重庆市第四十二中学2022年数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析

这是一份重庆市第四十二中学2022年数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析，共27页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是( )
A．－1B．2C．2.75D．3
3．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
4．已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6
6．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A．4B．5C．6D．
7．用配方法解方程时，原方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④
9．对于二次函数y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
10．若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
11．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若，则=_________.
14．如图，过上一点作的切线，与直径的延长线交于点，若，则的度数为__________．
15．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．
16．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，则菱形ABCD的面积是________.
18．年月日我国自主研发的大型飞机成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中，，则的长为_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．
（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；
（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；
（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．
20．（8分）如图1，抛物线与轴交于，两点，过点的直线分别与轴及抛物线交于点
（1）求直线和抛物线的表达式
（2）动点从点出发，在轴上沿的方向以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形？请直接写出所有满足条件的的值．
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位后，与轴，轴分别交于，两点，在抛物线的对称轴上是否存在点，在直线上是否存在点，使的值最小？若存在，求出其最小值及点，的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（8分）（1）计算：
（2）如图是一个几何体的三视图，根据图示的数据求该几何体的表面积．
22．（10分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下：
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
23．（10分）如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.
（1）求证：
（2）求证：
24．（10分）如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．
（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；
（3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
25．（12分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形(顶点是格点的三角形)
(1)若每个小矩形的较短边长为1，则BC= ；
(2)①在图1、图2中分别画一个格点三角形(顶点是格点的三角形)，使它们都与△ABC相似(但不全等)，且图1，2中所画三角形也不全等)．
②在图3中只用直尺(没有刻度)画出△ABC的重心M．(保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M)
26．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【详解】解：几何体
的俯视图为
，
故选C
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，难度不大．
2、A
【分析】移项后变成求二次函数y=-x2+2的最小值，再根据二次函数的图像性质进行答题．
【详解】解：∵x2+y=2，
∴y=-x2+2．
∴该抛物线的开口方向向下，且其顶点坐标是（0，2）．
∵2≤x≤2，
∴离对称轴越远的点所对应的函数值越小，
∴当x=2时，y有最小值为-4+2=-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最值有常见的两种方法，第一种是配方法，第二种是直接套用顶点的纵坐标求，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
3、B
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选B．
4、C
【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5、D
【分析】直接利用概率公式进行求解，即可得到答案．
【详解】解：∵共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．
∴1张抽奖券中奖的概率是：＝0.6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
6、B
【分析】由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得OB的长．
【详解】解：四边形ABCD是矩形
，，
,
，且，
，
在中，
点O是斜边AC上的中点，
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．
7、B
【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8、B
【解析】由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
【详解】解：设AD=x，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴BC=x，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴CP=x，BP=x
∵E为DC的中点，
∴CE=CD=x，
∴tan∠CEP==，tan∠EBC==
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴＝PB·EF，故②正确
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2x
∴PF·EF=x·2x=8x2
2AD2=2×（x）2=6x2，
∴PF·EF≠2AD2，故③错误.
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=x
∵tan∠PAB==
∴∠PAB=30°
∴∠APB=60°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=x，PO=x
∴4AO·PO=4×x·x=4x2
又EF·EP=2x·x=4x2
∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．
故选，B
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
9、C
【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．
【详解】∵
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)，
故②不正确，①③正确，
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选:C.
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.
10、A
【分析】根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解．
【详解】解：∵圆内接正多边形的内角是，
∴该正多边形每个外角的度数为，
∴该正多边形的边数为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆与正多边形，掌握多边形外角和为360°是解题的关键．
11、D
【解析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
12、B
【解析】试题解析：∵2x=5y，
∴．
故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】根据分式的性质即可解答.
【详解】∵=1+=,
∴=
∴=
【点睛】
此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.
14、26°
【分析】连接OC，利用切线的性质可求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理可得出答案．
【详解】解：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点D，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=38°，
∴∠COD=52°，
∴∠E=∠COD =26°，
故答案为：26°．
【点睛】
此题考查切线的性质以及圆周角定理，关键是通过连接半径构造直角三角形求出∠COD的度数．
15、．
【解析】试题分析：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换
16、25%
【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】设每次降价的百分比为x，
，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合题意舍去）
故答案为：25%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1x）2=后量，即可解答此类问题.
17、
【分析】在Rt△OBC中求出OB的长，再根据菱形的性质求出AC、BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，
∵，，
∴BC=4cm，
∴OB=cm，
∴AC=4cm，BD=cm，
∴菱形ABCD的面积是： cm2.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.也考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用.
18、
【分析】延长交于点，设于点，通过解直角三角形可求出、的长度,再利用即可求出结论．
【详解】延长交于点，设于点，如图所示，
在中，，，
．
在中，，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用．通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）PA的长为，⊙O的半径为；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或或
【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．
【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，
∴HP＝BP﹣BH＝1，
∴在Rt△AHP中，
AP＝＝，
∵AB是直径，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，
∴AM＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
即PA的长为，⊙O的半径为；
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，
∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴＝，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，
∴＝，
∴EF＝，
在Rt△BFE中，
BE＝＝＝，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r＝；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，
在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，
∴PQ＝DN＝2，
设QE＝x，则PE＝2﹣x，
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，
∴AE＝2QE＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝10﹣x，
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，
解得，x1＝6（舍），x2＝，
∴AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为2或或．
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
20、（1），；（2）或3或4或12；（3）存在，，，最小值
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求点D坐标，再求点C坐标，然后分类讨论即可；
（3）通过做对称点将折线转化成两点间距离，用两点之间线段最短来解答即可.
