2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2.矩形的直观图是( )
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2πB. 16 2π3C. 32 2πD. 32 2π3
5.国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为( )
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
6.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=csx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=csπ+isinπ=−1，得eiπ+1=0.根据欧拉公式，复数z=e3i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.如图，在△ABC中，AB=4DB，P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12ACB. −14AB+13ACC. −58AB+12ACD. −58AB+13AC
8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为( )
A. 3 1326B. 1313C. 1326D. 3 1313
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A. 若z1+z2是实数，则z1与z2的虚部互为相反数
B. 若z1=z2且z1≠z2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若z12−z22>0，则z12>z22
D. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0
10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m/​/α，α/​/β，则m/​/β
B. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C. 若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ
D. 若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A =“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|b|=2，则|a+b|= ．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 ．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD− A′B′C′D′挖去一个四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD−A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=8，AA′=6，那么该模型的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sin C−sin A)(c+a)=b(sin C−sin B)．
(1)求A；
(2)若b=2，a= 3，请判断△ABC是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16.(本小题12分)
团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作.某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数(每人投10个球)统计表如下：
(1)求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差;
(2)从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点．
(1)求证：D1B⊥AC;
(2)求证：平面BED1//平面ACF．
18.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，E，F分别为AB，CE的中点，G是线段BC上的动点．
(1)若CG=13CB，求证：A，F，G三点共线;
(2)若AD=CD=1，∠DAB=π3，求AG⋅EG的最小值．
19.(本小题12分)
如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=1，∠A=60∘，BD=CD，∠ABD=90∘，将△ABD沿边BD翻折至△PBD，使得平面PBD⊥平面BCD，如图2所示.E是线段PD上的一点，且BE⊥PD．
(1)求证：平面BEC⊥平面PCD;
(2)求直线BE与平面PBC所成角的正弦值．
答案解析
1.D
【解析】解：在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50种饮料的质量是总体，每一种饮料的质量是个体，30种饮料的质量是样本，30是样本量．
故选D．
2.D
【解析】解：直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，
故矩形的直观图是平行四边形．
故选D．
3.C
【解析】解：频率与概率不是同一个概念，故A错误;
在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误;
随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故C正确;
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．
故选C．
4.B
【解析】解：设该圆锥的底面圆半径为r，所以2πr=6×2π3=4π，
解得r=2，所以该圆锥的高为 62−22=4 2，
所以该圆锥的体积V=13π×22×4 2=16 2π3．
故选B．
5.C
【解析】解：将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，6，7，8，8，9，9．
又因为10×60%=6，所以这组数据第60百分位数为：7+82=7.5．
故选C．
6.B
【解析】解：由题意得z=cs3+isin3，又π2<3<π，
所以cs3<0，sin3>0，
所以复数z=e3i在复平面内对应的点为(cs3,sin3)，位于第二象限．
故选B．
7.C
【解析】解：根据题意，可得BD=−14AB，BC=AC−AB，
因为BP是△DBC的中线，所以BP=12(BD+BC)=−18AB+12(AC−AB)=−58AB+12AC．
故选：C．
8.A
【解析】解：过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF．
不妨设AB=4，易得EF=3，CF=CE= DC2+DE2−2DC⋅DEcs∠CDE= 13．
在△CEF中，由余弦定理得cs∠CEF=EC2+EF2−CF22EC⋅EF=3 1326，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为3 1326．
故选A．
9.AB
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
所以z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i，
所以b+d=0，所以b=−d，故A正确;
因为z1=z2，所以a=c，b=−d，故B正确;
取z1=2+i，z2=1+2i，此时z12=3+4i，z22=−3+4i，
满足z12−z22>0，但z12与z22不能比较大小，故C错误;
若z1=1，z2=i，满足|z1+z2|=|z1−z2|，但是z1z2=i≠0，故D错误．
故选AB．
10.BC
【解析】解：对于选项A，若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，所以选项 A错误；
