2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若1+ai1−i=2−i(其中i是虚数单位)，则实数a=( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
2.已知x是实数，则“x>2”是“x2+4x−12>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是( )
A. 甲的数学成绩最后3次逐渐升高
B. 甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数
C. 甲有5次考试成绩比乙高
D. 甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差
4.已知i为虚数单位，复数z满足|z−(3+2i)|=1，则复数z对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球O的表面上，底面圆心与O重合，则该圆锥的表面积与球O的表面积之比为( )
A. 1：4B. 1：2C. 1：6D. 1：3
6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E，F，G分别是AA1，A1B1，B1C1的中点，则过点E，F，G的平面截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的周长为( )
A. 2 2+3 3B. 2 2+3 5C. 2 2+4 3D. 2 2+4 5
7.已知在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=1，则三棱锥A−BCD外接球表面积的最小值为( )
A. 2 5+14πB. 5+12πC. 2 5−14πD. 5−12π
8.已知函数f(x)=x2(1−2ex+1)，g(x)满足g(1+3x)+g(3−3x)=0，G(x)=f(x−2)−g(x)，若G(x)恰有2n+1(n∈N∗)个零点，则这2n+1个零点之和为( )
A. 2nB. 2n+1C. 4nD. 4n+2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a//b，a⊂α，b⊂β，α∩β=c，则a//c
B. 若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α
C. 若a//α，b//α，a∩b=A，a⊂β，b⊂β，则α//β
D. 若α⊥β，α∩β=c，a⊥c，则a⊥β
10.设向量a=(2,0)，b=(1,1)，则( )
A. |a|=|b|B. (a−b)//b
C. (a−b)⊥bD. a与b的夹角为π4
11.已知函数f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=sin(2x−π6)
B. 函数f(x)的最小正周期为2π
C. x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴
D. 函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移π12个单位长度得到
12.已知函数f(x)和实数m，n，则下列说法正确的是( )
A. 定义在R上的函数f(x)恒有f(x)=f(m−nx)，则当n=1时，函数的图象有对称轴
B. 定义在R上的函数f(x)恒有f(x)=f(m−nx)，则当n=−1时，函数具有周期性
C. 若m=1，n=2，f(x)=−3x2+2x,x≤13f(m−nx),x>13，则∀t∈(−∞,13)，f(t)>f(23−t)恒成立
D. 若m=4，n=1，f(x)=|lnx|−a,x∈(0,2]f(m−nx),x∈(2,4)，且f(x)的4个不同的零点分别为x1，x2，x3x4，且x12”是“x2+4x−12>0”的的充分不必要条件．
故选：A．
3.C
【解析】解：对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法正确；
对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法正确；
对于C，甲有7次考试成绩比乙高，故C的说法错误；
对于D，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法正确．
故选：C．
4.A
【解析】解：因为|z−(3+2i)|=1，
所以点z的轨迹是以(3,2)为圆心，1为半径的圆，
所以复数z对应的点在第一象限．
故选：A．
5.A
【解析】解：设球O的半径为R，则圆锥的高为R，
由正三角形的性质可得圆锥底面半径为 33R，母线长为2 33R，
所以圆锥的表面积为π×( 33R)2+π× 33R×2 33R=πR2，
又球O的表面积为4πR2，
所以该圆锥的表面积与球O的表面积之比为1：4．
故选：A．
6.D
【解析】解：根据题意，如图，延长GF交D1A1的延长线于点M，交D1C1的延长线于点N，
连接ME并延长交AD于点K，交D1D的延长线于点T，
连接TN，分别交CD，CC1于点I，H，连接KI，GH，
则六边形EFGHIK就是过点E，F，G的平面截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形，
