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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如表所示：
组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
x
9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
2．i是虚数单位，若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．2或
3．某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．750，100 B．1500，100 C．1500，120 D．750，120
4．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，若，则＝（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO'＝，CO'＝，∠AO'C＝45°，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6π B．4π C．3π D．2π
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）
A．68πcm3 B．152πcm3 C． D．204πcm3
7．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA'＝12．若侧面AA'B'B水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、A'C'、B'C'的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10km B．20km C．30km D．40km
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若m，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
D．若m⊂α，l∥m，则l∥α
（多选）10．某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．上半年的月销售量逐月增加
B．与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C．全年的平均月销售量为2.9百万台
D．四个季度中，第三季度的月销售量波动最小
（多选）11．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z6＝﹣8i
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．FM∥A1C1
B．BM⊥平面CC1F
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 ．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 ．
15．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ．
16．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15cm，母线长最短40cm，最长60cm，则该斜截圆柱的侧面积为 cm2．
四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且λ＞0，求．
18．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
（Ⅲ）若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40，60）的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40，50）、[50，60）中分别抽取的人数．
19．已知，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB＝2，∠BAD＝60°，M是PD的中点，连接OM．
（Ⅰ）证明：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面PBD⊥平面PAC．
21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝5，b＝7，求sinC．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥CA1．
（1）证明：AB⊥平面AA1C1C；
（2）若AB＝AC，求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如表所示：
组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
x
9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率．
解：第4组的频数x＝50﹣（8+11+10+9）＝50﹣38＝12，
频率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．
2．i是虚数单位，若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．2或
【分析】由纯虚数的概念得到关于k的关系式，求解即可．
解：∵（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，
∴，∴．
故选：C．
【点评】本题考查复数的概念，还考查了数学计算，属于基础题．
3．某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．750，100 B．1500，100 C．1500，120 D．750，120
【分析】利用两图中的频数，频率及分层抽样的特点进行求解．
解：由题意，样本容量为（18500+7500+4000）×5%＝1500，
抽取的高中生近视人数为4000×5%×0.5＝100，
故选：B．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
4．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，若，则＝（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】由题意得在△ABC中，有，，再在在△ABD中，＝，即可解．
解：在△ABC中，有，
又BD＝3DC，则，
故在△ABD中，＝＝+＝，
又，则λ＝，μ＝，则＝，
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的基本运算，属于中档题．
5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO'＝，CO'＝，∠AO'C＝45°，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6π B．4π C．3π D．2π
【分析】根据题意，由斜二测画法分析圆柱底面圆的半径和高，进而计算可得答案．
解：根据题意，圆柱的轴截面的直观图中，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，且AO'＝，CO'＝，
在圆柱的轴截面中，底面圆的直径为，圆柱的高h＝2CO'＝，
则该圆柱的表面积S＝S侧+2S底＝2π××+2×[π×（）2]＝3π．
故选：C．
【点评】本题考查圆柱的表面积计算，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）
A．68πcm3 B．152πcm3 C． D．204πcm3
【分析】根据圆台的体积公式即可求解．
解：由题意可知该壶对应的圆台的上底面圆半径r＝4，下底面圆的半径R＝6，高h＝6，
∴圆台的体积为：＝＝152π，
∴该壶的最大盛水量为152πcm3．
故选：B．
【点评】本题考查圆台的体积公式，属基础题．
7．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA'＝12．若侧面AA'B'B水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、A'C'、B'C'的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．
解：设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面AA′B′B水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝9a，解得h＝9，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为9．
故选：D．
【点评】本题考查了柱体体积的计算问题，属于基础题．
