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2023-2024学年福建省泉州、漳州市部分中学高二下学期7月期末联合检测数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年福建省泉州、漳州市部分中学高二下学期7月期末联合检测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<3)=0.7，则P(1A. 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.7
2.已知函数f(x)=xcsx−sinx，则f′π2的值为( )
A. 1B. π2C. 0D. −π2
3.在研究线性回归模型时，样本数据1,52，(2,2)，3,32，7,−12，…，(20,−7)所对应的点均在直线y=bx+3上，用r表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则r=( )
A. −1B. −12C. 1D. 3
4.随机变量X的分布列如下：
若E(X)=1，则D(X)=( )
A. 0B. 2C. 3D. 4
5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为( )
A. 6B. 10C. 12D. 20
6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是13，若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为45；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的概率为35；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为( )
A. 311B. 811C. 15D. 13
7.某人在n次射击中，击中目标的次数为X，X～B(n,p)，其中n∈N∗，0A. 当p=12时，D(X)取得最小值
B. 若n=3，12≤p<1，则PX≥32的取值范围是18,12
C. 若n=20，p=0.8，当P(X=k)取最大值时，则k=15
D. 当08.已知函数f(x)=ex+axlnx−ax2+e2x，若f(x)≥0，则实数a的最大值为( )
A. 1B. 2e−1C. 2eD. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2−x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则( )
A. a7=16B. a0+a1+a2+…+a8=1
C. 二项式系数和为256D. a1+2a2+3a3+…+8a8=8
10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(A+B)=56，则下列说法正确的是( )
A. P(AB)=13B. P(AB)=13C. P(B|A)=12D. P(B|A)=12
11.设函数f(x)=x3−ax+2(a∈R)，则( )
A. 当a=0时，直线y=2不是曲线y=f(x)的切线
B. 若f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
C. 当a=3时，存在等差数列{an}，满足k=15fak=10
D. 若曲线y=f(x)上有且仅有四点能构成一个正方形，则a=2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校一同学研究温差x℃与本校当天新增感冒人数y人的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程y=2.6x+a，则当x=9时，残差为__________．
13.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第__________行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4．
14.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f(x)，若满足(xn+1−xn)f′(xn)+f(xn)=0，则称数列{xn}为牛顿数列．已知f(x)=x3+2x−1(x≥0)，在横坐标为x1=12的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2，继续牛顿法的操作得到数列{xn}.设an=3xn3+2xn2xn3+1n∈N∗，数列{an}的前n项积为Tn.若对任意的n∈N∗，Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求y关于x的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度．
参考数据：i=15xiyi=40，i=15yi−y2=3.06， 30.6≈5.53．
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，
回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx．
16.(本小题15分)
定义：若函数f(x)与g(x)的图象在区间D上有且仅有一个公共点，则称函数f(x)与g(x)在区间D上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−2．
(1)当a=3，判断函数y=f(x)在点x=1处的切线与函数y=g(x)是否在R上单交，若是，并求出“单交点”的坐标；若不是，说明理由？
(2)若函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上存在“单交点”，求a的值．
17.(本小题15分)
CℎatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用CℎatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查．整理如下2×2列联表：
注：本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”．
(1)请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系；
(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作．以样本频率估计概率．若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
18.(本小题17分)
已知，f(x)=x3+x2+kln x
(1)当k=−5时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数g(x)=f(x)−x3+x的单调性；
(3)设ℎ(x)=x2+23x+13x，019.(本小题17分)
近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒(这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉)，每款数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的．
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为X，证明：P(X>3)=P(X>8|X>5)；
