2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z满足1+2z1−z=i，则z=( )
A. 15+35iB. 15−35iC. −15+35iD. −15−35i
2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为x：3：5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，C种型号产品有40件，( )
A. x=2，n=24B. x=16，n=24
C. x=2，n=80D. x=16，n=80
3.设x∈R，向量a=(x,1)，b=(2,4)，且a⊥b，则|a+b|=( )
A. 41B. 5 52C. 5D. 5
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=10 2m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=( )
A. 30 2m
B. 20 3m
C. 30m
D. 20m
5.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是( )
A. 45B. 50C. 55D. 60
6.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1= 2,D,E分别为棱BC，BB1的中点，F为棱AB上的动点，且线段C1F的长度最小值为 5，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为( )
A. 66
B. 34
C. 306
D. 105
7.如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的体积为( )
A. 676π3cm3
B. 8788π3cm3
C. 676πcm3
D. 8788πcm3
8.在△ABC中，A，B，C所对的边长为a，b，c，△ABC的面积为S，若b2+2c2=4a2，则SAB⋅AC的最大值为( )
A. 32B. 33C. 156D. 66
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个命题中正确的是( )
A. z=i−2对应的点在第二象限
B. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−
C. 方程x2−2x+3=0在复数集内有两解x=1+i和x=1−i
D. 已知复数z满足|z|2−|z|−6=0，则复数z在复平面内对应点的轨迹是圆
10.设a，b是互相垂直的单位向量，AB=λa+2b，AC=a+(λ−1)b，下列选项正确的是( )
A. 若点C在线段AB上，则λ=2
B. 若AB⊥AC，则λ=23
C. 当λ=1时，与AB共线的单位向量是 55a+2 55b
D. 当λ=−1时，a在AC上的投影向量为15a−25b
11.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，则下列结论正确的有( )
A. 若|PC′|=1，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 17
B. 若|PC′|=1，三棱锥B′−ABP的外接球表面积为41π4
C. 若|PC′|=12，BD′⊥PM，则点M的运动轨迹长度为3 22
D. 若|PC′|=12，平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得截面面积为7 338
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcsC+ccsB=2acsA，
S=14(b2+a2−c2)，则角B等于______．
13.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1=8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，
AE+CF=8.点P在棱AA1上，且AP=2，若EF//平面PBD，则CF= ______．
14.南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积术”可用公式S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]表示．
若a=3，且bcsC−ccsB=2c23，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
(1)证明：DN//平面PMB
(2)证明：平面PMB⊥平面PAD．
16.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．A∈(0,π2), 3sinA+csA= 3．
(1)求tan2A的值；
(2)若b=2 3，a=2，b2>a2+c2，求c和面积S的值．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥C−AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA=∠EAB=90°，平面AEFB⊥平面ABC，BF=BC=6，AB=AC=5，四棱锥C−AEFB的体积为32．
(1)求AE长；
(2)若M为EF中点，求直线CF与平面AMC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从下列三个条件中选择一个并解答问题：
①2csAbc=csBab+csCac；②csC− 3sinC=b−2ca；③a2−c2+12bc=abcsC．
(1)求角A的大小；
(2)若c=3，且△ABC的面积为3 3，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？
若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.B
6.A
7.B
8.C
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.5π12
13.2
14.9 34
15.解：(1)证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ．
DN//MQMQ⊆平面PMBDN⊄平面PMB⇒DN//平面PMB．
(2)PD⊥平面ABCDMB⊆平面ABCD⇒PD⊥MB，
又因为底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD.又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD．
MB⊥平面PADMB⊆平面PMB⇒平面PMB⊥平面PAD．
16.解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．A∈(0,π2), 3sinA+csA= 3，
则sin(A+π6)= 32，
又A+π6∈(π6,2π3)，
则A+π6=π3，
即A=π6，
则tan2A= 3；
(2)已知b=2 3，a=2，
由bsinB=asinA可得：sinB=2 3×122= 32，
又b2>a2+c2，
则B>π2，
即B=2π3，
即C=π6，
则△ABC是等腰三角形，
则c=2，
S△ABC=12acsinB=12×2×2× 32= 3．
17.解：(1)四棱锥C−AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA=∠EAB=90°，
平面AEFB⊥平面ABC，BF=BC=6，AB=AC=5，四棱锥C−AEFB的体积为32，
取BC中点O，连AO，∵AB=AC=5，∴AO⊥BC，BC=6，∴AO=4，
过点C作CH⊥AB，H为垂足，∵平面AEFB⊥平面ABC，
平面AEFB∩平面ABC=AB，
∴CH⊥平面AEFB，
CH=2S△ABCAB=2×6×45=245，
VC−AEFB=13×(BF+AE)⋅AB2⋅CH=(6+AE)×56×245=32，
∴AE=2．
(2)如图，以O为原点，OC，OA所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．
由题意得FB⊥平面ABC，
C(3,0,0)，A(0,4,0)，F(−3,0,6)，E(0,4,2)，
∴M(−32,2,4)，
设平面AMC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CA=0n⋅CM=0，即−3x+4y=0−92x+2y+4z=0，
取x=4，得n=(4,3,3)，CF=(−6,0,6)，
设直线CF与平面AMC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|CF⋅n||CF||n|=66 2× 34= 1734．
18.解：(1)选①，∵2csAbc=csBab+csCac，
∴2acsAabc=ccsBabc+bcsCabc，即2acsA=ccsB+bcsC，
∴2sinAcsA=sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sinA，
∵sinA≠0，
∴2csA=1，即csA=12，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
选②，csC− 3sinC=b−2ca，
则acsC− 3asinC=b−2c，
由正弦定理可得，sinAcsC− 3sinAsinC=sinB−2sinC=sin(A+C)−2sinC=sinAcsC+csAsinC−2sinC，
∴− 3sinAsinC=csAsinC−2sinC，
∵sinC≠0，
∴ 3sinA+csA=2，化简整理可得，sin(A+π6)=1，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
选③，a2−c2+12bc=abcsC=ab⋅a2+b2−c22ab=a2+b2−c22，
则bc=b2+c2−a2，
故csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
(2)由(1)可知，A=π3，
∵c=3，且△ABC的面积为3 3，
∴12bcsinA=3 3，即12b×3× 32=3 3，解得b=4，
∴a2=b2+c2−2bc⋅csA=16+9−12=13，即a= 13，
故△ABC的周长a+b+c= 13+4+3= 13+7．
19.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：
∵M为棱PC的中点，
∴MN/​/CD，MN=12CD，
∵AB/​/CD，AB=12CD，
∴AB/​/MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，
又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD；
(2)解：∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
PD⊂平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
∵M为棱PC的中点，
∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，
(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)
设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，令z=2，则y=−1，x=1，
∴n=(1,−1,2)，
平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，
∴cs=n⋅DA|n||DA|=11× 6= 66，
∴二面角P−DM−B的余弦值为 66；
(ii)假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69，
设PQ=λPA，0<λ<1，则Q(λ,0,1−λ)，BQ=(λ−1,−1,1−λ)，
由(i)知平面BDM的一个法向量为n=(1,−1,2)，
BQ⋅n=λ−1+1+2(1−λ)=2−λ，
∵点Q到平面BDM的距离是BQ⋅n|n|=2−λ 6=2 69，
∴λ=23，∴PQ=2 23．