2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数z对应点的坐标是(2,−2)，则i⋅z=( )
A. 2+2iB. −2+2iC. 2−2iD. −2−2i
2.已知向量a=(2,t),b=(1,−2)，若a⊥b，则实数t=( )
A. −1B. 1C. −4D. 4
3.下列函数中，周期是π，又是奇函数的是( )
A. y=sinxB. y=cs2xC. y=sin2(x+π4)D. y=tanx
4.为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象
，可以将函数y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π4个单位长度B. 向右平移π4个单位长度
C. 向左平移π8个单位长度D. 向右平移π8个单位长度
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=8,b=5,csA=35，则角B为( )
A. π6B. π3C. π6和5π6D. π3和2π3
6.sin75°cs15°−cs75°sin15°=( )
A. 32B. 12C. 0D. 1
7.已知在△ABC中，csA+1=b+cc，则判断△ABC的形状( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
8.已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a//α，b⊂α，则a//b
B. 若a//b，a⊥α，b⊂β，则α⊥β
C. 若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b
D. 若α⊥β，α∩β=l，a⊂α，b⊥l，则a⊥b
9.设非零向量a,b，则“(a+b)⊥(a−b)”是“a=b或a=−b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知向量OA=(1, 3)，向量|OB|=2，且|OA−OB|=2，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. [0,3+2 3]B. [3−2 3,3+2 3]
C. [6−4 3,0]D. [6−4 3,6+4 3]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|= ．
12.已知角α的终边经过点P(3,−4)，则tanα= ______；csα= ______．
13.已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．
14.“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章算术⋅商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑.其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为______．
15.设函数f(x)=2cs2(ωx−π12)−1，则下列选项中所有正确选项的序号______．
①当ω=1时，f(x)的最小正周期为2π；
②若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小正数为13；
③将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于原点对称，则ω=3k+2(k∈Z)；
④函数f(x)的图像与直线y=12相交，若存在相邻两个交点间的距离为π6，则ω的所有可能值为2，4．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知向量a=(2,2),b=(1,m)．
(1)若m=2，求a⋅b及|a+b|的值；
(2)若2a+b与b平行，求实数m的值；
(3)若a与b的夹角为45°，求实数m的值．
17.(本小题14分)
如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1边长为2．
(1)证明：B1C//平面A1BD；
(2)证明：BD⊥A1C；
(3)求三棱锥B−A1B1C的体积．
18.(本小题13分)
在△ABC中，bsin2A=−27asinB，a=8，c=7．
(1)求b值；
(2)求角C和△ABC的面积．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)= 3sinωx⋅csωx+cs2ωx．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在且唯一．
条件①：f(π3)=−1；
条件②：f(x)在区间[−π3,π6]单调，且f(π6)−f(−π3)=2；
条件③：函数g(x)=f(x)−12相邻两个零点间的距离为π2．
选_____作为条件
(1)求ω值；
(2)求f(x)在区间[−π6,π3]上的最大值与最小值及对应的x的值．
20.(本小题15分)
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置(A1与C不重合)，连A1C，A1B，如图2．
(1)求证：平面A1DE⊥平面A1CD；
(2)若平面A1DE与平面A1CB交于过A1的直线m，求证DE//m；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由．
21.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA=(m,n)为函数f(x)=msinx+ncsx的有序相伴向量．
(1)设ℎ(x)=2sin(x−π3)(x∈R)，写出函数ℎ(x)的相伴向量OM；
(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，若函数ℎ(x)=f(x)+|sinx|，x∈[0,2π]，与直线y=k有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)若f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，当函数f(x)在区间[a,b]上时值域为[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“和谐区间”.当m=−3时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.A
6.A
7.C
8.B
9.B
10.D
11. 2
12.−43 35
13.8π
14.5−5 22
15.②③④
16.解：(1)当m=2时，b=(1,2)，结合a=(2,2)，可得a⋅b=1×2+2×2=6．
因为a+b=(2,2)+(1,2)=(3,4)，所以|a+b|= 32+42=5；
(2)根据a=(2,2),b=(1,m)，可得2a+b=(5,m+4)，
若2a+b//b，则5m=m+4，解得m=1；
(3)根据题意，|a|= 22+22=2 2，|b|= 1+m2，
若a与b的夹角为45°，则a⋅b=|a|⋅|b|cs45°，
即2+2m=2 2⋅ 1+m2⋅ 22，整理得1+m= 1+m2，解得m=0．
17.证明：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AB1，交BA1于E，连接AC交BD于O，连接OE，
则OE//CB1，
因为CB1⊄平面A1BD，OE⊂平面A1BD，
所以B1C/​/平面A1BD；
(2)因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥BD，
因为BD⊥AC，AC∩AA1=A，
所以BD⊥平面ACA1，
所以BD⊥A1C；
解：(3)因为VB−A1B1C=VA1−BCB1=13×S△BCB1×A1B1=13×12×2×2×2=43．
18.解：(1)因为bsin2A=−27asinB，
由正弦定理可得：sinB⋅2sinAcsA=−27sinAsinB，
在△ABC中，可得sinA>0，sinB>0，
可得csA=−17，
又因为a=8，c=7，
由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，
即64=b2+49−2b⋅7⋅(−17)，
可得b2+2b−15=0，
可得b=3或b=−5(舍)，
即b的值为3；
(2)由(1)及△ABC中，可得sinA= 1−cs2A= 1−(−17)2=4 37，
由正弦定理可得：csinC=asinA，
即7sinC=84 37，解得sinC= 32，而C为锐角，
可得C=π3；
S△ABC=12bcsinA=12×3×7×4 37=6 3．
19.解：(1)f(x)= 3sinωx⋅csωx+cs2ωx= 32sin2ωx+1+cs2ωx2=sin(2ωx+π6)+12，
若选①：f(π3)=−1，则sin(2π3ω+π6)+12=−1，即sin(2π3ω+π6)=−32，不成立；
若选②：f(x)在区间[−π3,π6]单调，且f(π6)−f(−π3)=2；
则π6−(−π3)=12T，即ω=1；
若选③：函数g(x)=f(x)−12=sin(2ωx+π6)相邻两个零点间的距离为π2，
则T=π，即ω=1；
(2)由(1)得，f(x)=sin(2x+π6)+12，
当−π6≤x≤π3时，−π6≤2x+π6≤5π6，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1，
所以−1≤f(x)≤32，
故f(x)的最大值为32，此时2x+π6=π2，即x=π6，
f(x)的最小值为−1，此时2x+π6=−π6，即x=−π6．
20.(1)证明：由图1知，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，可得DE/​/BC，
DE⊥AD，DE⊥CD，
图2知，A1D⊥DE，
A1D∩CD=D，
可得DE⊥平面A1CD，
而DE⊂平面A1DE，
所以平面A1DE⊥平面A1CD；
(2)证明：因为DE/​/BC，
BC⊂平面A1CB，DE⊄平面A1CB，
所以DE/​/平面A1CB，
而DE⊂平面A1DE，
平面A1DE与平面A1CB=m，
所以DE//m；
(3)解：线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，
理由如下：如图，

