2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α的终边经过P(2,−1)，则csα等于( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
2.若sinθ>0且tanθ<0，则θ是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则z1⋅z2=( )
A. 1+2i
B. 1−2i
C. −1+2i
D. −1−2i
4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，α⊥β，则m//βB. 若α∩β=l，l/​/m，则m//β
C. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α/​/β，则m⊥β
5.已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为6π，则该圆锥的体积为( )
A. 12πB. 15πC. 36πD. 45π
6.在△ABC中，a=3，b=4，csB=13，则∠A=( )
A. π6B. π4C. π6或5π6D. π4或3π4
7.已知z1，z2是两个复数，则“z1，z2互为共轭复数”是“z1，z2的差为纯虚数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)的部分记录表．
据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为( )
A. 3.75B. 5.83C. 6.25D. 6.67
9.函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(13π12)=( )
A. 1
B. 3
C. 3
D. 3 3
10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则PB⋅PC的最大值是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知正四棱锥的底面边长为2，高为 3，则它的侧面积为______．
12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P(35,m)，则csβ= ______．
13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，BC=2BP，则AP⋅BD= ______．
14.已知函数f(x)=sinx,x∈(−π2,π2],csx,x∈(π2,3π4),tanx,x∈[3π4,π).则函数f(x)的值域为______；若关于x的方程f(x)−a=0恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为______．
15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，CC1的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.给出下列四个结论：
①A1B//平面EFG；
②点H轨迹的长度为π；
③存在点H，使得直线DH⊥平面EFG；
④平面EFG截正方体所得的截面面积为3 34．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知sinα=35，且α为第二象限角．
(Ⅰ)求tan(α+π4)的值；
(Ⅱ)求cs2α 2sin(α−π4)的值．
17.(本小题13分)
已知向量a=(3,−1)，b=(1,m)．
(Ⅰ)若a⊥(ma−b)，求实数m的值；
(Ⅱ)若m=−2，求a与b夹角的大小．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2 3sinω2xcsω2x−csωx(ω>0)，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)求f(x)在区间[−π4,π6]上的最小值；
(Ⅲ)若f(x)在区间[0,m]上单调递增，求实数m的最大值．
19.(本小题15分)
在△ABC中，a2+b2+ab=c2．
(Ⅰ)求∠C；
(Ⅱ)若a= 6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在．
(ⅰ)求sinB的值；
(ⅱ)求△ABC的面积．
条件①：csA= 22；
条件②：c=2；
条件③：c=3 2sinA
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题15分)
如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，CD/​/AB，∠ADC=90°，AB=2CD．
(Ⅰ)求证：AD⊥CE；
(Ⅱ)求证：CE/​/平面ABF；
(Ⅲ)判断直线BE与CF是否相交，说明理由．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinx+csx，先将f(x)图象上所有点向右平移π4个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，得到函数g(x)的图象．
(Ⅰ)求g(x)的解析式和零点；
(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α、β．
(ⅰ)求实数m的取值范围；
(ⅱ)求cs(α−β)的值.(用含m的式子表示)
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C
10.B
11.8
12.−35
13.−1
14.[−1,1] (− 22,0)
15.①②④
16.解：∵sinα=35，且α为第二象限角，∴csα=− 1−sin2α=−45，
∴tanα=sinαcsα=35−45=−34．
(Ⅰ)tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17；
(Ⅱ)cs2α 2sin(α−π4)=cs2α−sin2α 2(sinαcsπ4−csαsinπ4)
=(csα+sinα)(csα−sinα) 2× 22(sinα−csα)=−(sinα+csα)=−(35−45)=15．
17.解：(Ⅰ)因为向量a=(3,−1)，b=(1,m)，
所以ma−b=(3m−1,−2m)，
因为a⊥(ma−b)，
所以a⋅(ma−b)=3(3m−1)+2m=0，
解得m=311；
(Ⅱ)若m=−2，则b=(1,−2)，
所以a⋅b=3+2=5，
所以cs=a⋅b|a||b|=5 32+(−1)2× 12+(−2)2= 22，
又因为∈[0,π]，
所以a与b夹角的大小π4．
18.解：(Ⅰ)f(x)=2 3sinω2xcsω2x−csωx= 3sinωx−csωx=2sin(ωx−π6)；
由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
故T=π，
所以ω=2．
故f(x)=2sin(2x−π6).
(Ⅱ)由于x∈[−π4,π6]，故2x−π6∈[−2π3,π6]，
当x=−π6时，函数取得最小值为−2.，
(Ⅲ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2，(k∈Z)；
整理得−π6+kπ≤x≤kπ+π3，(k∈Z)；
由于函数f(x)在区间[0,m]上单调递增，
故−π6+kπ≤0≤x≤m≤kπ+π3，(k∈Z)；
故mmax=π3．
19.解：(Ⅰ)因为a2+b2+ab=c2，即a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcsC，
可得csC=−12，而C∈(0,π)，
可得C=2π3；
(Ⅱ)a= 6，
若选条件①：csA= 22，A∈(0,π3)，
(i)可得A=π4，则B=π−A−C=π12，
sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3csπ4−csπ3sinπ4= 6− 24，
由正弦定理可得asinA=csinC，
即 6 22=c 32，解得c=3，
(ii)所以S△ABC=12acsinB=12× 6×3× 6− 24=3(3− 3)4；
若选条件②，c=2，C=2π3，a= 6，
(i)由正弦定理可得asinA=csinC，即 6sinA=2 32，
解得sinA=3 24>1，该三角形不存在；
若选条件③：c=3 2sinA，a= 6，C=2π3，
由正弦定理可得：csinC=asinA，
即3 2sinA 32= 6sinA，
可得sin2A=12，因为sinA>0，
所以sinA= 22，
而A∈(0,π3)，
所以A=π4；
下面同条件①的计算．
综上所述：(i)sinB= 6− 24；(ii)3(3− 3)4．
20.证明：(Ⅰ)因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，
又AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面CDE，
又CE⊂平面CDE，
所以AD⊥CE．
(Ⅱ)取AB中点H，连接CH，FH，
因为AB=2CD，CD/​/AB，
所以AH/​/DC且AH=DC，
所以四边形AHDC为平行四边形，则AD/​/HC且AD=HC，
因为侧面ADEF是正方形，AD/​/EF且AD=EF，
所以HC//EF且HC=EF，即四边形HCEF为平行四边形，
则HF//CE，
又HF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，
所以CE/​/平面ABF．
(Ⅲ)解：直线BE与CF不相交，理由如下：
由(Ⅱ)知CE/​/平面ABF，
所以CE∩平面ABF=⌀，
又BF⊂平面ABF，所以CE∩BF=⌀，
又HF//CE，BF∩FH=F，
所以BF与CE不平行，故BF与CE异面，从而BE与CF不相交．
21.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，所以将f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位，
得到y= 2sinx的图象．再将y= 2sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，
得到函数g(x)的图象．所以g(x)=2sinx，其零点为kπ(k∈Z)．
(Ⅱ)(i)因为f(x)+g(x)=m，所以3sinx+csx=m．
即 10(3 10sinx+1 10csx)=m，即 10sin(x+φ)=m(其中csφ=3 10,sinφ=1 10)，
因为关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解，
所以|m 10|<1.所以实数m的取值范围为(− 10, 10)；
(ii)关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α，β，
即sin(α+φ)=m 10，sin(β+φ)=m 10，当
1≤m< 10时，α+β=2(π2−φ)，即α−β=π−2(β+φ)；
当− 10所以cs(α−β)=−cs2(β+φ)=2sin2(β+φ)−1=m25−1． 时间
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0