2023-2024学年山东省泰安市部分学校高二下学期期末测试数学试题（含答案）

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这是一份2023-2024学年山东省泰安市部分学校高二下学期期末测试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=−1,0,1,2，B=x|x>0，则下列结论不正确的是( )
A. 1∈A∩BB. ⌀⊆A∩B
C. 2⊆A∩BD. x|x>0=A∪B
2.关于x的不等式ax−12A. −32,−1∪1,32B. −32,−43∪43,32
C. −32,−1∪1,32D. −32,−43∪43,32
3.某同学喜爱球类和游泳运动，在暑假期间，该同学上午去打球的概率为13，若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳;若上午去打球，则下午去游泳的概率为14.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为( )
A. 34B. 23C. 19D. 12
4.下列说法中，正确的个数为( )
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，若Pξ<3=0.8，则P1<ξ<3=0.3；
④随机变量X服从二项分布B4,p，若方差DX=34，则PX=1=364．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.已知a=e0.1−1，b=19，c=ln 1.1，则( )
A. c6.若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有( )
A. 17个B. 19个C. 20个D. 21个
7.已知函数f(x)=e2ax−3lnx，若f(x)>x3−2ax恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,32e)B. (32e,+∞)C. (0,3e)D. (3e,+∞)
8.设动直线x=t(12≤t≤2)与函数f(x)=12x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M,N，已知ln2<34，则MN的最小值与最大值之积为( )
A. 2−ln2B. (18+ln2)(2−ln2)
C. 1−ln2D. 1−12ln2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数a，b，c，且a>b>c，x，y，z为自然数，则满足xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立的x，y，z可以是( )
A. x=1，y=1，z=4B. x=1，y=2，z=5
C. x=2，y=2，z=7D. x=1，y=3，z=9
10.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A1，“第一次取得白球”为A2，“第二次取得黑球”为B1，“第二次取得白球”为B2，则( )
A. PA1B1=PA2B2B. PA1B2=PA2B1
C. PB1A1+PB2A1=1D. PB2A1+PB1A2>1
11.设定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x)，若f(x+2)+g(2−x)=2,f′(x)=g′(x+2)且y=g(x+1)为偶函数，则下列说法中正确的是( )
A. g′(1)=0B. g(2)+g(3)+g(4)=0
C. g′(x)的图象关于x=3对称D. 函数f(x)为周期函数，且周期为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数fx=x3−3x在区间a,6−a2上有最小值，则实数 a 的取值范围是．
13.设a、b、mm>0为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡bmdm；已知a=C90+12C91+13C92+⋅⋅⋅+110C99+710，b≡amd10，则满足条件的正整数b中，最小的两位数是．
14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5∼1894.12)在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有PX−E(X)<ε≥1−D(X)ε2.根据该不等式可以对事件|x−E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内，估计信号发射次数n的值至少为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
16.(本小题15分)
轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者(表中4个年龄段的人数各100人)食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．
(1)若把年龄在12,38的消费者称为青少年，年龄在38,64的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25,38与51,64的人数分别为X，Y，ξ=X−Y.求ξ的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
附：
17.(本小题15分)
二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量X∼Bn,p．
(1)证明：(ⅰ)kCnk=nCn−1k−1,(n,k∈N∗，且k≤n)，其中Cnk为组合数；
(ⅱ)随机变量X的数学期望EX=np；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量Y表示事件A发生的次数，试探求EY的值与随机变量Y最有可能发生次数的大小关系．
18.(本小题17分)
已知函数fx=lnx−a2x2+1a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)设函数fx有两个不同的零点x1,x2，
(i)求实数a的取值范围：
(ⅱ)若x1,x2满足|lnx1−lnx2|≥ln22，求实数a的最大值．
19.(本小题17分)
某闯关游戏由两道关卡组成，现有n名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为12，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关．
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第ii=1,2,3,⋅⋅⋅,n−1位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
③若第ii=1,2,3,⋅⋅⋅,n−1位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
④闯关进行到第n轮，则不管第n位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量Xn表示n名挑战者在第XnXn=1,2,3,⋯,n轮结束闯关．
(1)求随机变量X4的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量Yn表示n名挑战者在第YnYn=1,2,3,⋯,n轮结束闯关．
(i)求随机变量Yni∈N∗,n≥2的分布列
(ii)证明EY2参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.A
6.C
7.B
8.D
9.BC
10.BCD
11.AC
12.[−2,1)
13.13
14.1250
15.(1)
第一步，先将另外四门课排好，有A44种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有A52种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有A44×A52=480种；
(2)
第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有A62种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有C41种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法C32种情况；
因此，所有选课种数为A62×C41×C32=360．
(3)
①当A只任教1科时：先排A任教科目，有C51种；再从剩下5科中排B的任教科目，有C51种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有C42A33种；所以当A只任教1科时，共有C51C51C42A33=5×5×4×32×1×3×2×1=900种；
②当A任教2科时：先选A任教的2科有C52中，这样6科分为4组共有C52A44=5×42×1×4×3×2×1=240种，
所以，当A任教2科时，共有900+240=1140种，
综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．

