2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期开学摸底考试数学试题A卷（解析版）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期开学摸底考试数学试题A卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.
【详解】因为，所以，，
所以切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，
故选：D.
2．已知等比数列和等差数列，满足，则（ ）
A．B．1C．4D．6
【答案】D
【分析】设等比数列的公比和等差数列的公差分别为，列方程组求得得通项公式，从而可计算出结果．
【详解】设等比数列的公比和等差数列的公差分别为.
因为，所以.
由题意得，
又，解得，
所以，
所以，
故选：D.
3．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
故选：D
4．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
5．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
6．在展开式中的系数为24，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，根据题意可得，代入通项后可得出关于的等式，即可求解
【详解】的展开式为，
由题意得，故的系数为，解得，
故选：D.
7．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
8．已知定义在上的偶函数满足，且当，，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、单调性和周期性来求解即可.
【详解】由，知是周期函数，且周期为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
易知在内单调递增，
所以.
故选：A．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】AC
【分析】由向量模、向量垂直、数量积的坐标表示求得相应的参数值，然后计算判断ABD，利用共线向量定理判断C．
【详解】由得，解得，故A选项正确；
由得，解得，故B选项错误；
若存在实数，使得，则，，，显然无解，
即不存在实数使得，故C选项正确；
若，则，解得，于是，故D选项错误.
故选：AC．
10．设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
【答案】ABD
【分析】由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：由，得，
，即，
又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故正确；
当时，，
，数列的最大项为，故错误，正确．
故选：．
11．已知有且仅有两个极值点，分别为，，则下列不等式中正确的有（参考数据，）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】有且仅有两个极值点，则有两个变号零点，对于AB，利用零点存在性定理可分别得，范围，可判断选项正误；对于CD，结合AB选项分析，在上单调递增，可得，由，可得，后可得.
【详解】对于AB选项，由题意得有两个变号零点，
令，则，
得在上单调递减，在上单调递增，
则.
又，，，则，
注意到，，，
，从而，所以，故A正确，B错误；
对于CD选项，由AB选项分析可知，当时，，得在上单调递增，
又，则，
因，，结合AB选项分析可知，
因为，所以，
设，得在上单调递减，
则，又，
则，所以，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题涉及用导数及零点存在性定理研究函数的极值点，为双变量问题，难度较大.对于本题选项的判断，由整体角度去解决较难得到与选项相符的数值，故分别去求的范围.
12．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且AF＝3BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠CFD＝90°B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为D．的面积为4
【答案】AC
【分析】对于A、B，结合抛物线定义可得；
对于C、D，由直线与抛物线联立结合韦达定理及三角形面积公式可得.
【详解】如图，过点M向准线l作垂线，垂足为N，设，．
对于A，因为AF＝AC，所以∠AFC＝∠ACF，又因为∠OFC＝∠ACF，
所以∠OFC＝∠AFC，所以FC平分∠OFA，同理可知FD平分∠OFB，所以∠CFD＝90°，故A正确；
对于B，假设△CMD为等腰直角三角形，则∠CFD＝∠CMD＝90°，
则C，D，F，M四点共圆且圆的半径为，又因为AF＝3BF，
所以AB＝AF＋BF＝AC＋BD＝2MN＝4BF，所以MN＝2BF，
所以CD＝2MN＝4BF，所以CD＝AB，显然不成立，故B错误；
对于C，设直线AB的方程为x＝my＋1，联立，所以，
所以，又因为AF＝3BF，所以，所以，
所以，所以，所以直线AB的斜率为，故C正确；
对于D，不妨取，则，所以，
所以，故D错误．

故选：AC
三、填空题
13．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上､中､下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________.
【答案】3402
【分析】把各环石板数用数列表示，上层第一环石板数记为，可得三层共27项，数列是等差数列，公差和首项都是9，求得其前27项和即得．
【详解】从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项．
所以和为．
故答案为：3402．
14．“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于5月1日至5月4日值班，一人一天，甲的值班只能安排在5月1日或5月4日且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有______种．
【答案】8
【分析】根据甲有特殊要求，所以通过分类讨论先安排甲，由甲乙不相邻再安排乙，再安排剩余两人即可．
【详解】若甲在5月1日值班，则乙只能在，5月3日或5月4日两天值班一天，剩余两人任意安排
此时有
若甲在5月4日值班，则乙只能在5月1日或5月4日值班一天
此时有
则共有 种排法
故答案为8
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，注意特殊元素优先安排，属于基础题．
15．已知函数的极小值为a，则a的值为______.
【答案】e
【分析】求函数导数，分类求函数的单调区间求出函数极小值，根据极小值为a求解.
【详解】，
若，则当时，，单调递增，
此时不存在极值，不符合题意，
所以，易知在上单调递增，且当时，，
当时，，所以存在唯一的，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值，
因为，
所以，即，
设，因为，
所以在上单调递减，又，
所以，从而.
故答案为：
16．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0