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福建省厦门市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份福建省厦门市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附答案），文件包含数学答案pdf、数学docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
满分: 150 分 考试时间: 120 分钟
考生注意:
1. 答题前, 考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 若 1-iz=1+3i ,则 z=
A. 2+i B. 2+2i C. 1+2i D. -1+2i
2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况, 用比例分配的分层随机抽样方法抽取 50 人作为样本, 其中男生 20 人. 已知该校高一年级女生 240 人, 则高一年级学生总数为
A. 600 B. 480 C. 400 D. 360
3. 在梯形 ABCD 中, AB//CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2 ,以 AD 所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为
A. 5π3 B. 7π3 C. 5π D. 7π
4. 甲、乙两人参加某项活动, 甲获奖的概率为 0.5 , 乙获奖的概率为 0.4 , 甲、乙两人同时获奖的概率为 0.2 , 则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9
5. 如图,甲在 M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东 15∘ 方向,顶部 P 的仰角为 30∘ ,往正东方向前进 150 m 到达 N 处,测得该建筑物在北偏西 45∘ 方向. 底部 Q 和 M,N 在同一水平面内,则该建筑物的高 PQ 为
第5题 图
A. 502 m B. 503 m C. 1502 m D. 1506 m
6. 已知 α,β,γ 是三个不重合的平面, α∩β=m,α∩γ=n ,则
A. 若 m//n ,则 β//γ B. 若 m⊥n ,则 β⊥γ
C. 若 α⊥β,α⊥γ ,则 m//n D. 若 α⊥γ,β⊥γ ,则 m⊥n
7. 若 z=z-3=z-i ,则 z=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8. 向量 e1,e2,a 满足 e1⋅e2=0,e1=e2=1,a-e1,a-e2=π3 ,则 a 的最大值为
A. 2 B. 2+62 C. 2+62 D. 6
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某学校开展消防安全知识培训, 对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试, 绘制测试成绩的频率分布直方图, 如图所示:
甲班 乙班
A. 甲班成绩的平均数 < 甲班成绩的中位数
B. 乙班成绩的平均数 < 乙班成绩的中位数
C. 甲班成绩的平均数 < 乙班成绩的平均数
B 乙班成绩的中位数 < 甲班成绩的中位数
10. 在梯形 ABCD 中, AD=2BC,AD=2AB,AN=2ND ,则
A. DC=AB-12AD B. AB⋅BD=0
C. AC⋅CD=0 D AN 在 AC 上的投影向量为 23AC
11. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=1,AA1=2 ,动点 P 满足 BP=λBC+μBB1 λ,μ∈0,1 ,则
A. 当 λ=0 时, AC⊥DP
B. 当 λ=1 时, AC 与 DP 是异面直线
C. 当 μ=1 时,三棱锥 P-ABB1 的外接球体积的最大值为 4π3
D. 当 μ=12 时,存在点 P ,使得 DP⊥ 平面 ACD1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 向量 a=2,-4,b=-1,x ,若 a//b ,则 x= .
13. 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形, ∠PDA=45∘ ,则直线 PB 与 AC 所成角的大小为 .
14. 在 △ABC 中, AB=2AC,D 为边 BC 的中点, ∠A 的平分线交 BC 于点 E ,若 △ADE 的面积为 , 则 △ABC 的面积为 △DE , DE 的最小值为 . (第一空 2 分,第二空 3 分)
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性, 对生产线进行升级改造. 为了分析升级改造的效果, 随机抽取了 12 台车载激光雷达进行检测, 检测结果如下:
统计后得到样本平均数 x=150 ,方差 s2=9,x3,x4,x5∈147,153 .
(1) 升级改造后,若有 65% 的产品的探测距离在 x-s,x+s 内,则认为升级改造成功; 若改造成功且有 95% 的产品的探测距离在 x-2s,x+2s 内,则认为升级改造效果显著.
根据样本数据, 分析此次升级改造的效果;
(2) 采用在 x-2s,x+2s 内的数据作为新样本,求新样本的平均数 x' 和方差 s'2 .