由全等三角形可知，K，I，H分别为AD，CD，CC1的中点，
因为AA1=2AB=4，则EF=GH=EK=HI= 5,FG=KI= 2，
所以六边形EFGHIK的周长为2 2+4 5．
故选：D．
7.B
【解析】解：如图，设∠ABD=α，∠CBD=β，K为△BCD的外心，O为三棱锥A−BCD外接球的球心，
则OK⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，所以OK//AD，KD⊂平面BCD，
则OK⊥DK，四边形OKDA是直角梯形，设OK=ℎ，DK=r，OD=R，
由AD⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，得AD⊥BD，
则AD=tanα=1tanβ,CD=2sinβ2,2r=CDsinβ=2sinβ2sinβ，即r=12csβ2，
又ℎ2+r2=R2(AD−ℎ)2+r2=R2，则ℎ=12AD，
R2=r2+(AD2)2=14cs2β2+14tan2β=12(1+csβ)+cs2β4(1−cs2β)=−14+3−2csβ4(1−cs2β)，
令t=3−2csβ，则csβ=3−t2,t∈(1,3)，
R2=−14−tt2−6t+5=−14−1t+5t−6≥−14−12 t⋅5t−6=−14+12(3− 5)= 5+18，
当且仅当t=5t，即t= 5时等号成立，
所以三棱锥A−BCD外接球表面积S=4πR2≥4π× 5+18= 5+12π．
故选：B．
8.D
【解析】解：因为f(x)=x2(1−2ex+1)，x∈R，
f(−x)=x2(1−2e−x+1)=x2(1−21ex+1)=x2(1−2exex+1)=x2(1−exex+1)=−x2(1−2ex+1)=−f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数，图象关于(0,0)对称，
所以f(x−2)的图象关于(2,0)对称；
又因为g(1+3x)+g(3−3x)=0，
所以g(1+3x)=−g(3−3x)，
即g(1+x)=−g(3−x)，
所以g(x)的图象关于(2,0)对称；
又因为G(x)=f(x−2)−g(x)，
所以G(x)的图象关于(2,0)对称，
且G(2)=f(0)−g(2)=0−0=0．
所以G(x)的零点即为f(x−2)与g(x)的交点的横坐标，
又因为G(x)恰有2n+1(n∈N∗)个零点，
即f(x−2)与g(x)的交点恰有2n+1(n∈N∗)个，
且其中一个为x=2，其余的2n个交点关于(2,0)对称，
所以则这2n+1个零点之和为2n2×4+2=4n+2．
故选：D．
9.AC
【解析】解：对A选项，∵a//b，a⊂α，b⊂β，α∩β=c，∴a//β，从而可得a//c，∴A选项正确；
对B选项，∵a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，但b，c不一定是相交直线，∴a⊥α不一定成立，∴B选项错误；
对C选项，∵a//α，b//α，a∩b=A，a⊂β，b⊂β，∴α//β，∴C选项正确；
对D选项，∵α⊥β，α∩β=c，a⊥c，∴a与β可以成任意角，∴D选项错误．
故选：AC．
10.CD
【解析】
解：∵|a|=2,|b|= 2，∴A错误；
∵a−b=(1,−1)，∴(a−b)⋅b=1−1=0，∴(a−b)⊥b，∴B错误，C正确；
∵cs=a⋅b|a||b|=22 2= 22，且0≤≤π，
∴a与b的夹角为π4，∴D正确．
故选CD．
11.ACD
【解析】解：A选项，f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，故A正确；
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为2π2=π，故B错误；
C选项，将x=π3代入2x−π6=π2，f(x)在此时得最大值，故x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；
D选项，y=sin2x的图象向右平移π12个单位得sin2(x−π12)=sin(2x−π6)，故D正确．
故选：ACD．
12.ACD
【解析】解：对于A，若n=1，则f(x)=f(m−x)，
所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x=m2，故A正确；
对于B，当n=−1时，f(x)=f(m+x)．
若m=0，则f(x)=f(x)，函数不具有周期性，故B错误；
对于C，若m=1，n=2，则f(x)=−3x2+2x,x≤13f(1−2x),x>13，
当x>13时，1−2x13时，f(x)=−12x2+8x−1．
当t∈(−∞,13)时，23−t∈(13,+∞)，
所以f(t)−f(23−t)=−3t2+2t−[−12(23−t)2+8(23−t)−1]
=9t2−6t+1=(3t−1)2>0，所以f(t)>f(23−t)恒成立，C正确．
对于D，当x∈(2,4)时，4−x∈(0,2)，
则f(x)=|lnx|−a,x∈(0,2]|ln(4−x)|−a,x∈(2,4),
令g(x)=|lnx|,x∈(0,2]|ln(4−x)|,x∈(2,4),
作出函数g(x)的图象和直线y=a，如图．
要使f(x)有4个不同的零点，
则函数g(x)的图象与直线y=a有4个不同的交点．
又x1400，解得即可．
17.解：(1)∵函数f(x)=sin(2x+φ)(0