y≤0？
②将此抛物线向 平移 个单位时，它与x轴有且只有一个公共点．
25．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

五、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
26．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过8000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
27．已知两个二次函数y1=﹣x2+bx+c和y2=﹣x2+m，对于函数y1，当x=2时，该函数取最大值．
（1）求b的值；
（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，2），过点（0，a+3）（a为实数）作x轴的平行线l．
①若l与函数y1、y2的图象只有3个不同的公共点，则a= ；
②若l与函数y1、y2的图象共有4个不同交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

2016-2017学年江苏省徐州市睢宁县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确，请把正确选项的字母代号填在表中相应的题号下．
1．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0B．x2﹣x﹣1=0C．x2﹣x+2=0D．x2﹣x=﹣3
【考点】根的判别式．
【分析】逐一分析四个选项中根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，
∴该方程无解；
B、∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
C、∵△=（﹣1）2﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴该方程无解；
D、原方程可变形为x2﹣x+3=0，
∵△=（﹣1）2﹣4×1×3=﹣11＜0，
∴该方程无解．
故选B．

2．用配方法解方程x2﹣6x﹣4=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣3）2=13B．（x﹣3）2=5C．（x﹣6）2=13D．（x﹣62）2=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法可以解答此题．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣4=0时，
原方程应变形为：（x﹣3）2=13，
故选A．

3．一元二次方程x2+4x﹣1=0的两根之积是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：设一元二次方程x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1x2=﹣1．
故选D．

4．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过（ ）
A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数图象上的点适合函数解析式，可得答案．
【解答】解：将（1，﹣2）代入函数解析式，得
﹣2=a×11，解得a=﹣2，
函数解析式为y=﹣2x2，
A、当x=2时，y=﹣2×22=﹣8≠1，故A错误；
B、当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠2，故B错误；
C、当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2，故C正确；
D、当x=1时，y=﹣2×12=﹣2≠2，故D错误；
故选：C．

5．⊙O的半径为3，点A在直线l上，已知OA=3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】先判断点A在⊙O上，利用点到直线的距离的定义可得到点O到直线l的距离d≤3，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断直线l与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，OA=3，
∴点A在⊙O上，
∴点O到直线l的距离d≤3，
∴直线l与⊙O相切或相交．
故选D．

6．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．三角形的外心到三个顶点的距离相等
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
【考点】命题与定理．
【分析】根据内心、外心、正多边形的性质即可一一判断．
【解答】解：A、正确．三角形的内心到三边的距离相等．
B、正确．三角形的外心到三个顶点的距离相等．
C、正确．各边相等的圆内接多边形是正多边形．
D、错误．矩形是各角相等的圆内接多边形，但不是正多边形．
故选D．

7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升（ ）
A．70cmB．10cm或70cmC．10cmD．5cm或35cm
【考点】垂径定理的应用．
【分析】本题实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB=6分米，
∴AG=AB=3分米，
∵油槽直径MN为10分米．
∴OA=5分米，
∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；
当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
故选B．

8．将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是（ ）
A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣1）2﹣3C．y=（x+1）2﹣3D．y=（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，
故选：B．

9．如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是（ ）
A．到CD的距离保持不变B．到D点距离保持不变
C．等分D．位置不变
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】首先连接OP，由∠OCD的平分线交⊙O于点P，易证得CD∥OP，又由弦CD⊥AB，可得OP⊥AB，即可证得点P为的中点不变．
【解答】解：不发生变化．
连接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
∴点P为的中点不变．
故选D．

10．已知二次函数y=x2﹣4mx+m﹣的图象经过原点O，与x轴相交于另一点A，抛物线的顶点为B，则△OAB的面积是（ ）
A．2B．C．1D．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据题意确定出A与B的坐标，进而求出三角形OAB面积．
【解答】解：把（0，0）代入二次函数解析式得：0=m﹣，
解得：m=，即y=x2﹣2x，顶点坐标为（1，﹣1），
令y=0，得到x（x﹣2）=0，
解得：x=0或x=2，即A坐标为（2，0），OA=2，
则△OAB的面积S=×2×1=1，
故选C

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．一元二次方程x2=4的解是 x1=2，x2=﹣2 ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2=4，
两边直接开平方得：
x=±2，
∴x1=2，x2=﹣2，
故答案为：x1=2，x2=﹣2．