分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ/​/BC，
又因为DE/​/BC，所以DE/​/PQ，
所以平面DEQ即为平面DEP，
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C，
又因为P是等腰△DA1C，底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，
因为DE∩DP=D，
所以A1C⊥平面DEP，
从而A1C⊥平面DEQ，
故线段A1B上存在点Q为A1B的中点，使得A1C⊥平面DEQ．
21.解：(1)因为ℎ(x)=2sin(x−π3)=2(sinxcsπ3−csxsinπ3)=2(12sinx− 32csx)=sinx− 3csx，
所以函数ℎ(x)的相伴向量OM=(1,− 3)；
(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，
则f(x)=csx，
所以ℎ(x)=f(x)+|sinx|
=csx+|sinx|
=csx+sinx,x∈[0,π]csx−sinx,x∈(π,2π]
= 2sin(x+π4),x∈[0,π]− 2sin(x−π4),x∈(π,2π],
如图所示：

当x∈[0,π4]时，ℎ(x)∈[1, 2]；当x∈(π4,π]时，ℎ(x)∈(−1, 2]；
当x∈(π,7π4]时，ℎ(x)∈(−1, 2]，当x∈(7π4,2π]时，ℎ(x)∈(1, 2]；
由图象可知，若函数ℎ(x)与直线y=k有且仅有2个不同的交点，
则k= 2或−1所以k∈(−1,1)∪{ 2}；
(3)f(x)有唯一“和谐区间”[−3,3]，理由如下：
因为f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，
则f(x)=msinx，
当m=−3时，f(x)=−3sinx，

当m=−3时，假设f(x)存在“和谐区间”，
则由−3≤f(x)≤3，得−3≤a≤b≤3，
①若a，b≥0，则由[a,b]⊆[0,π)，知f(x)≤0，与值域[a,b]⊆[0,π)矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理a，b<0时，也不存在“和谐区间”；
下面讨论a≤0≤b，
③若b≥π2，则[0,π2]⊆[a,b]，
故f(x)的最小值为−3，于是a=−3，
所以[−π2,π2]⊆[a,b]，
所以f(x)的最大值为3，故b=3，
此时f(x)的定义域为[−3,3]，值域为[−3,3]，符合题意；
④若0≤b<π2，
当a≤−π2时，同理可得a=−3，b=3，舍去；
当a>−π2时，f(x)在[a,b]上单调递减，
所以a=−3sinb，b=−3sina，
于是a+b=−3(sina+sinb)，
若b>−a，即a+b>0，sinb>sin(−a)，
故sinα+sinb>0，−3(sinα+sinb)<0，
与a+b=−3(sinα+sinb)矛盾；
若b<−a，同理，矛盾；
所以b=−a，即b3=sinb，
由图象可知，当x∈(0,π2)时，sinx>x3，
因为b∈[0,π2),
所以b=0，从而a=0，从而a=b，矛盾．
综上所述，f(x)有唯一“和谐区间”[−3,3]．