(2)设首次出现连续n次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为En，
(ⅰ)求E1；
(ⅱ)求E2，En．
提示：求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2+1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2+2)．
参考公式：n=1∞qn=q1−q(0参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.D
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.0.4
13.34
14.2
15.解：(1)由x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(1.3+1.7+2.2+2.8+3.5)=2.3，i=15(xi−x)2=10，
所以r=i=15xiyi−5x y i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=40−5×3×2.3 10×3.06=5.5 30.6≈≈0.995，
因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)b=i=15xiyi−5x yi=15(xi−x)2=5.510=0.55，a=y−bx=2.3−0.55×3=0.65，
所以y关于x的回归直线方程为y=0.55x+0.65，
当x=7时，y=0.55×7+0.65=4.5，
由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm．
16.【解答】解：(1)由f(x)=xlnx，得f′(x)=lnx+1，所以f′(1)=1，又f(1)=0，所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1，代入y=−x2+ax−2，得x2+(1−a)x+1=0，当a=3时，△=(1−a)2−4=0，此时x=1，函数y=f(x)在点x=1处的切线与函数y=g(x)是在R上单交，“单交点”坐标为(1,0)；
(2)令y=f(x)−g(x)，x>0，又f(x)与g(x)在(0,+∞)上存在“单交点”，则y=f(x)−g(x)在(0,+∞)只有一个零点，y=f(x)−g(x)=x2−ax+2+xlnx，由y=0，得a=x+2x+lnx，令ℎ(x)=x+2x+lnx，x>0，则ℎ′(x)=(x−1)(x+2)x2，因为x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
因此，ℎmin(x)=ℎ(1)=3，又x→0时，ℎ(x)→+∞，x→+∞时，ℎ(x)→+∞，所以a=3．
17.【解答】解：（1）根据题意可得2×2列联表如下：，零假设为H0：年龄因素与是否喜欢该程序独立，即年龄因素与是否喜欢该程序无关，根据列联表的数据计算可得χ2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即年龄因素与是否喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1；
（2）因全市的居民数数远大于所抽取的居民数，以样本频率估计概率，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作的人“的概率P=560=112，即可得X~B(20,112)，故E(X)=20×112=53，D(X)=20×112×1112=5536；
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0,1,2,3，且Y服从超几何分布，P(Y=0)=C70C33C103=1120，P(Y=1)=C71C32C103=21120=740，P(Y=2)=C72C31C103=21×3120=2140，P(Y=3)=C73C10C103=35120=724，故所求分布列为：
，可得E(Y)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=3×710=2.1.
18.解：(1)当k=−5时，f(x)=x3+x2−5lnx，
由f′(x)=3x2+2x−5x=3x3+2x2−5x=(x−1)(3x2+5x+5)x，
由f′(x)=0得x=1，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=2，无极大值；
(2)由g(x)=x2+x+klnx，定义域为(0,+∞)，
所以g′(x)=2x+1+kx=2x2+x+kx，
对g(x)的单调性讨论如下，
①当k≥0时，由x>0，则g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当k<0时，由g′(x)>0且x>0得：x>−1+ 1−8k4，
由g′(x)<0且x>0得：0所以g(x)在(0,−1+ 1−8k4)上单调递减，
在(−1+ 1−8k4,+∞)上单调递增，
(3)令φ(t)=lnt−t2+12t(t>1)，
所以φ′(t)=1t−12−12t2=2t−t2−12t2=−(t−1)2t2<0恒成立，
所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减，取t=mn>1，
则φ(mn)<φ(1)=0，即lnmn−m2n+n2m<0，
所以lnm−lnnm−n 由于f(m)−f(n)3(m−n)=m3−n3+m2−n2+(lnm−lnn)3(m−n)
=16(2m2+2mn+2n2)+13(m+n)+lnm−lnn3(m−n)
≤16(2m2+2n2+m2+n2)+13(m+n)+m+n6mn
=12m2+13m+16m+12n2+13n+16n=ℎ(m)+ℎ(n)2．
19.解：(1)证明：P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+⋯+P(X=n)+⋯
=(34)3×14+(34)4×14+(34)5×14+⋯+(34)n−1×14+⋯
=14[(34)3+(34)4+(34)5+⋯+(34)n−1+⋯]
=14×(34)31−34=(34)3，
同理可得P(X>8)=(34)8，P(X>5)=(34)5，
P(X>8|X>5)=P(X>8,X>5)P(X>5)=P(X>8)P(X>5)=(34)8(34)5=(34)3，
所以P(X>3)=P(X>8|X>5);
(2)(i)P(X=k)=(34)k−1×14，
E1=14[1+2×34+3×(34)2+4×(34)3+5×(34)4+⋯]，
34E1=14[1×34+2×(34)2+3×(34)3+4×(34)4+⋯]，
两式相减，得
14E1=14[1+34+(34)2+(34)3+(34)4+⋯]
所以E1=1+34+(34)2+(34)3+(34)4+⋯=11−34=4，
(ⅱ)E2=(1−14)⋅(E2+1)+(14)2⋅2+14(1−14)⋅(E2+2)，解得：E2=20，
期待在En−1次试验后，首次出现连续(n−1)次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为(En−1+1);
若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为(En−1+1+En)，
即En=14⋅(En−1+1)+(1−14)⋅(En−1+1+En)，