12．若代数式x2+4的值与5x的值互为相反数，则x的值为 ﹣1或﹣4 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】根据相反数的定义即可得出关于x的一元二次方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【解答】解：∵代数式x2+4的值与5x的值互为相反数，
∴x2+4+5x=0，即（x+1）（x+4）=0，
解得：x=﹣1或x=﹣4．
故答案为：﹣1或﹣4．

13．若关于x的方程x2﹣2x+4k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+4k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×4k=4﹣16k＞0，
解得：k＜．
故答案为：k＜．

14．已知二次函数y=ax2的图象经过点（﹣2，3），当x＞0时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由点的坐标求得抛物线的解析式，再利用二次函数的增减性可求得答案．
【解答】解：
∵y=ax2的图象经过点（﹣2，3），
∴3=4a，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2，
∴抛物线开口向上，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．

15．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 6π ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．
【解答】解：圆锥的侧面积=πrl=2×3π=6π．
故答案为：6π．

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，如果∠BAD=70°，∠ACB=80°，那么∠ABD= 30 °．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据已知角求出和的度数，求出度数，即可求出答案．
【解答】解：∵∠BAD=70°，∠ACB=80°，
∴的度数为160°，的度数为140°，
∴的度数为360°﹣160°﹣140°=60°，
∴∠ABD=×60°=30°，
故答案为：30．

17．抛物线y=2x2+4x﹣3m的顶点在x轴上，则m= ﹣ ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，可求得其顶点坐标，结合条件可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
∵y=2x2+4x﹣3m=2（x+1）2﹣3m﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣3m﹣2），
∵抛物线顶点在x轴上，
∴﹣3m﹣2=0，解得m=﹣，
故答案为：﹣．

18．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．
【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．
【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，
则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，
∴∠AOC=×180°=60°，
∵D是的中点，
∴∠AOE=∠AOC=30°，
∴∠COE=90°，
∴CE=OC=，
即DP+CP=．
故答案为：．

三、解答题：本大题共3小题，19题10分，20、21题各8分，共26分．
19．解方程：
（1）4x2﹣1=0；
（2）2x2﹣3x=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）先变形得到x2=，然后利用直接开平方法求解．
（2）将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）4x2﹣1=0，
x2=，
所以x1=，x2=﹣．
（2）2x2﹣3x=0，
分解因式得：x（2x﹣3）=0，
可得：x=0或2x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=．

20．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0有一个根为﹣1．
（1）求m的值；
（2）直接写出这个方程的两根之和和两根之积．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0=0，求得m的值；
（2）利用根与系数的关系求得方程的两根之和和两根之积．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）+m2﹣3m﹣5=0，即m2﹣3m+2=0，
∴（m﹣1）（m﹣2）=0，
解得，m=1或m=2；
（2）由（1）知m2﹣3m+2=0，
∴m2﹣3m=﹣2，
设方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5=0的两个根为x1，x2，
则x1+x2=6，x1x2=m2﹣3m﹣5=﹣7．

21．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为P，BP=2，求弦CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据AB=10求出OP的长，连接OC，在Rt△OPC中，利用勾股定理即可求出PC的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OC，
OP=OB﹣PB=5﹣2=3
在Rt△OPC中
，
∵OB过圆心，OB⊥CD
∴CD=2PC=2×4=8

四、解答题：本大题共4小题，每小题9分，共36分．
22．某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】要求每次降价的百分率，应先设每次降价的百分率为x，则第一次降价后每件80（1﹣x）元，第二次降价后每件80（1﹣x）2元，又知经两次降价后每件51.2元，由两次降价后每件价钱相等为等量关系列出方程求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后每件80（1﹣x）元，第二次降价后每件80（1﹣x）2元，
由题意得：80（1﹣x）2=51.2
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）
答：平均每次降价的百分率为20%．

23．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，求∠BED的度数．
【考点】作图—复杂作图；圆周角定理．
【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD﹣∠ABC=20°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BED．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠BED=180﹣∠D﹣∠DBC=180°﹣40°﹣20°=120°．

