新高考数学一轮复习讲练测第2章第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（练习）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故函数为周期为 SKIPIF 1 < 0 的函数，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A
3．（2023·河南·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的周期函数，又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的周期为8，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a，b，c的大小关系为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数 SKIPIF 1 < 0 由关系式 SKIPIF 1 < 0 确定，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为增函数B． SKIPIF 1 < 0 为奇函数
C． SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 D．函数 SKIPIF 1 < 0 没有正零点
【答案】D
【解析】由题意，
在函数 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 画以下曲线：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
这些曲线合并组成 SKIPIF 1 < 0 图象，是两段以 SKIPIF 1 < 0 为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．
因为 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 图象在轴右侧部分包括点 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称，
得到曲线 SKIPIF 1 < 0 ，再作 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点对称，去掉点 SKIPIF 1 < 0 得到曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 合并组成 SKIPIF 1 < 0 图象．
由 SKIPIF 1 < 0 图象可知， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数， SKIPIF 1 < 0 不是增函数， SKIPIF 1 < 0 值域为R．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 图象没有公共点，从而函数 SKIPIF 1 < 0 没有正零点．
故选：D.
6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 都是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数， SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则f（x）为偶函数.
由 SKIPIF 1 < 0 是奇函数可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则4为f（x）的一个周期.
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 1，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是定义在R上的函数， SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．由 SKIPIF 1 < 0 是奇函数可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则4为 SKIPIF 1 < 0 的一个周期．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减B．在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C．在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D．在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称可知 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，最小正周期为4，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性和在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性相同，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
故选：C.
9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为R，若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为R，
若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 两边同时求导，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同时求导，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，
则导函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
因为函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选：BCD.
10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】AD
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以根据单调性的性质可得 SKIPIF 1 < 0 为增函数.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD
11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最大值为2
B． SKIPIF 1 < 0 有两个零点
C． SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
D．存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的图像关于原点对称
【答案】AC
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 的零点个数即方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数，
即方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图像的交点个数.
在同一坐标系中画出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图像如图所示：
两个函数图像只有一个交点，故B错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
则有 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的图像关于原点对称，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
令 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，上述方程组无解，故 SKIPIF 1 < 0 错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为偶函数B． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称
C． SKIPIF 1 < 0 是奇函数D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，A正确；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，令 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
②减①可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
令 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ④，因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
③减④可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，故C不正确；
令 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
令 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：AD.
13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
由函数 SKIPIF 1 < 0 都是增函数，可得 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】1012
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数．
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：1012．
16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
函数图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，又由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
可得函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
由一次函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增且函数值恒为正，可知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又由函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
必有 SKIPIF 1 < 0 ，平方后整理为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，且等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 均成立，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数.
【解析】任取 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数.
19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）先看函数的定义域，要满足 SKIPIF 1 < 0
所以x的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 .
可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以原函数为偶函数.
（2）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，先看函数定义域，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，显然关于原点对称，
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原函数为偶函数.
20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下 SKIPIF 1 < 0 的值
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数, 求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数, 且当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 , 求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得到 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,
且当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求f SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明 SKIPIF 1 < 0 是周期函数；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，将上式中 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 代换，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 的一个周期是2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的周期函数，周期 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是奇函数．又已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是一次函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是二次函数，且在 SKIPIF 1 < 0 时函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的周期函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是奇函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（3）根据（2）中所求，可知 SKIPIF 1 < 0 ；又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是奇函数，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，不合题意，舍.
对于D， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为R的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ①；
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ②．
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路一：从定义入手．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：
因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ①；
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ②．
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
4．（2021·全国·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
对于B， SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意两个不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，则函数 SKIPIF 1 < 0 一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 一定是增函数.
故选：C
6．（2020·海南·高考真题）若定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数f(x)在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且f(2)=0，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
7．（2020·全国·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，其关于原点对称，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
故选：A．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于坐标原点对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，排除B；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D正确.
故选：D.
9．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为偶函数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ①，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，由①求导，和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，因为其定义域为R，所以 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，从而周期 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，D错误；
若函数 SKIPIF 1 < 0 满足题设条件，则函数 SKIPIF 1 < 0 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 SKIPIF 1 < 0 的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 SKIPIF 1 < 0 周期为2，关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为偶函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象分别关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 可导，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，D错误；
若函数 SKIPIF 1 < 0 满足题设条件，则函数 SKIPIF 1 < 0 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 SKIPIF 1 < 0 的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
10．（2022·全国·统考高考真题）若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 _____， SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称
SKIPIF 1 < 0
若奇函数的 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，定义域关于原点对称，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
[方法三]：
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域内满足 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 SKIPIF 1 < 0 _______．
① SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 均满足）
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，满足③.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 均满足）
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
时 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1