8．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10km B．20km C．30km D．40km
【分析】直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
解：根据题意：在△ABC中，
∠C＝180°﹣12°﹣18°＝150°，
利用正弦定理：，
解得：AC＝500×0.31×2＝310，
BC＝500×0.21×2＝210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了520﹣500＝20km．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若m，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
D．若m⊂α，l∥m，则l∥α
【分析】对A：平行于同一条直线的两个平面也可能平行也可能相交，故错误；对B：没有说明m，n是平面内的两条相交直线，故错误；对C：可根据线面平行的性质证明正确；对D：没有说明直线l是平面外的一条直线，故错误．
解：对A：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，∴A错误；
对B：若m∥n，则l不一定与α垂直，∴B错误；
对C：如图：
过l分别作两个平面与平面α，β交于直线a，b，
∵l∥α，l∥β，∴l∥a，l∥b，∴a∥b，
又a⊄β，b⊂β，∴a∥β，
又a⊂α，α∩β＝m，∴a∥m，
∴l∥m，∴C正确；
对D：若m⊂α，l∥m，则l∥α或l在α内，∴D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间中直线与平面的平行关系，化归转化思想，属中档题．
（多选）10．某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．上半年的月销售量逐月增加
B．与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C．全年的平均月销售量为2.9百万台
D．四个季度中，第三季度的月销售量波动最小
【分析】根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．
解：对于选项A：1月销售量为2.4百万台，2月销售量为1.8百万台，显然是下降了，故选项A错误；
对于选项B：与前一个月相比，11月销售量增加量为1.9百万台，是最多的，故选项B正确；
对于选项C：全年的平均月销售量为＝2.8百万台，故选项C错误；
对于选项D：从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选项D正确，
故选：BD．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
（多选）11．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z6＝﹣8i
【分析】根据复数的运算求出z，根据复数概念判断A，根据复数模判断B，根据复数对应点判断C，根据复数的乘方运算判断D．
解：因为，所以，
所以，z的虚部为﹣1，故A正确；
，故B错误；
z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故C错误；
因为z2＝（﹣1﹣i）2＝1+2i+i2＝2i，所以z6＝（z2）3＝（2i）3＝﹣8i，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．FM∥A1C1
B．BM⊥平面CC1F
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
【分析】本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．
解：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，
∴FM∥AC∥A1C1，故A正确；
B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C1C，
∴BM⊥平面CC1F，故B正确；
C：BF与平面CC1D1D有交点，
∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；
D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，
∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了线线平行，线面垂直，以及三棱锥特征及体积的求法，属于基础题．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 36 ．
【分析】根据百分位数的定义得到第30百分位数和第50百分位数，结合平均数的定义求解即可．
解：因为6×30%＝1.8，故这组数据的第30百分位数为30，
因为6×50%＝3，所以第50百分位数为，
所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为．
故答案为：36．
【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 60° ．
【分析】连接BC1，证明∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，在△A1BC1中求∠A1BC1．
解：连接A1C1，BC1，∵AD1∥BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为1，则A1C1＝BC1＝BA1＝，
∴△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°
故答案是60°．
【点评】本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．
15．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ．
【分析】可知：，根据得出，进行数量积的运算求出的值，然后即可求出的值，从而可得出的值．
解：∵，且，
∴，
∴，
∴，且，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15cm，母线长最短40cm，最长60cm，则该斜截圆柱的侧面积为 1500π cm2．
【分析】根据题意，将两个这样斜截圆柱对接，可组成圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．
解：根据题意，将两个这样斜截圆柱对接，可组成圆柱，
则该圆柱的侧面展开图为矩形，其边长分别为60+40＝100cm和30πcm，
故该圆柱的侧面积S′＝100×30π＝3000πcm2，
那么该斜截圆柱的侧面积为S＝S′＝1500πcm2．
故答案为：1500π．
【点评】本题考查旋转体的侧面积计算，注意分割补形方法的应用，属于基础题．
四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且λ＞0，求．
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得λ＝1，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
解：（1）由向量，
因为，
所以﹣（λ﹣1）＝15λ，解得．
（2）由题意得，向量，，
由，可得，则3×（﹣6）+（7λ﹣1）（2λ+1）＝0，
即14λ2+5λ﹣19＝0，解得λ＝1或，
因为λ＞0，所以λ＝1，可得，，
所以．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
（Ⅲ）若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40，60）的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40，50）、[50，60）中分别抽取的人数．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的概率和为1求出a的值，再由频数＝频率×概率得出打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）由众数、中位数的定义求解；
（Ⅲ）根据分层抽样的定义求解．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×（0.28+0.22+0.18）＝680；
（Ⅱ）众数为＝75；
因为0.04+0.06+0.22＝0.32，所以中位数为：；
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，打分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.04和0.06，
所以打分在[40，50）和[50，60）内的频率之比为2：3，
