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广西壮族自治区河池市2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量检测数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份广西壮族自治区河池市2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量检测数学试题 （原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了考试结来后，请将答题卡上交.，本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结来后，请将答题卡上交.
5．本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2. 矩形的直观图是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A B. C. D.
5. 国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7. 如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确是（ ）
A. 若是实数，则与的虚部互为相反数
B. 若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C 若，，则D. 若，，，则
11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，．则___________．
13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________.
14. 某工厂需要制作一个如图所示模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，请判断是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16. 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下：
（1）求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差；
（2）从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ACF．
18. 如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若，求的最小值．
19. 如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上一点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线BE与平面所成角的正弦值．
河池市2024年春季学期高一期末学业水平质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结来后，请将答题卡上交.
5．本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机抽样概念求解即可.
【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；
个体：把组成总体的每个对象称为个体；
样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；
样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；
在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量．
故选：D．
2. 矩形的直观图是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解.
【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度，
直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度，
故矩形的直观图是平行四边形．
故选：D
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.
【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；
在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误；
随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确；
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．
故选：C．
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得.
【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，
所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积．
故选：B．
5. 国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列，再根据百分位数概念即可进行求解.
【详解】将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，6，7，8，8，9，9，
又因为，
所以这组数据第60百分位数为：.
故选：C
6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可.
【详解】由题意得，又，
所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选：B．
7. 如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
详解】由题意知.
故选：C.
8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可.
【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是实数，则与虚部互为相反数
B. 若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用复数的运算求解；B.利用复数相等求解；C.由复数不能比较大小求解；D.取判断.
【详解】设，所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
取，此时，满足，但与不能比较大小，故C错误；
若，满足，但是，故D错误．
故选：AB．
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解.
【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误；
对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确；
对于选项C，若，，则，所以选项C正确；
对于选项D，在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，但，所以选项D错误.
故选：BC.
11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果.
【详解】设2个白球，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件．
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A错误；
对于B，因为，
则，所以事件A与B相互独立，故B正确；
对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确；
对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确．
故选:BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，．则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律及定义求出，即可得解.
【详解】因为，所以．
故答案为：
13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果.
【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，
所以两人都没有击中靶心的概率为，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.
故答案为：
14. 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以，
故该模型的表面积为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，请判断是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
【答案】（1）
（2）是直角三角形
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理求出，然后利用勾股定理判断三角形形状即可.
【小问1详解】
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
又，所以；
【小问2详解】
由余弦定理得，
化简后有，解出，
显然，因此是直角三角形.
16. 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下：
（1）求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差；
（2）从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
【答案】（1）平均数8，方差1.4；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平均数和方差的公式求解；
（2）利用古典概型的概率求解.
【小问1详解】
解：依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为，
；
方差为；
【小问2详解】
依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，投中9个球的有3人，编号为2，4，10，从中任选2人，
有，共6种，
这2人恰好都是投进9个球的有，共3种，
所以这2人恰好都是投进9个球的概率．
17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ACF．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据正方体性质及线面垂直的判定、性质定理证明线线垂直即可；
（2）连接BD，交AC于点O，连接FO，利用线面平行的判定证明平面ACF、平面ACF，再根据面面平行的判定证结论.
【小问1详解】
因为四边形ABCD是正方形，所以．
在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
连接BD，交AC于点O，连接FO，如图所示．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又F是棱的中点，以，
又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF，
在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF，
又平面，所以平面平面ACF．
18. 如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；
（2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示，得到关于的一元二次函数，再利用一元二次函数的最值求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
所以，
所以三点共线；
【小问2详解】
在梯形中，，
易得，
设，
解法一：所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：因为，
所以，
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为；
解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，
设，则，
由于，因此，
解得，，
因此，
故，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
19. 如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线BE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平面平面，可得平面PBD，从而，结合已知可证平面，由面面垂直的判定定理可证平面平面；
（2）根据等体积法求出点E到平面的距离d，则直线BE与平面所成角的正弦值为．
【小问1详解】
因为平面平面BCD，平面平面，
且平面，由题意易知，所以平面PBD，
又平面，所以，
又，且平面PCD，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
在中，结合已知有．
因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
平面，所以，
所以中，易得，
所以．
因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高，
解法一：所以．
设点D到平面的距离为h，因为，
所以，解得，
易得，所以点E到平面的距离为，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，
所以，
设点E到平面的距离为d，则，
由等体积可知，令，解出，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结来后，请将答题卡上交.
