【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（沪科版）第05讲 三角形的边角关系（原卷版讲义）

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知识点一 三角形的有关概念
三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
有关概念
（1）边:组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.三角形ABC的三条边有时也用a，b，c表示.
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（2）顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图1，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点.
（3）角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角.
如图1，∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB;反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B.
三角形的表示
三角形用符号“△”表示，如图1，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
特别提醒：1.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示.
2.三角形三个顶点的字母的次序可任意调整，△ABC 也可写或 “△BAC”“△ BCA”"△CAB"等.
3.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示.
【例1】三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．
知识点二 三角形的分类
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.

2.等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。
【注 意】等边三角形是特殊的等腰三角形.
3.三角形的分类
(1)按边的相等关系分类：
按内角的大小分类：
特别提醒：
(1)在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角.
(2)在一个三角形中，最多有一个直角，最多有一个钝角，
(3)三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形.
【例2】一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因为这个三角形是直角三角形．故选B．
方法技巧：
判断三角形形状的方法
首先确定其分类标准，是按角分类还是按边分类，
若按角分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角，最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形.
若按边分类，则看是否有等边，有等边，则这个三角形就是等腰三角形.
知识点三 三角形的三边关系
三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.
【注意】这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。
三角形三边关系的应用
(1)判断三条线段能否构成三角形，
(2)确定第三边长(或周长)的取值范围
(3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式).
【例3】下列各条线段的长能组成三角形的是（ ）
A．5，7，12B．5，12，16C．2，3，6D．5，5，12
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、5+7=12，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；
B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确；
C、2+3=5a,
a+c>b
两点之间，线段最短
三角形两边的差小于第三边
a-b