2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.i是虚数单位，则复数21+i=( )
A. 1−iB. 1+iC. 12+12iD. 12−12i
2.对于两个事件M，N，则事件M∪N表示的含义是( )
A. M与N同时发生B. M与N不能同时发生
C. M与N有且仅有一个发生D. M与N至少有一个发生
3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，若A′O′=12，B′O′=C′O′=1，则△ABC的面积是( )
A. 24B. 12C. 1D. 2
4.已知a=(1,2)，b=(−2,1)，则( )
A. a+b=0B. a⋅b=0C. a/​/bD. |a|>|b|
5.下列说法正确的是( )
A. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B. 直四棱柱是长方体
C. 将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
6.某校要从高一某班5名班干部(其中2名男生，3名女生)中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为( )
A. 110B. 310C. 710D. 910
7.在△ABC中，若BC=2 3，AC=2，A=60°，则B=( )
A. π6B. π4C. π6或5π6D. π3
8.已知m，n表示两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则( )
A. 若m/​/α，n/​/α，则m/​/nB. 若m⊥α，m⊥n，则n/​/α
C. 若m/​/α，m⊥n，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
9.在四边形ABCD中，AB=DC，AD= 3AB，且|AB+AD|=|AB−AD|，则AB与CA的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，给出下列结论：
①C1D1//平面ABH；
②AC⊥平面BDF；
③直线EF与直线BC1所成的角为π3；
④平面ABH与底面ABCD所成二面角的大小为π4．
其中正确的结论有( )
A. ①③B. ②④C. ②③④D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为13和14，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为______．
12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为______．
注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，它的方差为s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]．
13.已知a，b是两个不共线的向量，且向量2a−b与λa+5b共线，则实数λ的值为______．
14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，点E为棱BC的中点，则三棱锥C1−AED的体积为______．
注：球的表面积S=4πR2，其中R为球的半径．
15.在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=xAC+35AB(x∈R)，则x的值为______；若AC=3，AB=4，则AP⋅CD的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知i是虚数单位，复数z=(m2+2m−8)+(m−2)i，m∈R．
(Ⅰ)当m=1时，求|z|；
(Ⅱ)若z是纯虚数，求m的值；
(Ⅲ)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．
17.(本小题12分)
抽取某车床生产的8个零件，编号为A1，A2，…，A8，测得其直径(单位：cm)分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49,1.51]内的零件为一等品．
(Ⅰ)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(Ⅱ)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 3asinB+bcsA=0．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a= 7，b= 3，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据(成绩/分)按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，并整理得到如下频率分布直方图．
(Ⅰ)求a的值和众数；
(Ⅱ)若成绩在[50,60)内有30人，现从成绩在[80,90)和[90,100]两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？
(Ⅲ)年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB.平面ABCD，且AD//BC，∠ADC=90°，BC=CD=12AD=1，E为AD的中点．
(Ⅰ)求证：AB/​/平面PCE；
(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(Ⅲ)若PA=2，PB= 6，求直线PA与平面PBD所成的角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．
故选：A．
结合复数的除法运算，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：事件M∪N表示的含义是：M与N至少有一个发生．
故选：D．
根据已知条件，结合和事件的定义，即可求解．
本题主要考查和事件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：画出△ABC，如图所示：
由斜二测画法的规则可知，AO=1，BO=CO=1，
所以△ABC的面积是S=12×2×1=1．
故选：C．
根据斜二测画法的规则求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：a=(1,2)，b=(−2,1)，
则a+b=(−1,3)，a⋅b=1×(−2)+2×1=0，故A错误，B正确；
1×1≠2×(−2)，故a/​/b不成立，故C错误；
|a|=|b|= 5，故D错误
故选：B．