所以在打分[40，50）中抽取的人数为＝4人，在打分[50，60）中抽取的人数为＝6人．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19．已知，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，结合三角恒等变换求出函数f（x）的解析式，然后结合三角函数单调区间的求法求解即可；
（Ⅱ）结合三角函数值域的求法求解即可．
解：（Ⅰ）已知，，
则＝＝＝，
由，k∈Z，
则，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（Ⅱ）因为x∈，
所以，
则，
即函数f（x）在区间上的值域为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB＝2，∠BAD＝60°，M是PD的中点，连接OM．
（Ⅰ）证明：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面PBD⊥平面PAC．
【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，
∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，
∴OM∥平面PAB；
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
【点评】本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝5，b＝7，求sinC．
【分析】（1）根据题意可得a2+ac+c2＝b2，再由余弦定理可得cosB，进而求得B；
（2）由余弦定理可得c的值，再由正弦定理即可得解．
解：（1）因为sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1，
所以sin2A+sinAsinC+sin2C＝sin2B，
由正弦定理可知，a2+ac+c2＝b2，
所以，
因为B为△ABC的内角，
所以．
（2）因为a＝5，b＝7，
则由余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB，即，
化简得c2+5c﹣24＝0，
解得c＝3或c＝﹣8（舍去）．
由正弦定理知，
则．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥CA1．
（1）证明：AB⊥平面AA1C1C；
（2）若AB＝AC，求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值．
【分析】（1）连接AC1，由AA1C1C是菱形，可得AC1⊥CA1，由线面垂直的判定定理可得CA1⊥平面ABC1，则CA1⊥AB，进而可得AB⊥平面AA1C1C．
（2）过A1在平面AA1C1C内引直线A1O垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接A1H，由平面ABC⊥平面A1ACC1，进而可得所以A1O⊥平面ABC，BC⊥平面A1OH，则∠A1HO为二面角A1﹣BC﹣A的平面角，设AB＝AC＝2，由∠A1AC＝60°，解得A1O，OH，即可得出答案．
解：（1）证明：连接AC1，如图，由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1．
又BC1⊥CA1，BC1⋂AC1＝C1，
所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，
又AA1⊥AB，CA1⋂AA1＝A1，
所以AB⊥平面AA1C1C．
（2）在平面AA1C1C内过A1作A1O⊥AC，O为垂足，
过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接A1H，
因为平面ABC⊥平面A1ACC1，平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，
所以A1O⊥平面ABC，
所以A1O⊥OH，A1O⊥BC，
又OH⊥BC，A1O⋂OH＝O，
所以BC⊥平面A1OH，
所以∠A1HO为二面角A1﹣BC﹣A的平面角，
设AB＝AC＝2，由∠A1AC＝60°，
所以O为AC的中点，
所以，
又AB＝AC＝2，AB⊥平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，
所以AB⊥AC，
所以，
所以，
所以cos∠A1HO＝＝＝，
所以二面角A1﹣BC﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角的余弦值，解题中需要熟悉二面角的定义，属于中档题．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如表所示：
组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
x
9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
2．i是虚数单位，若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．2或
3．某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．750，100 B．1500，100 C．1500，120 D．750，120
4．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，若，则＝（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO'＝，CO'＝，∠AO'C＝45°，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6π B．4π C．3π D．2π
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）
A．68πcm3 B．152πcm3 C． D．204πcm3
7．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA'＝12．若侧面AA'B'B水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、A'C'、B'C'的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10km B．20km C．30km D．40km
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若m，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
D．若m⊂α，l∥m，则l∥α
（多选）10．某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．上半年的月销售量逐月增加
B．与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C．全年的平均月销售量为2.9百万台
D．四个季度中，第三季度的月销售量波动最小
（多选）11．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z6＝﹣8i
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．FM∥A1C1
B．BM⊥平面CC1F
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 ．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 ．
15．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ．
16．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15cm，母线长最短40cm，最长60cm，则该斜截圆柱的侧面积为 cm2．
四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且λ＞0，求．
18．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
（Ⅲ）若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40，60）的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40，50）、[50，60）中分别抽取的人数．
19．已知，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB＝2，∠BAD＝60°，M是PD的中点，连接OM．
（Ⅰ）证明：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面PBD⊥平面PAC．
21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝5，b＝7，求sinC．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥CA1．
（1）证明：AB⊥平面AA1C1C；
（2）若AB＝AC，求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如表所示：
组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
x
9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率．
解：第4组的频数x＝50﹣（8+11+10+9）＝50﹣38＝12，
频率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．
2．i是虚数单位，若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．2或
【分析】由纯虚数的概念得到关于k的关系式，求解即可．
解：∵（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，
∴，∴．
故选：C．
【点评】本题考查复数的概念，还考查了数学计算，属于基础题．
3．某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．750，100 B．1500，100 C．1500，120 D．750，120
【分析】利用两图中的频数，频率及分层抽样的特点进行求解．
解：由题意，样本容量为（18500+7500+4000）×5%＝1500，
抽取的高中生近视人数为4000×5%×0.5＝100，
故选：B．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
4．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，若，则＝（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】由题意得在△ABC中，有，，再在在△ABD中，＝，即可解．
解：在△ABC中，有，
又BD＝3DC，则，
故在△ABD中，＝＝+＝，
又，则λ＝，μ＝，则＝，
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的基本运算，属于中档题．
5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO'＝，CO'＝，∠AO'C＝45°，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6π B．4π C．3π D．2π
【分析】根据题意，由斜二测画法分析圆柱底面圆的半径和高，进而计算可得答案．
解：根据题意，圆柱的轴截面的直观图中，AO'，BC分别对应圆柱两底面的直径，且AO'＝，CO'＝，
在圆柱的轴截面中，底面圆的直径为，圆柱的高h＝2CO'＝，
则该圆柱的表面积S＝S侧+2S底＝2π××+2×[π×（）2]＝3π．
故选：C．
【点评】本题考查圆柱的表面积计算，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）
A．68πcm3 B．152πcm3 C． D．204πcm3
【分析】根据圆台的体积公式即可求解．
解：由题意可知该壶对应的圆台的上底面圆半径r＝4，下底面圆的半径R＝6，高h＝6，
∴圆台的体积为：＝＝152π，
∴该壶的最大盛水量为152πcm3．
故选：B．
【点评】本题考查圆台的体积公式，属基础题．
7．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA'＝12．若侧面AA'B'B水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、A'C'、B'C'的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．
解：设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面AA′B′B水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝9a，解得h＝9，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为9．
故选：D．
【点评】本题考查了柱体体积的计算问题，属于基础题．
8．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10km B．20km C．30km D．40km
【分析】直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
解：根据题意：在△ABC中，
∠C＝180°﹣12°﹣18°＝150°，
利用正弦定理：，
解得：AC＝500×0.31×2＝310，
BC＝500×0.21×2＝210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了520﹣500＝20km．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若m，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
D．若m⊂α，l∥m，则l∥α
【分析】对A：平行于同一条直线的两个平面也可能平行也可能相交，故错误；对B：没有说明m，n是平面内的两条相交直线，故错误；对C：可根据线面平行的性质证明正确；对D：没有说明直线l是平面外的一条直线，故错误．
解：对A：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，∴A错误；
对B：若m∥n，则l不一定与α垂直，∴B错误；
对C：如图：
过l分别作两个平面与平面α，β交于直线a，b，
∵l∥α，l∥β，∴l∥a，l∥b，∴a∥b，
又a⊄β，b⊂β，∴a∥β，
又a⊂α，α∩β＝m，∴a∥m，
∴l∥m，∴C正确；
对D：若m⊂α，l∥m，则l∥α或l在α内，∴D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间中直线与平面的平行关系，化归转化思想，属中档题．
（多选）10．某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．上半年的月销售量逐月增加
B．与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C．全年的平均月销售量为2.9百万台
D．四个季度中，第三季度的月销售量波动最小
【分析】根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．
解：对于选项A：1月销售量为2.4百万台，2月销售量为1.8百万台，显然是下降了，故选项A错误；
对于选项B：与前一个月相比，11月销售量增加量为1.9百万台，是最多的，故选项B正确；
对于选项C：全年的平均月销售量为＝2.8百万台，故选项C错误；
对于选项D：从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选项D正确，
故选：BD．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
（多选）11．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z6＝﹣8i
【分析】根据复数的运算求出z，根据复数概念判断A，根据复数模判断B，根据复数对应点判断C，根据复数的乘方运算判断D．
解：因为，所以，
所以，z的虚部为﹣1，故A正确；
，故B错误；
z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故C错误；
因为z2＝（﹣1﹣i）2＝1+2i+i2＝2i，所以z6＝（z2）3＝（2i）3＝﹣8i，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
（多选）12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．FM∥A1C1
B．BM⊥平面CC1F
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
【分析】本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．
解：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，
∴FM∥AC∥A1C1，故A正确；
B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C1C，
∴BM⊥平面CC1F，故B正确；
C：BF与平面CC1D1D有交点，
∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；
D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，
∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了线线平行，线面垂直，以及三棱锥特征及体积的求法，属于基础题．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 36 ．
【分析】根据百分位数的定义得到第30百分位数和第50百分位数，结合平均数的定义求解即可．
解：因为6×30%＝1.8，故这组数据的第30百分位数为30，
因为6×50%＝3，所以第50百分位数为，
所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为．
故答案为：36．
【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 60° ．
【分析】连接BC1，证明∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，在△A1BC1中求∠A1BC1．
解：连接A1C1，BC1，∵AD1∥BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为1，则A1C1＝BC1＝BA1＝，
∴△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°
故答案是60°．
【点评】本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．
15．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ．
【分析】可知：，根据得出，进行数量积的运算求出的值，然后即可求出的值，从而可得出的值．
解：∵，且，
∴，
∴，
∴，且，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15cm，母线长最短40cm，最长60cm，则该斜截圆柱的侧面积为 1500π cm2．
【分析】根据题意，将两个这样斜截圆柱对接，可组成圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．
解：根据题意，将两个这样斜截圆柱对接，可组成圆柱，
则该圆柱的侧面展开图为矩形，其边长分别为60+40＝100cm和30πcm，
故该圆柱的侧面积S′＝100×30π＝3000πcm2，
那么该斜截圆柱的侧面积为S＝S′＝1500πcm2．
故答案为：1500π．
【点评】本题考查旋转体的侧面积计算，注意分割补形方法的应用，属于基础题．
四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且λ＞0，求．
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得λ＝1，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
解：（1）由向量，
因为，
所以﹣（λ﹣1）＝15λ，解得．
（2）由题意得，向量，，
由，可得，则3×（﹣6）+（7λ﹣1）（2λ+1）＝0，
即14λ2+5λ﹣19＝0，解得λ＝1或，
因为λ＞0，所以λ＝1，可得，，
所以．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
（Ⅲ）若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40，60）的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40，50）、[50，60）中分别抽取的人数．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的概率和为1求出a的值，再由频数＝频率×概率得出打分不低于70分的人数；
（Ⅱ）由众数、中位数的定义求解；
（Ⅲ）根据分层抽样的定义求解．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×（0.28+0.22+0.18）＝680；
（Ⅱ）众数为＝75；
因为0.04+0.06+0.22＝0.32，所以中位数为：；
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，打分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.04和0.06，
所以打分在[40，50）和[50，60）内的频率之比为2：3，
所以在打分[40，50）中抽取的人数为＝4人，在打分[50，60）中抽取的人数为＝6人．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19．已知，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，结合三角恒等变换求出函数f（x）的解析式，然后结合三角函数单调区间的求法求解即可；
（Ⅱ）结合三角函数值域的求法求解即可．
解：（Ⅰ）已知，，
则＝＝＝，
由，k∈Z，
则，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（Ⅱ）因为x∈，
所以，
则，
即函数f（x）在区间上的值域为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB＝2，∠BAD＝60°，M是PD的中点，连接OM．
（Ⅰ）证明：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面PBD⊥平面PAC．
【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，
∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，
∴OM∥平面PAB；
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
【点评】本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝5，b＝7，求sinC．
【分析】（1）根据题意可得a2+ac+c2＝b2，再由余弦定理可得cosB，进而求得B；
（2）由余弦定理可得c的值，再由正弦定理即可得解．
解：（1）因为sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1，
所以sin2A+sinAsinC+sin2C＝sin2B，
由正弦定理可知，a2+ac+c2＝b2，
所以，
因为B为△ABC的内角，
所以．
（2）因为a＝5，b＝7，
则由余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB，即，
化简得c2+5c﹣24＝0，
解得c＝3或c＝﹣8（舍去）．
由正弦定理知，
则．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥CA1．
（1）证明：AB⊥平面AA1C1C；
（2）若AB＝AC，求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值．
【分析】（1）连接AC1，由AA1C1C是菱形，可得AC1⊥CA1，由线面垂直的判定定理可得CA1⊥平面ABC1，则CA1⊥AB，进而可得AB⊥平面AA1C1C．
（2）过A1在平面AA1C1C内引直线A1O垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接A1H，由平面ABC⊥平面A1ACC1，进而可得所以A1O⊥平面ABC，BC⊥平面A1OH，则∠A1HO为二面角A1﹣BC﹣A的平面角，设AB＝AC＝2，由∠A1AC＝60°，解得A1O，OH，即可得出答案．
解：（1）证明：连接AC1，如图，由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1．
又BC1⊥CA1，BC1⋂AC1＝C1，
所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，
又AA1⊥AB，CA1⋂AA1＝A1，
所以AB⊥平面AA1C1C．
（2）在平面AA1C1C内过A1作A1O⊥AC，O为垂足，
过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接A1H，
因为平面ABC⊥平面A1ACC1，平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，
所以A1O⊥平面ABC，
所以A1O⊥OH，A1O⊥BC，
又OH⊥BC，A1O⋂OH＝O，
所以BC⊥平面A1OH，
所以∠A1HO为二面角A1﹣BC﹣A的平面角，
设AB＝AC＝2，由∠A1AC＝60°，
所以O为AC的中点，
所以，
又AB＝AC＝2，AB⊥平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，
所以AB⊥AC，
所以，
所以，
所以cos∠A1HO＝＝＝，
所以二面角A1﹣BC﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角的余弦值，解题中需要熟悉二面角的定义，属于中档题．
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