整理得：En=4(En−1+1)，即En+43=4(En−1+43)，
所以En+43是首项为163公比为4的等比数列，
所以En=4n+1−43． X
−2
1
2
P
a
13
b
x(℃)
5
6
8
9
12
y(人)
17
20
25
28
35
第x天
1
2
3
4
5
高度y/cm
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<3)=0.7，则P(1
2.已知函数f(x)=xcsx−sinx，则f′π2的值为( )
A. 1B. π2C. 0D. −π2
3.在研究线性回归模型时，样本数据1,52，(2,2)，3,32，7,−12，…，(20,−7)所对应的点均在直线y=bx+3上，用r表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则r=( )
A. −1B. −12C. 1D. 3
4.随机变量X的分布列如下：
若E(X)=1，则D(X)=( )
A. 0B. 2C. 3D. 4
5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为( )
A. 6B. 10C. 12D. 20
6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是13，若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为45；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的概率为35；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为( )
A. 311B. 811C. 15D. 13
7.某人在n次射击中，击中目标的次数为X，X～B(n,p)，其中n∈N∗，0
B. 若n=3，12≤p<1，则PX≥32的取值范围是18,12
C. 若n=20，p=0.8，当P(X=k)取最大值时，则k=15
D. 当0
A. 1B. 2e−1C. 2eD. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2−x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则( )
A. a7=16B. a0+a1+a2+…+a8=1
C. 二项式系数和为256D. a1+2a2+3a3+…+8a8=8
10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(A+B)=56，则下列说法正确的是( )
A. P(AB)=13B. P(AB)=13C. P(B|A)=12D. P(B|A)=12
11.设函数f(x)=x3−ax+2(a∈R)，则( )
A. 当a=0时，直线y=2不是曲线y=f(x)的切线
B. 若f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
C. 当a=3时，存在等差数列{an}，满足k=15fak=10
D. 若曲线y=f(x)上有且仅有四点能构成一个正方形，则a=2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校一同学研究温差x℃与本校当天新增感冒人数y人的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程y=2.6x+a，则当x=9时，残差为__________．
13.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第__________行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4．
14.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f(x)，若满足(xn+1−xn)f′(xn)+f(xn)=0，则称数列{xn}为牛顿数列．已知f(x)=x3+2x−1(x≥0)，在横坐标为x1=12的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2，继续牛顿法的操作得到数列{xn}.设an=3xn3+2xn2xn3+1n∈N∗，数列{an}的前n项积为Tn.若对任意的n∈N∗，Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求y关于x的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度．
参考数据：i=15xiyi=40，i=15yi−y2=3.06， 30.6≈5.53．
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，
回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx．
16.(本小题15分)
定义：若函数f(x)与g(x)的图象在区间D上有且仅有一个公共点，则称函数f(x)与g(x)在区间D上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−2．
(1)当a=3，判断函数y=f(x)在点x=1处的切线与函数y=g(x)是否在R上单交，若是，并求出“单交点”的坐标；若不是，说明理由？
(2)若函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上存在“单交点”，求a的值．
17.(本小题15分)
CℎatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用CℎatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查．整理如下2×2列联表：
注：本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”．
(1)请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系；
(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作．以样本频率估计概率．若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
18.(本小题17分)
已知，f(x)=x3+x2+kln x
(1)当k=−5时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数g(x)=f(x)−x3+x的单调性；
(3)设ℎ(x)=x2+23x+13x，0
近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒(这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉)，每款数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的．
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为X，证明：P(X>3)=P(X>8|X>5)；
(2)设首次出现连续n次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为En，
(ⅰ)求E1；
(ⅱ)求E2，En．