16.(1)
列联表如下：
故K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=400×125×105−95×752220×180×200×200≈9.091>6.635，
故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
(2)
每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，
12,25的抽取人数为8×55+5+20+10=1，25,38的抽取人数为8×55+5+20+10=1，
38,51的抽取人数为8×205+5+20+10=4，51,64的抽取人数为8×105+5+20+10=2，
X的可能取值为0，1，此时Y的取值为0，1，2，故ξ=X−Y的可能取值为0，1，2，
其中ξ=0包含两种情况，即X=Y=0和X=Y=1，故Pξ=0=C53C83+C11C21C51C83=514，
ξ=1包含三种情况，X=0,Y=1，X=1,Y=0和X=1,Y=2，故Pξ=1=C10C21C52C83+C11C20C52C83+C11C22C50C83=3156，
ξ=2包含1种情况，即X=0,Y=2，故Pξ=2=C10C22C51C83=556，
故ξ的分布列如下：
则数学期望为Eξ=0×514+1×3156+2×556=4156；
(3)
记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件A,B,C，
则PA=13，PB=13，PC=13，
小李晚餐选择低卡甜品为事件D，则PDA=15，PDB=25，PDC=23，
故PD=PAPDA+PBPDB+PCPDC=13×15+13×25+13×23=1945，
故小李晚餐选择低卡甜品的概率为1945．

17.(1)
(ⅰ)因为kCnk=kn!n−k!k!=n!n−k!k−1!，
且nCn−1k−1=nn−1!n−1−k−1!k−1!=n!n−k!k−1!，
所以kCnk=nCn−1k−1；
(ⅱ)因为X∼Bn,p，P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋅⋅⋅,n，
可得E(X)= nk=0 k⋅P(X=k)= nk=0 kCnkpk(1−p)n−k
=k=1nnCn−1k−1pk(1−p)n−k=npk=1nCn−1k−1pk−1(1−p)n−1−(k−1)，
令k−1=m，则E(X)=npm=0n−1Cn−1mpmqn−1−m=np(p+q)n−1=np．
(2)
由题意可知：PA=47×36=27，
又因为随机变量Y∼B10,27，所以EY=10×27=207，
因为PY=k=C10k×27k×5710−k，
假设Y=k时，其概率最大，
则C10k×27k×5710−k≥C10k−1×27k−1×5711−kC10k×27k×5710−k≥C10k+1×27k+1×579−k，解得157≤k≤227,k∈Z，
可知k=3，所以其数学期望小于最有可能发生的次数．