结合向量的坐标运算法则，以及向量数量积运算，向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，
故A错误；
对于B，直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故B错误；
对于C，将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故C错误；
对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：D．
根据题意，由圆柱的结构特征分析A，由直棱柱的定义分析B，由旋转体的定义分析C，由正棱锥的结构特征分析D，综合可得答案．
本题主要考查了旋转体的定义，考查了直四棱柱和正棱锥的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：2名男生记为A，B，3名女生记为a，b，c，
从5人中抽取2人，样本空间为Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，共10个样本点，
设事件A表示“抽调的班干部都是女生”，
则A={ab,ac,bc}，共3个样本点，
所以P(A)=310．
故选：B．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：AC则B<60°，
BC=2 3，AC=2，A=60°，
则sinB=ACsinABC=2× 322 3=12，
B为三角形ABC的内角，
则B=π6．
故选：A．
结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：A项，如图：平面ABCD为平面α，则m，n可能平行，异面或相交，A项错误；
B项，平面ABCD为平面α，直线n可能在平面α内，B项错误；
C项，平面ABCD为平面α，直线A1D为直线m，A1B1为直线n，则n/​/α，C项错误；
D项，若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，D正确．
故选：D．
利用正方体逐项判断直线与平面的位置关系．
本题考查空间直线与平面的位置关系，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：因为AB=DC，所以AB=DC且AB//DC，所以四边形ABCD为平行四边形，
又|AB+AD|=|AB−AD|，两边平方得：4AB2+2AB⋅AD+AD2=AB2−2AB⋅AD+AD2，
所以AB⋅AD=0，即AB⊥AD，所以平行四边形ABCD为矩形，
∠CAB为AB与AC的夹角，所以AB与CA的夹角为π−∠CAB，
又AD= 3AB，所以在Rt△ABC中，tan∠CAB=BCAB=ADAB= 3ABAB= 3，
所以∠CAB=π3，所以AB与CA的夹角为2π3．
故选：C．
由已知可得ABCD为矩形，即可得AB与CA的夹角．
本题考查向量的表示，数量积公式，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：对于①，因为C1D1/​/AB，所以C1，D1，A，B共面，
因为AH⊂平面ABC1D1，
所以C1D1⊂平面ABH，所以①错误；
对于②，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，即DF⊥AC，
因为AC⊥BD，BD∩DF=D，BD，DF⊂平面BDF，
所以AC⊥平面BDF，所以②正确，
对于③，取AD的中点G，连接GF，GE，AD1，
因为F为DD1的中点，所以GF/​/AD，GF=12AD1，
因为AD1/​/BC1，所以GF//BC1，
所以∠GFE为直线EF与直线BC1所成的角，
设正方体的棱长为2，则FG=GE= 2，EF= DF2+DE2= 1+4+1= 6，
所以cs∠GFE=12EFFG=12 6 2= 32，
因为∠GFE∈(0,π)，所以∠GFE=π6，所以③错误，
对于④，因为AB⊥平面BCC1B1，BC，BH⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥BC，AB⊥BH，
所以∠HBC为平面ABH与底面ABCD所成二面角，
因为∠HBC=π4，
所以平面ABH与底面ABCD所成二面角的大小为π4，所以④正确．
故选：B．
对于①，由题意可得C1，D1，A，B共面，从而进行判断，对于②，根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理判断，对于③，取AD的中点G，连接GF，GE，AD1，可得∠GFE为直线EF与直线BC1所成的角，然后求解判断，对于④.由正方体的性质可得∠HBC为平面ABH与底面ABCD所成二面角，然后求解判断．
本题考查空间线面位置关系的判定以及空间角的计算，属于中档题．
11.【答案】112
【解析】解：因为甲、乙两人是否译出该密码相互独立，
所以甲、乙都译出该密码的概率为13×14=112．
故答案为：112．
利用独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
12.【答案】53
【解析】解：由题意可知，这组数据的平均数为x−=16×(9+5+7+6+8+7)=7，
所以这组数据的方差为s2=16×[(9−7)2+(5−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(8−7)2+(7−7)2]=53．
故答案为：53．
根据方差的计算公式求解．
本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
13.【答案】−10
【解析】解：向量2a−b与λa+5b共线，
则存在实数k，使得λa+5b=k(2a−b)，
a，b是两个不共线的向量，
则λ=2k5=−k，解得λ=−10．
故答案为：−10．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】4 3
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，
所以4πR2=36π，解得R=3，
设正方体的棱长为a，则 3a=2R，
即 3a=6，解得a=2 3，
所以VC1−AED=13⋅S△AED⋅C1C=13×12×2 3×2 3×2 3=4 3．
故答案为：4 3．
根据球的表面积公式得出R，再利用正方体外接球直径是体对角线得出正方体的棱长，代入体积公式即可求解．
本题考查几何体的体积，属于基础题．
15.【答案】110 2310
【解析】解：因为AD=2DB，P为CD上一点，
所以设CP=λCD，
则AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(AD−AC)=(1−λ)AC+λAD=(1−λ)AC+23λAB，
因为AP=xAC+35AB(x∈R)，
所以x=1−λ35=23λ，解得λ=910x=110，所以x=110；