16. (15 分)
甲每次投篮投进的概率是 0.7 . 连续投篮三次,每次投篮结果互不影响. 记事件 A 为 “甲至少投讲两球”
(1) 用 xii=1,2,3 表示甲第 i 次的投篮结果,则 x1,x2,x3 表示试验的样本点. 用 1 表示 “投进”, 0 表示“未投进”, 写出该试验的样本空间, 判断其是否为古典概型, 并说明理由;
(2) 用计算机产生 0∼9 之间的整数随机数,当出现随机数 0∼6 时,表示 “投进”,出现 7,8,9 时表示“未投进”. 以每 3 个随机数为一组, 代表甲三次投篮结果, 产生 20 组随机数: 062 049 228 933 11774 732 783 078 276 91'349114494995396、211016、365140
利用该模拟试验,估计事件 A 的概率,并判断事件 A 的概率的精确值与估计值是否存在差异, 并说明理由.
17. (15 分)
已知 a,b,c 分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 asinC+3acsC=3b .
(1) 求 A ;
(2) 已知 a=3 ,点 O 为 △ABC 的垂心,求 △BOC 的周长的最大值.
18. (17 分)
在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥ 平面 ABC,CA⊥CB,CA=CB=2CC1=4,E,F 分别为 AC,A1B1 的中点.
(1) 求证: A1E// 平面 BCF ;
(2) 若二面角 A-BC-C1 的大小为 2π3 ,求证: BF 与 AC1 不垂直;
(3) 若 cs∠A1AB∈0,24 ,求 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值的取值范围.
19. (17 分)
已知点 O 为坐标原点,将向量 OA 绕 O 逆时针旋转角 α 后得到向量 OB .
(1) 若 OA=2,2,α=π6 ,求 OB 的坐标;
(2) 若 OA=a,b ,求 OB 的坐标 (用 a,b,α 表示);
(3) 若点 M,N 在抛物线 y=x2-tt∈R 上,且 △OMN 为等边三角形,讨论 △OMN 的个数.序号 i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
探测距离 xi (单位:m)
146
151
x3
x4
x5
152
149
153
150
144
150
156
满分: 150 分 考试时间: 120 分钟
考生注意:
1. 答题前, 考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 若 1-iz=1+3i ,则 z=
A. 2+i B. 2+2i C. 1+2i D. -1+2i
2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况, 用比例分配的分层随机抽样方法抽取 50 人作为样本, 其中男生 20 人. 已知该校高一年级女生 240 人, 则高一年级学生总数为
A. 600 B. 480 C. 400 D. 360
3. 在梯形 ABCD 中, AB//CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2 ,以 AD 所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为
A. 5π3 B. 7π3 C. 5π D. 7π
4. 甲、乙两人参加某项活动, 甲获奖的概率为 0.5 , 乙获奖的概率为 0.4 , 甲、乙两人同时获奖的概率为 0.2 , 则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9
5. 如图,甲在 M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东 15∘ 方向,顶部 P 的仰角为 30∘ ,往正东方向前进 150 m 到达 N 处,测得该建筑物在北偏西 45∘ 方向. 底部 Q 和 M,N 在同一水平面内,则该建筑物的高 PQ 为
第5题 图
A. 502 m B. 503 m C. 1502 m D. 1506 m
6. 已知 α,β,γ 是三个不重合的平面, α∩β=m,α∩γ=n ,则
A. 若 m//n ,则 β//γ B. 若 m⊥n ,则 β⊥γ
C. 若 α⊥β,α⊥γ ,则 m//n D. 若 α⊥γ,β⊥γ ,则 m⊥n
7. 若 z=z-3=z-i ,则 z=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8. 向量 e1,e2,a 满足 e1⋅e2=0,e1=e2=1,a-e1,a-e2=π3 ,则 a 的最大值为
A. 2 B. 2+62 C. 2+62 D. 6
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某学校开展消防安全知识培训, 对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试, 绘制测试成绩的频率分布直方图, 如图所示:
甲班 乙班
A. 甲班成绩的平均数 < 甲班成绩的中位数
B. 乙班成绩的平均数 < 乙班成绩的中位数
C. 甲班成绩的平均数 < 乙班成绩的平均数
B 乙班成绩的中位数 < 甲班成绩的中位数
10. 在梯形 ABCD 中, AD=2BC,AD=2AB,AN=2ND ,则
A. DC=AB-12AD B. AB⋅BD=0
C. AC⋅CD=0 D AN 在 AC 上的投影向量为 23AC
11. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=1,AA1=2 ,动点 P 满足 BP=λBC+μBB1 λ,μ∈0,1 ,则
