第20讲 三角函数的图像与性质（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、高考考向
考向：三角函数的图像与性质作为高考的必考内容，在高考中主要是选择、填空题型。大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、图像变换等。
考点：正弦型函数或余弦型函数的图像和性质。
二、知识点梳理
导师建议：通过图像记忆性质才是正确方法，切忌死记硬背！
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
【常用结论】
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是半个周期．
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
③函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
三、题型分类精讲
题型一 正弦函数的图像与性质
【典例1】方程的根中，在内的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【典例2】函数在区间上的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型训练】
一、单选题
1．函数的图象与直线的交点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数最大值为（ ）
A．2B．5C．8D．7
4．函数的零点是（ ）
A．B．
C．D．
5．设函数，则（ ）
A．在区间上是单调递减的B．是周期为的周期函数
C．在区间上是单调递增的D．对称中心为，
二、多选题
6．函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、填空题
7．观察正弦函数的图像，可得不等的解集为______．
8．函数，的值域是______.
9．如果方程在上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.
题型二 余弦函数的图像与性质
【典例1】函数的图象与直线（为常数）的交点最多有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【典例2】不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．函数y＝|csx|的一个单调增区间是（ ）
A．B．[0，π]
C．D．
2．函数的定义域为
A．B．
C． D．
3．已知函数的定义域为，值域为，则的值是
A．B．C．D．
4．函数的最大值是（ ）
A．B．5C．6D．1
5．若函数的大致图像是
A．B．
C．D．
6．在 内，使 成立的的取值范围为
A．B．C． D．
二、多选题
7．下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．若，且，则的取值范围是_____．
9．方程的解集为___________．
10．在内不等式的解集为__________．
题型三 正切函数的图像与性质
【典例1】设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】函数的定义域为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【题型训练】
一、单选题
1．方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，）B．
C．D．
4．是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．既非充分也非必要条件D．充要条件
5．若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．对于四个函数，，，，下列说法错误的是（ ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心
二、多选题
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．的定义域是
C．在上单调递增D．的最小正周期是
三、填空题
8．若，则该函数定义域为_____________．
9．函数的对称轴是___________.
①正弦函数的图像与性质
②余弦函数的图像与性质
③正切函数的图像与性质
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
在[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
在[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0) (k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π