24．已知二次函数y=﹣x﹣．
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）在如图中建立平面直角坐标系，并画出该函数的图象．（列表、描点、连线）
（3）结合图象回答问题：
①当x的取值范围是 ﹣1≤x≤3 时，y≤0？
②将此抛物线向 上 平移 2 个单位时，它与x轴有且只有一个公共点．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据对称轴x=﹣计算即可．
（2）利用描点法画出好像图象即可．
（3）①利用图象法解决．
②结合图象即可解决问题．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴x=﹣=1．
（2）函数的图象如图所示，
（3）①由图象可知，﹣1≤x≤3时，y≤0．
故答案为﹣1≤x≤3．
②将此抛物线向上平移2个单位，它与x轴有且只有一个公共点，
故答案为上，2．

25．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）连接OE，ED，
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°，
又∵∠OAD=∠BAC=30°，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED∥AO，
∴S△AED=S△AOD，
∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π．

五、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
26．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过8000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解可得；
（2）根据（1）中相等关系列出函数解析式，再根据函数的性质可得；
（3）根据题意列出关于x的不等式，解之可得．
【解答】解：（1）设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣50）[50+5]=4000，
整理，得：x2﹣160x+6300=0，
解之，得：x=70或x=90，均符合题意，
所以，销售单价为70元或90元时，每天的销售利润可达4000元；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元
则y=（x﹣50）[50+5]=﹣5（x﹣80）2+4500，
因为﹣5＜0，
所以当x=80时，y有最大值4500，
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润为4500元；
（3）根据题意可得：﹣5（x﹣80）2+4500≥4000且50[50+5]≤8000，
解得：78≤x≤90，
答：销售单价应控制在78元到90元之间．

27．已知两个二次函数y1=﹣x2+bx+c和y2=﹣x2+m，对于函数y1，当x=2时，该函数取最大值．
（1）求b的值；
（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，2），过点（0，a+3）（a为实数）作x轴的平行线l．
①若l与函数y1、y2的图象只有3个不同的公共点，则a= ﹣1 ；
②若l与函数y1、y2的图象共有4个不同交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）由于题意知x=2时，该函数取得最小值，所以x=2时该函数y1的对称轴；
（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，则分为两种情况讨论，一种是抛物线与x轴有两个交点时，另一种是抛物线与x轴有1个交点，然后分别求出c的值即可；
（3）①由l与函数y1、y2的图象只有3个不同的公共点知直线l过点（1，2），从而得知a+3=2，可得答案；②函数y1与y2经过（1，﹣2），所以可求出c与m的值，根据函数解析式画出图象可知，若过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则a+3＜3且a≠﹣1，再分别求出y1、y2分别等于a+3时x的值，分﹣1＜a＜0和a＞﹣1时x1、x2、x3、x4的值，从而代入x4﹣x3+x2﹣x1可知最值情况，
【解答】解：（1）由题意，得：﹣=2，
∴b=4；
（2）①若图象过原点，则图象与x轴另一交点坐标为（4，0），
∴两个公共点间的距离为4．
②若与x轴有一个交点，得：16+4c=0，
∴c=﹣4，即y1=﹣x2+4x﹣4=﹣（x﹣2）2，
y1与坐标轴的交点坐标为（2，0）、（0，﹣4），
∴这两点之间的距离为2，
综上所述，当y1的图象与坐标轴只有两个不同的公共点时，
这两点间距离为4或2；
（3）①根据题意知a+3=2，解得：a=﹣1，
故答案为：﹣1；
②因为函数y1、y2的图象都经过点（1，2）
所以﹣1+4+c=2，且﹣1+m=2，
∴c=﹣1，m=3，
∴y1=﹣（x﹣2）2+3，y2=﹣x2+3，
结合图象，由题意，知：a+3＜3，
∴a＜0，
令y1=a+3，则﹣x2+4x﹣1=a+3 即（x﹣2）2=﹣a，解得x=2±，
令y2=a+3，则﹣x2+3=a+3，即x2=﹣a，解得x=，
因为x1＜x2＜x3＜x4，显然x1=﹣，x4=2+，
由①知，a≠﹣1，则a的取值范围是a＜0且a≠﹣1，
当﹣1＜a＜0时， ，∴x2=，x3=2﹣，
∴x4﹣x3+x2﹣x1=2+﹣（2﹣）+﹣（﹣）=4＜4，
当a＞﹣1时， ，
∴x3=，x2=2﹣，
∴x4﹣x3+x2﹣x1=2+﹣+2﹣﹣（﹣）=4，
综上所述，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4．

2017年2月27日