【详解】解：（1）把代入，
得
解得，
∴抛物线解析式为，
∵过点B的直线，
∴把代入，解得，
∴直线解析式为
（2）联立，解得或，所以，
直线：与轴交于点，则，
根据题意可知线段，则点
则，，
因为为直角二角形
①若，则，
化简得：，或
②若，则，
化简得
③若，则，
化简得
综上所述，或3或4或12，满足条件
（3）在抛物线上取点的对称点，过点作于点，交抛物线对称轴于点，过点作于点，此时最小
抛物线的对称轴为直线，则的对称点为，
直线的解析式为
因为，设直线：，
将代入得，则直线：，
联立，解得，则，
联立，解得，则，
【点睛】
本题是一代代数综合题，考查了一次函数、二次函数和动点问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.
21、（1）2；（2）90π
【分析】（1）分别利用零次幂、乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数计算各项，最后作加减法；
（2）根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出表面积．
【详解】解：（1）原式=1+（-1）+3-1=2；
（2）由三视图可知：圆锥的高为12，底面圆的直径为10，
∴圆锥的母线为：13，
∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π，
底面圆的面积为：πr2=25π，
∴该几何体的表面积为90π．
故答案为：90π．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算和圆锥侧面积公式，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
22、（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙．
【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质可得AM=AN，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，∵，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，
∴CD•AM=BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF是∠DFE的平分线，
∴∠DFA=∠AFE．
∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，
∴∠DFB=∠DAG=60°，
∴∠GFE=120°，
∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．
∵∠DFB=60°，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，
∴∠K=∠DFA=60°．
∵∠ADB=60°，
∴∠KDB=∠FDA．
在△DBK和△DAF中，
∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，
∴△DBK≌△DAF，
∴BK=AF．
∵DF=DK=FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF，
∴CD=AF+BF+CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
24、（1）正确，理由见解析；（2）当a＝5时，S矩形MNPQ最大为25；（3）矩形的最大面积为1．
【分析】(1)设BF=x，则AF=12﹣x，证明△AFE∽△ABC，进而表示出EF，利用面积公式得出S矩形BDEF=﹣(x﹣6)2+24，即可得出结论；
(2)设DE=a，AE=10﹣a，则证明△APN∽△ABC，进而得出PN=10﹣a，利用面积公式S矩形MNPQ=﹣(a﹣5)2+25，即可得出结果；
(3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，由矩形性质知AE=EH=10、CD=DH=8，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=8、CG=HE=10，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用(1)的结论解答即可．
【详解】(1)正确；理由：
设BF=x(0＜x＜12)，
∵AB=12，
∴AF=12﹣x，
过点F作FE∥BC交AC于E，过点E作ED∥AB交BC于D，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴▱BDEF是矩形，
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴=，
∴，
∴EF=(12﹣x)，
∴S矩形BDEF=EF•BF=(12﹣x)•x=﹣(x﹣6)2+24
∴当x=6时，S矩形BDEF最大=24，
∴BF=6，AF=6，
∴AF=BF，
∴当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大；
(2)设DE=a，(0＜a＜10)，
∵AD=10，
∴AE=10﹣a，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴PQ=DE=a，PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PN=10﹣a，
∴S矩形MNPQ=PN•PQ=(10﹣a)•a=﹣(a﹣5)2+25，
∴当a=5时，S矩形MNPQ最大为25；
(3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，如图③所示：
∵∠A=∠HAB=∠BCH=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∵AB=16，BC=20，AE=10，CD=8，
∴EH=10、DH=8，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，，
∴△AEF≌△HED(ASA)，
∴AF=DH=8，
∴BF=AB+AF=16+8=24，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=10，
∴BG=BC+CG=20+10=30，
∴BI=BF=12，
∵BI=12＜16，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
∴IK=BG=15，
由(1)知矩形的最大面积为BI•IK=12×15=1．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与相似三角形的判定是解题的关键．
25、 (1)；(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据勾股定理，计算BC即可；
（2）①根据图形，令∠B′A′C′=∠BAC，且使得△A′B′C′与△ABC相似比为作出图（1）即可；令∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC相似比为2作出图（2）即可；
②根据格点图形的特征，以及中点的定义，连接格点如图所示，则交点M即为所求．
【详解】解：(1)BC==；
故答案为：；
(2)①如图1，2所示：∠B′A′C′=∠BAC，△A′B′C′与△ABC相似比为，∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC相似比为2即为所求作图形；
②如图3所示：利用格点图形的特征，中点的定义，作出点M即为所求．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，格点图中作相似三角形，中点的定义，格点图形的特征，掌握格点图形的特征是解题的关键．
26、AC=6米；CD=5.2米.
【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．
【详解】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠EBA＝90°，
∵∠E＝30°，
∴AB＝AE＝8米，
∵BC＝2米，
∴AC＝AB﹣BC＝6米，
∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°，
∴CD＝AC×cs∠DCA＝6×≈5.2(米)．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系.
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9