5．本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2. 矩形的直观图是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A B. C. D.
5. 国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7. 如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确是（ ）
A. 若是实数，则与的虚部互为相反数
B. 若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C 若，，则D. 若，，，则
11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，．则___________．
13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________.
14. 某工厂需要制作一个如图所示模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，请判断是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16. 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下：
（1）求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差；
（2）从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ACF．
18. 如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若，求的最小值．
19. 如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上一点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线BE与平面所成角的正弦值．
河池市2024年春季学期高一期末学业水平质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结来后，请将答题卡上交.
5．本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机抽样概念求解即可.
【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；
个体：把组成总体的每个对象称为个体；
样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；
样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；
在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量．
故选：D．
2. 矩形的直观图是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解.
【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度，
直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度，
故矩形的直观图是平行四边形．
故选：D
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.
【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；
在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误；
随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确；
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．
故选：C．
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得.
【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，
所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积．
故选：B．
5. 国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列，再根据百分位数概念即可进行求解.
【详解】将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，6，7，8，8，9，9，
又因为，
所以这组数据第60百分位数为：.
故选：C
6. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可.
【详解】由题意得，又，
所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选：B．
7. 如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
详解】由题意知.
故选：C.
8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可.
【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是实数，则与虚部互为相反数
B. 若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用复数的运算求解；B.利用复数相等求解；C.由复数不能比较大小求解；D.取判断.
【详解】设，所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
取，此时，满足，但与不能比较大小，故C错误；
若，满足，但是，故D错误．
故选：AB．
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解.
【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误；
对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确；
对于选项C，若，，则，所以选项C正确；
对于选项D，在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，但，所以选项D错误.
故选：BC.
11. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果.
【详解】设2个白球，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件．
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A错误；
对于B，因为，
则，所以事件A与B相互独立，故B正确；
对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确；
对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确．
故选:BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，．则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律及定义求出，即可得解.
【详解】因为，所以．
故答案为：
13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果.
【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，
所以两人都没有击中靶心的概率为，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.
故答案为：
14. 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以，
故该模型的表面积为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，请判断是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
【答案】（1）
（2）是直角三角形
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理求出，然后利用勾股定理判断三角形形状即可.
【小问1详解】
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
又，所以；
【小问2详解】
由余弦定理得，
化简后有，解出，
显然，因此是直角三角形.
16. 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下：
（1）求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差；
（2）从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
【答案】（1）平均数8，方差1.4；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平均数和方差的公式求解；
（2）利用古典概型的概率求解.
【小问1详解】
解：依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为，
；
方差为；
【小问2详解】
依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，投中9个球的有3人，编号为2，4，10，从中任选2人，
有，共6种，
这2人恰好都是投进9个球的有，共3种，
所以这2人恰好都是投进9个球的概率．
17. 如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ACF．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据正方体性质及线面垂直的判定、性质定理证明线线垂直即可；
（2）连接BD，交AC于点O，连接FO，利用线面平行的判定证明平面ACF、平面ACF，再根据面面平行的判定证结论.
【小问1详解】
因为四边形ABCD是正方形，所以．
在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
连接BD，交AC于点O，连接FO，如图所示．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又F是棱的中点，以，
又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF，
在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF，
又平面，所以平面平面ACF．
18. 如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；
（2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示，得到关于的一元二次函数，再利用一元二次函数的最值求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
所以，
所以三点共线；
【小问2详解】
在梯形中，，
易得，
设，
解法一：所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：因为，
所以，
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为；
解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，
设，则，
由于，因此，
解得，，
因此，
故，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
19. 如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线BE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平面平面，可得平面PBD，从而，结合已知可证平面，由面面垂直的判定定理可证平面平面；
（2）根据等体积法求出点E到平面的距离d，则直线BE与平面所成角的正弦值为．
【小问1详解】
因为平面平面BCD，平面平面，
且平面，由题意易知，所以平面PBD，
又平面，所以，
又，且平面PCD，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
在中，结合已知有．
因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
平面，所以，
所以中，易得，
所以．
因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高，
解法一：所以．
设点D到平面的距离为h，因为，
所以，解得，
易得，所以点E到平面的距离为，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，
所以，
设点E到平面的距离为d，则，
由等体积可知，令，解出，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
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