对于选项B，若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，所以选项 B正确；
对于选项C，若α//β，β//γ，则α//γ，所以选项 C正确；
对于选项D，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，
平面ABCD∩平面A1BCD1=BC，平面ADD1A1∩平面A1BCD1=A1D1，但BC//A1D1，所以选项 D错误．
故选：BC．
11.BCD
【解析】
解：设2个白球为 a1,a2 ，2个黑球为 b1,b2 ，
则样本空间为： (a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1)}，共12个基本事件．
事件 A=a1,a2,a2,a1,b1,b2,b2,b1 ，共4个基本事件；
事件 B=a1,a2,a1,b1,a1,b2,a2,a1,a2,b1,a2,b2 ，共6个基本事件；
事件 C=a1,a2,a2,a1,b1,a1,b1,a2,b2,a1,b2,a2 ，共6个基本事件；
事件 D=a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,b1,a1,b1,a2,b2,a1,b2,a2 ，共8个基本事件，
对于A，由P(C)=612=12，故A错误;
对于B，因为P(A)=412=13，P(B)=612=12，P(AB)=16，
则P(AB)=P(A)⋅P(B)，故事件A与B相互独立，故B正确;
对于C，由P(AC)=16=P(A)P(C)，故事件A与C相互独立，故C正确;
对于D，因为A∩D=⌀，A∪D=Ω，所以事件A与D互为对立，有P(A)+P(D)=1，故D正确．
故选BCD．
12. 7
【解析】解：由题意可得a⋅b=1×2×12=1，
则(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=1+2×1+4=7，
故|a+b|= 7．

【解析】解：设甲击中靶心为事件A，乙击中靶心为事件B，则PA=0.72，PB=0.85，
所以两人都没有击中靶心的概率为P(A⋅B)=P(A)·P(B)=(1−0.72)×(1−0.85)=0.042，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为1−0.042=0.958．
故答案为 ：0.958．
14.288+8 34
【解析】解：由题意可得OE=OF=OG=OH= 32+42=5，
HG=FG=EF=EH= 42+42=4 2，
所以S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=12×4 2× 52−(2 2)2=2 34，
故该模型的表面积为S=8×8+8×6×4+12×4×4×4+4×2 34=288+8 34．
15.解：(1)因为(sinC−sinA)(c+a)=b(sinC−sinB)，
所以由正弦定理得(c−a)(c+a)=b(c−b)，
则b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
又0所以A=π3;
(2)因为b=2，a= 3，
所以由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4+c2−34c=12，
化简后有c2−2c+1=0，解出c=1，
显然a2+c2=b2，
因此△ABC是直角三角形．
【解析】(1)利用正弦定理化简已知式子得出b2+c2−a2=bc，再由余弦定理，即可求出结果；
(2)利用余弦定理求出边c的值，由a2+c2=b2，即可得出结果．
16.解：(1)依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为110×(6+3×7+2×8+3×9+10)=8，
方差为s2=110×(12+12+02+12+02+22+12+12+22+12)=1.4;
(2)依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，
投中9个球的有3人，编号为2，4，10，
从中任选2人，有(2,4)，(2,6)，(2,10)，(4,6)，(4,10)，(6,10)，共6种，
这2人恰好都是投进9个球的有(2,4)，(2,10)，(4,10)，共3种，
所以这2人恰好都是投进9个球的概率P=36=12．
【解析】(1)根据平均数、方差公式计算即可；
(2)根据古典概型公式可得结果．
17.证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
又DD1∩DB=D，DD1，DB⊂平面DBB1D1，
所以AC⊥平面DBB1D1，又D1B⊂平面DBB1D1，
所以D1B⊥AC；
(2)连接BD，交AC于点O，连接FO，如图所示．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又F是棱DD1的中点，所以FO//D1B，
又FO⊂平面ACF，D1B⊄平面ACF，所以D1B//平面ACF，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点，
所以EC=D1F，EC//D1F，
所以四边形CED1F是平行四边形，所以CF//ED1，
又CF⊂平面ACF，ED1⊄平面ACF，所以ED1//平面ACF，
又D1B∩ED1=D1，D1B，ED1⊂平面BED1，
所以平面BED1//平面ACF．
【解析】(1)先证明AC⊥平面DBB1D1，然后利用D1B⊂平面DBB1D1即可；
(2)连接BD，交AC于点O，连接FO，然后证明D1B//平面ACF，ED1//平面ACF即可．
18.(1)证明：由题意知AG=BG−BA=23BC−BA，
AF=BF−BA=12(BC+BE)−BA
=12BC+12BE−BA
=12BC+14BA−BA=12BC−34BA，
所以AG=43AF，
又AG与AF有共同起点A，
所以A，F，G三点共线;
(2)解：在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=π3，
易得BC=1，∠ABC=π3，设BG=λBC(0≤λ≤1)，
所以EG=BG−BE=λBC−12BA，
AG=BG−BA=λBC−BA，
所以EG⋅AG=(λBC−12BA)⋅(λBC−BA)
=λ 2BC2−32λBA⋅BC+12BA2
=λ 2−32λ+2=(λ−34)2+2316≥2316，
当且仅当λ=34时，等号成立，所以AG⋅EG的最小值为2316．
【解析】(1)由向量的运算、平面向量共线定理即可得证；
(2)设BG=λBC(0≤λ≤1)，由向量的运算和向量的数量积以及二次函数性质可得AG⋅EG的最小值．
19.(1)证明：因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，且CD⊂平面BCD，CD⊥BD，
所以CD⊥平面PBD，
又BE⊂平面PBD，所以BE⊥CD，
又BE⊥PD，PD∩CD=D，且PD，CD⊂平面PCD，
所以BE⊥平面PCD，
又BE⊂平面BEC，所以平面BEC⊥平面PCD;
(2)解：在△PBD中，PB=1，BD= 3，PD=2，BE= 32．
在△PBC中，易得PB⊥BC，PB=1，BC= 6，所以S△PBC=12PB⋅BC= 62．
因为CD⊥平面PBD，所以CD是三棱锥C−PBD的高，
所以VC−PBD=13S△PBD⋅CD=13×12×1× 3× 3=12．
设点D到平面PBC的距离为ℎ，
因为VC−PBD=VD−PBC，所以13× 62ℎ=12，解得ℎ= 62，
易得PE=14PD，所以点E到平面PBC的距离为14ℎ= 68，
所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为14ℎBE= 68 32= 68×2 3= 24．
【解析】(1)先证明BE⊥平面PCD，由面面垂直的判定即可得证；
(2)先由等体积法得出点D到平面PBC的距离，可得直线BE与平面PBC所成角的正弦值编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9