因为∠BAC=π3，AC=3，AB=4，
所以AB⋅AC=|AB|AC|csπ3=4×3×12=6，
因为CD=AD−AC=23AB−AC，
所以AP⋅CD=(110AC+35AB)⋅(23AB−AC)=25AB2−110AC2−815AB⋅AC
=25×16−110×9−815×6=325−910−165=2310．
故答案为：110，2310．
由平面向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可求得第一空；再由平面向量的数量积运算即可求得第二空．
本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题．
16.【答案】(I)解：当m=1时，z=−5−i．
所以|z|= (−5)2+(−1)2= 26．
(II)z=(m2+2m−8)+(m−2)i
若复数z是纯虚数，则
m2+2m−8=0m−2≠0，解得m=2或m=−4m≠2，
所以m=−4．
(III)解：复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
则m2+2m−8<0m−2<0，即−4所以实数m的取值范围是−4【解析】(Ⅰ)结合复数模公式，即可求解；
(Ⅱ)结合纯虚数的定义，即可求解；
(Ⅲ)结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
17.【答案】解：(I)由所给数据可知，一等品零件共有5个，
设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，
则P(A)=58；
(II)一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，
从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：
Ω={(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,A5)，(A2,A1)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,A5)，(A3,A1)，(A3,A2)，(A3,A4)，(A3,A5)，(A4,A1)，(A4,A2)，(A4,A3)，(A4,A5)，(A5,A1)，(A5,A2)(A5,A3)，(A5,A4)}，共20个样本点，
设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，所有可能结果有：
B={(A1,A4)，(A2,A3)，(A2,A5)，(A3,A5)，(A4,A1)，(A3,A2)，(A5,A2)，(A5,A3)}，共8个样本点，
所以P(B)=820=25．
【解析】(Ⅰ)利用古典概型的概率公式求解；
(Ⅱ)利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(I) 3asinB+bcsA=0．
由正弦定理得 3sinAsinB+sinBcsA=0．
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，tanA=− 33．
在△ABC中，A∈(0,π)，
所以A=5π6．
(II)由a= 7，b= 3及余弦定理a2=b2+c2−2bccsA．
得c2+3c−4=0，解得c=1或c=−4(舍)，
故S△ABC=12bcsinA=12× 3×1×12= 34．
【解析】(Ⅰ)结合正弦定理，即可求解；
(Ⅱ)结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】(I)解：由频率分布直方图得：10×(0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a)=1．
解得a=0.05，众数是75．
(II)解：因为，成绩在[50,60)一组人数为30人，其频率0.2×0.05×10=0.1，
所以，样本容量为300.1=300．
成绩在[80,90)和[90,100]的频数为90，30．
设在[80,90)和[90,100]按照分层随机抽样分别抽取x人，y人，按照分层随机抽样12120=x90=y30．
得x=9，y=3．
所以，在[80,90)和[90,100]按照分层随机抽样分别抽取9人，3人．
(III)解：估计该生能得到表彰，理由如下：
成绩低于8(0分)的频率为0.6，成绩低于9(0分)的频率为0.9．
由题，表彰成绩排名前25%的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数．
设第75百分位数为t，则t在[80,90)中，0.6+(t−80)×0.03=0.75，解得t=85．
即第75百分位数为85<86．
所以估计该生能得到表彰．
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质，即可求解；
(Ⅱ)根据分层抽样的概念，即可求解；
(Ⅲ)根据百分位数的概念，即可求解．
本题考查频率分布直方图的相关知识，百分位数的概念，中位数的定义，属中档题．
20.【答案】解：(I)证明：∵BC=CD=12AD，E为AD的中点．
∴BC//AE且BC=AE，
即四边形BCEA为平行四边形，∴AB/​/EC，
∵AB⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，
∴AB/​/平面PEC．
(II)证明：∵AD/​/BC，∠ADC=90°，BC=CD=12AD=1，
∴BD=AB= 2，AD=2．
∴AB2+BD2=AD2，即BD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，∴BD⊥平面PAB，
又∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
(III)作AM⊥PB，垂足为M，
由(II)知，平面PAB⊥平面PBD，
又平面PAB∩平面PBD=PB，AM⊂平面PAB，
∴AM⊥平面PBD，
∴PM为直线PA在平面PBD上的射影，
∴∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，
在△PAB中，AB= 2，PA=2，PB= 6，
∴PA2+AB2=PB2，即PA⊥AB．
在Rt△PAB中，AM=AB⋅PAPB= 2×2 6=2 33，
在Rt△AMP中，sin∠APM=AMAP=2 332= 33，
∴直线AP与平面PBD所成的角的正弦值为 33．
【解析】(1)先证四边形BCEA为平行四边形，得出AB/​/EC，即可得证；
(2)通过条件得出以BD⊥平面PAB，即可得证；
(3)先证明∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，再解三角形即可．
本题考查线面位置关系的判定以及线面角的计算，属于中档题．