提示：求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2+1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2+2)．
参考公式：n=1∞qn=q1−q(0
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.D
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.0.4
13.34
14.2
15.解：(1)由x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(1.3+1.7+2.2+2.8+3.5)=2.3，i=15(xi−x)2=10，
所以r=i=15xiyi−5x y i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=40−5×3×2.3 10×3.06=5.5 30.6≈≈0.995，
因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)b=i=15xiyi−5x yi=15(xi−x)2=5.510=0.55，a=y−bx=2.3−0.55×3=0.65，
所以y关于x的回归直线方程为y=0.55x+0.65，
当x=7时，y=0.55×7+0.65=4.5，
由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm．
16.【解答】解：(1)由f(x)=xlnx，得f′(x)=lnx+1，所以f′(1)=1，又f(1)=0，所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1，代入y=−x2+ax−2，得x2+(1−a)x+1=0，当a=3时，△=(1−a)2−4=0，此时x=1，函数y=f(x)在点x=1处的切线与函数y=g(x)是在R上单交，“单交点”坐标为(1,0)；
(2)令y=f(x)−g(x)，x>0，又f(x)与g(x)在(0,+∞)上存在“单交点”，则y=f(x)−g(x)在(0,+∞)只有一个零点，y=f(x)−g(x)=x2−ax+2+xlnx，由y=0，得a=x+2x+lnx，令ℎ(x)=x+2x+lnx，x>0，则ℎ′(x)=(x−1)(x+2)x2，因为x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
因此，ℎmin(x)=ℎ(1)=3，又x→0时，ℎ(x)→+∞，x→+∞时，ℎ(x)→+∞，所以a=3．
17.【解答】解：（1）根据题意可得2×2列联表如下：，零假设为H0：年龄因素与是否喜欢该程序独立，即年龄因素与是否喜欢该程序无关，根据列联表的数据计算可得χ2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即年龄因素与是否喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1；
（2）因全市的居民数数远大于所抽取的居民数，以样本频率估计概率，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作的人“的概率P=560=112，即可得X~B(20,112)，故E(X)=20×112=53，D(X)=20×112×1112=5536；
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0,1,2,3，且Y服从超几何分布，P(Y=0)=C70C33C103=1120，P(Y=1)=C71C32C103=21120=740，P(Y=2)=C72C31C103=21×3120=2140，P(Y=3)=C73C10C103=35120=724，故所求分布列为：
，可得E(Y)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=3×710=2.1.
18.解：(1)当k=−5时，f(x)=x3+x2−5lnx，
由f′(x)=3x2+2x−5x=3x3+2x2−5x=(x−1)(3x2+5x+5)x，
由f′(x)=0得x=1，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=2，无极大值；
(2)由g(x)=x2+x+klnx，定义域为(0,+∞)，
所以g′(x)=2x+1+kx=2x2+x+kx，
对g(x)的单调性讨论如下，
①当k≥0时，由x>0，则g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当k<0时，由g′(x)>0且x>0得：x>−1+ 1−8k4，
由g′(x)<0且x>0得：0
在(−1+ 1−8k4,+∞)上单调递增，
(3)令φ(t)=lnt−t2+12t(t>1)，
所以φ′(t)=1t−12−12t2=2t−t2−12t2=−(t−1)2t2<0恒成立，
所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减，取t=mn>1，
则φ(mn)<φ(1)=0，即lnmn−m2n+n2m<0，
所以lnm−lnnm−n
=16(2m2+2mn+2n2)+13(m+n)+lnm−lnn3(m−n)
≤16(2m2+2n2+m2+n2)+13(m+n)+m+n6mn
=12m2+13m+16m+12n2+13n+16n=ℎ(m)+ℎ(n)2．
19.解：(1)证明：P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+⋯+P(X=n)+⋯
=(34)3×14+(34)4×14+(34)5×14+⋯+(34)n−1×14+⋯
=14[(34)3+(34)4+(34)5+⋯+(34)n−1+⋯]
=14×(34)31−34=(34)3，
同理可得P(X>8)=(34)8，P(X>5)=(34)5，
P(X>8|X>5)=P(X>8,X>5)P(X>5)=P(X>8)P(X>5)=(34)8(34)5=(34)3，
所以P(X>3)=P(X>8|X>5);
(2)(i)P(X=k)=(34)k−1×14，
E1=14[1+2×34+3×(34)2+4×(34)3+5×(34)4+⋯]，
34E1=14[1×34+2×(34)2+3×(34)3+4×(34)4+⋯]，
两式相减，得
14E1=14[1+34+(34)2+(34)3+(34)4+⋯]
所以E1=1+34+(34)2+(34)3+(34)4+⋯=11−34=4，
(ⅱ)E2=(1−14)⋅(E2+1)+(14)2⋅2+14(1−14)⋅(E2+2)，解得：E2=20，
期待在En−1次试验后，首次出现连续(n−1)次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为(En−1+1);
若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为(En−1+1+En)，
即En=14⋅(En−1+1)+(1−14)⋅(En−1+1+En)，
整理得：En=4(En−1+1)，即En+43=4(En−1+43)，
所以En+43是首项为163公比为4的等比数列，
所以En=4n+1−43． X
−2
1
2
P
a
13
b
x(℃)
5
6
8
9
12
y(人)
17
20
25
28
35
第x天
1
2
3
4
5
高度y/cm
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
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