18.(1)
函数f(x)=lnx−a2x2+1的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=1x−ax=1−ax2x，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)>0，得x∈(0,1 a)，由f′(x)<0，得x∈(1 a,+∞)，
即函数f(x)在(0,1 a)上单调递增，在(1 a,+∞)上单调递减，
所以当a≤0时，f(x)的递增区间是(0,+∞)，无递减区间；
当a>0时，f(x)的递增区间是(0,1 a)，递减区间是(1 a,+∞)．
(2)
(ⅰ)由f(x)=0，得a2=lnx+1x2，令φ(x)=lnx+1x2，求导得φ′(x)=−1−2lnxx3，
当x∈(0,1 e)时，φ′(x)>0，当x∈(1 e,+∞)时，φ′(x)<0，
则函数φ(x)在(0,1 e)上单调递增，在(1 e,+∞)上单调递减，φ(x)max=φ(1 e)=e2，
而当x>1时，φ(x)>0恒成立，且φ(1e)=0，
由f(x)有两个零点，即方程a2=lnx+1x2有两个不等的正根，亦即直线y=a2与φ(x)的图象有两个公共点，
因此0所以实数a的取值范围是0(ⅱ)由fx1=fx2=0，得a2=lnx1+1x12=lnx2+1x22，且1e不妨设t=x2x1t>1，将x2=tx1代入lnx1+1x12=lnx2+1x22，
得t2(lnx1+1)=lnt+lnx1+1，即lnx1+1=lntt2−1，
令g(t)=lntt2−1,t>1，求导得g′(t)=t(1−1t2−2lnt)(t2−1)2，令ℎ(t)=1−1t2−2lnt,t>1，
求导得ℎ′(t)=2t3−2t=2(1−t2)t3<0，则函数ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，
有ℎ(t)<ℎ(1)=0，即g′(t)<0，函数g(t)在(1,+∞)上单调递减，
由|lnx1−lnx2|≥ln22，得lnx2x1=lnt≥ln22，则t≥ 2，
因此函数gt在( 2,+∞)上单调递减，即g(t)≤g( 2)=ln 2，
于是lnx1+1≤ln 2，有x1≤ 2e，则x1∈(1e, 2e],
又a2=lnx1+1x12，令φx=lnx+1x2，x∈(1e, 2e],
由(ⅰ)知，φ(x)在(0,1 e)上递增，而1e< 2e<1 e，因此φx在(1e, 2e]上递增，
则φ(1e)<φx≤φ( 2e)，即0所以a的最大值是e2ln22．

19.(1)
由题意，每位选手成功闯过两关的概率为12×12=14，易知X4取1，2，3，4，则PX4=1=1−140×14=14，PX4=2=1−14×14=316，PX4=3=1−142×14=964，PX4=4=343=2764，
因此X4的分布列为
(2)
(i)Yn=k1≤k≤n−1,k∈N∗时，第k人必答对第二题，
若前面k−1人都没有一人答对第一题，其概率为p′k=12k+1，
若前面k−1人有一人答对第一题，其概率为p′′k=Ck−1112k+1=k−112k+1，
故PYn=k=p′k+p′′k=k12k+1．
当Yn=n时，
若前面n−1人都没有一人答对第一题，其概率为p′n=12n−1，
若前面n−1人有一人答对第一题，其概率为p′′n=n−112n，
故PYn=n=p′n+p′′n=n+112n．
Yn的分布列为：
(ii)由(i)知E(Yn)= n−1k=1 k2(12)k+1+n(n+1)(12)n(n∈N∗,n⩾2)．
EYn+1−EYn=n212n+1+n+1n+212n+1−nn+112n=n+212n+1>0，
故EY2又EY2=74，
故EYn=EY2+EY3−EY2+EY4−EY3+⋯+EYn−EYn−1，
所以EYn=74+4×123+5×124+⋯+n12n−1+n+112n，①
12EYn=78+4×124+⋯+n12n−1+n12n+n+112n+1，②
②−①，12EYn=118+124+125+⋯+12n−n+112n+1=32−n+3212n<3
故EY2 使用频数
12,25
25,38
38,51
51,64
偶尔1次
30
15
5
10
每周1～3次
40
40
30
50
每周4～6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
PK2≥k
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
ξ
0
1
2
P
514
3156
556
X4
1
2
3
4
P
14
316
964
2764
Yn
1
2
3
…
n−1
n
P
122
2×123
3×124
…
n−1×12n
n+1×12n

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