A. 当 λ=0 时, AC⊥DP
B. 当 λ=1 时, AC 与 DP 是异面直线
C. 当 μ=1 时,三棱锥 P-ABB1 的外接球体积的最大值为 4π3
D. 当 μ=12 时,存在点 P ,使得 DP⊥ 平面 ACD1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 向量 a=2,-4,b=-1,x ,若 a//b ,则 x= .
13. 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形, ∠PDA=45∘ ,则直线 PB 与 AC 所成角的大小为 .
14. 在 △ABC 中, AB=2AC,D 为边 BC 的中点, ∠A 的平分线交 BC 于点 E ,若 △ADE 的面积为 , 则 △ABC 的面积为 △DE , DE 的最小值为 . (第一空 2 分,第二空 3 分)
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性, 对生产线进行升级改造. 为了分析升级改造的效果, 随机抽取了 12 台车载激光雷达进行检测, 检测结果如下:
统计后得到样本平均数 x=150 ,方差 s2=9,x3,x4,x5∈147,153 .
(1) 升级改造后,若有 65% 的产品的探测距离在 x-s,x+s 内,则认为升级改造成功; 若改造成功且有 95% 的产品的探测距离在 x-2s,x+2s 内,则认为升级改造效果显著.
根据样本数据, 分析此次升级改造的效果;
(2) 采用在 x-2s,x+2s 内的数据作为新样本,求新样本的平均数 x' 和方差 s'2 .
16. (15 分)
甲每次投篮投进的概率是 0.7 . 连续投篮三次,每次投篮结果互不影响. 记事件 A 为 “甲至少投讲两球”
(1) 用 xii=1,2,3 表示甲第 i 次的投篮结果,则 x1,x2,x3 表示试验的样本点. 用 1 表示 “投进”, 0 表示“未投进”, 写出该试验的样本空间, 判断其是否为古典概型, 并说明理由;
(2) 用计算机产生 0∼9 之间的整数随机数,当出现随机数 0∼6 时,表示 “投进”,出现 7,8,9 时表示“未投进”. 以每 3 个随机数为一组, 代表甲三次投篮结果, 产生 20 组随机数: 062 049 228 933 11774 732 783 078 276 91'349114494995396、211016、365140
利用该模拟试验,估计事件 A 的概率,并判断事件 A 的概率的精确值与估计值是否存在差异, 并说明理由.
17. (15 分)
已知 a,b,c 分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 asinC+3acsC=3b .
(1) 求 A ;
(2) 已知 a=3 ,点 O 为 △ABC 的垂心,求 △BOC 的周长的最大值.
18. (17 分)
在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥ 平面 ABC,CA⊥CB,CA=CB=2CC1=4,E,F 分别为 AC,A1B1 的中点.
(1) 求证: A1E// 平面 BCF ;
(2) 若二面角 A-BC-C1 的大小为 2π3 ,求证: BF 与 AC1 不垂直;
(3) 若 cs∠A1AB∈0,24 ,求 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值的取值范围.
19. (17 分)
已知点 O 为坐标原点,将向量 OA 绕 O 逆时针旋转角 α 后得到向量 OB .
(1) 若 OA=2,2,α=π6 ,求 OB 的坐标;
(2) 若 OA=a,b ,求 OB 的坐标 (用 a,b,α 表示);
(3) 若点 M,N 在抛物线 y=x2-tt∈R 上,且 △OMN 为等边三角形,讨论 △OMN 的个数.序号 i
1
2
3
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10
11
12
探测距离 xi (单位:m)
146
151
x3
x4
x5
152
149
153
150
144
150
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