2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练53条件概率全概率公式相互独立事件的概率

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练53条件概率全概率公式相互独立事件的概率，共6页。

一、选择题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,6) D． eq \f(1,8)
答案：A
解析：P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(AB)＝ eq \f(1,4) ，
∴P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(1,2) .
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝( )
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(1,2)
答案：B
解析：P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(2,5) ，P(AB)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，
∴P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,10),\f(2,5)) ＝ eq \f(1,4) .
3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(3,4)
C． eq \f(12,25) D． eq \f(14,25)
答案：D
解析：由题意可知甲中靶的概率P1＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) ，
乙中靶的概率P2＝ eq \f(7,10) ，
又两人中靶相互独立，
∴他们都中靶的概率P＝P1P2＝ eq \f(7,10) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(14,25) .
4．[2024·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A，B，C三人单独解出的概率依次为 eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ，则三人独立解答仅有1人解出的概率为( )
A． eq \f(1,24) B． eq \f(11,24)
C． eq \f(7,24) D．1
答案：B
解析：由题意知，仅有1人解出的概率为P＝ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) × eq \f(1,3) ×(1－ eq \f(1,4) )＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,8) ＋ eq \f(1,12) ＝ eq \f(11,24) .故选B.
5．[2024·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.32
答案：B
解析：设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4
由于AB＝B，则P(AB)＝P(B)
则P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(P（B）,P（A）) ＝ eq \f(0.4,0.8) ＝0.5.故选B.
6．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( )
A．0.56 B．0.86
C．0.94 D．0.96
答案：C
解析：设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，
则该公司攻克这项技术难题的概率为：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.
7．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
答案：A
解析：方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为 eq \f(B,B＋C) ＝ eq \f(0.4,0.5) ＝0.8，故选A.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(0.4,0.5) ＝0.8，故选A.
8．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为 eq \f(1,3) ， eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) ，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A． eq \f(1,9) B． eq \f(1,6)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(7,18)
答案：D
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A，B，C，则P(A)＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(1,2) ，P(C)＝ eq \f(2,3) ，停车一次即为事件 eq \(A,\s\up6(－)) BC＋A eq \(B,\s\up6(－)) C＋AB eq \(C,\s\up6(－)) 的发生，故概率P＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) × eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) ＝ eq \f(7,18) .故选D.
9．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
答案：ABD
解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) β(1－β)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) (1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) α(1－α)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) (1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D选项正确．综上，选ABD.
二、填空题
10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．
答案：0.7
解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，
B1＝“第1天去B餐厅用餐”，
A2＝“第2天去A餐厅用餐”，
Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．
根据题意得
P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.6＋0.5×0.8
＝0.7
故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 eq \f(1,2) 和 eq \f(1,3) .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
答案： eq \f(1,6) eq \f(2,3)
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为 eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ，甲、乙两球都不落入盒子的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) ＝ eq \f(1,3) ，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．
答案： eq \f(15,28)
解析：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ) ＝ eq \f(15,28) .即所求事件的概率是 eq \f(15,28) .
[能力提升]
13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
答案：B
解析：P(甲)＝ eq \f(1,6) ，P(乙)＝ eq \f(1,6) ，P(丙)＝ eq \f(5,36) ，P(丁)＝ eq \f(6,36) ＝ eq \f(1,6) ，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝ eq \f(1,36) ＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝ eq \f(1,36) ≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，
故选B.
14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是 eq \f(1,3) ，从乙口袋内摸出1个白球的概率是 eq \f(1,2) ，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )
A.2个球都是白球的概率为 eq \f(1,6)
B．2个球都不是白球的概率为 eq \f(2,3)
C．2个球不都是白球的概率为 eq \f(5,6)
D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 eq \f(1,2)
答案：ACD
解析：∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,6) ，∴2个球不都是白球的概率是1－ eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,6) ，故A，C正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为 eq \f(2,3) ，乙口袋摸出的球不是白球的概率为 eq \f(1,2) ，故2个球都不是白球的概率为 eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,3) ，B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) ，D正确．故选ACD.
15．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
答案：D
解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3).设第二盘与乙比赛，则p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3).设第二盘与丙比赛，则p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2).p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝2p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．选D.
16．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)
C．P(ABC)＝ eq \f(1,8)
D．P(A)P(B)P(C)＝ eq \f(1,8)
答案：ABD
解析：依题意P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(B)＝ eq \f(1,2) ，P(C)＝ eq \f(1,2) ，故AD正确；
P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) ，P(AC)＝ eq \f(1,4) ，P(BC)＝ eq \f(1,4) ，故B正确；事件A，B，C不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.