2025年高考物理二轮复习第二章　相互作用 专题强化三　动态平衡　平衡中的临界与极值问题课件+讲义（教师+学生）+跟踪练习

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1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。
考点二　平衡中的临界与极值问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。2.做题流程
1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1 如图1，OABC为常见的“汽车千斤顶”。当汽车需要换轮胎时，司机将它放在车身底盘和地面之间，只需摇动手柄使螺旋杆OA转动，O、A之间的距离就会逐渐减小，O、C之间的距离增大，就能将汽车车身缓缓地顶起来。在千斤顶将汽车顶起来的过程中，下列关于OA、OB的弹力的说法正确的是(　　)A.OA、OB的弹力不断变大B.OA、OB的弹力不断变小C.OA的弹力变大、OB的弹力变小D.OA的弹力变小、OB的弹力变大
1.(2024·河南三门峡模拟)如图2所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，悬吊一个质量为M的小球B，今用一水平力F缓慢地拉起B，A仍保持静止不动，设圆环A受到的支持力为FN，静摩擦力为f，此过程中(　　)A.FN增大，f减小B.FN不变，f减小C.FN不变，f增大D.FN增大，f增大
解析　将A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得FN＝(M＋m)g，可知FN不变，f＝F；隔离B，受力分析如图乙所示，由平衡条件知F＝Mgtan θ，水平力F缓慢地拉起B的过程中，θ增大，外力F逐渐增大，所以f增大，故C正确。
甲　　　　　　　　　乙
用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
例2 (2024·湖南岳阳联考)如图3所示，倾角为θ＝30°、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重为G的小球在弹簧测力计的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，直到弹簧测力计的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是(　　)A.力F先变大后变小B.地面对斜面体的支持力一直变大C.地面对斜面体的摩擦力一直变小D.斜面体对小球的支持力一直变大
解析　根据题意，作出小球受力的矢量三角形，如图所示，从图中可看出力F先减小再增大，斜面体对球的支持力一直减小，故A、D错误；设斜面体的质量为m，对整体分析，竖直方向上有FN＝(mg＋G)－Fy，水平方向上有f＝Fx，现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，则Fy一直增大，Fx一直减小，则FN一直减小，f一直减小，故B错误，C正确。
物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
例3 如图5所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)A.F不变，FN增大B.F不变，FN减小C.F减小，FN不变D.F增大，FN减小
1.矢量圆：如图6所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
方法　　矢量圆法(正弦定理法)
例4 (2024·重庆南开中学期中)某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图8所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是(　　)A.右手对铅球的弹力增大B.右手对铅球的弹力先增大后减小C.左手对铅球的弹力增大D.左手对铅球的弹力先增大后减小
解析　法一　矢量圆法以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力为F1和左手对铅球的弹力为F2，受力分析如图所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，则两力之间的夹角保持120°不变，则在三角形中，F1与F2夹角保持60°不变，重力G的大小方向不变，作出力三角形的外接圆，根据弦所对的圆周角都相等，则右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中力的三角形变化如图所示，分析可得F1开始小于直径，当转过30°时F1等于直径，再转时又小于直径，所以F1先增大后减小，F2开始就小于直径，转动过程中一直减小，选项B正确。
1.临界、极值问题特征(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。③刚好离开接触面，支持力FN＝0。(2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2.解决极值和临界问题的三种方法
例5 (2024·广东阳江高三月考)如图9所示，两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根轻质细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两球。在水平外力F的作用下，小球A、B均处于静止，三根细线均处于拉直状态，其中OA细线位于竖直方向。现保持小球B的位置不变，将外力F逆时针缓慢旋转90°角，已知重力加速度为g，则下列关于此过程的分析正确的是(　　)
3.小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图10所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为(　　)
对点练1　动态平衡问题1.(2024·天津和平模拟)如图1，一救援人员沿竖直陡峭光滑岩壁缓慢向下运动的过程中，设人对绳的拉力为FT，人对岩壁的压力为FN，若手和岩壁距离不变，绳与岩壁的夹角变小，下列说法正确的是(　　)A.FT、FN均减小 B.FT、FN均增大C.FT增大，FN减小 D.FT减小，FN增大
2.(2024·广东佛山模拟)如图2所示，某同学将一橡皮擦轻放在塑料尺的一端，并将该端伸出桌面边缘，塑料尺缓慢向外移动，弯曲程度变大，橡皮擦相对塑料尺始终保持静止，则在此过程中橡皮擦对尺子的(　　)A.压力增大B.压力减小C.摩擦力不变D.摩擦力减小
解析　将橡皮擦所在位置等效为沿塑料尺切线方向的一个斜面，斜面倾角为θ，对橡皮擦进行分析，如图所示，则有f＝mgsin θ，FN＝mgcs θ，根据牛顿第三定律有f′＝f，FN′＝FN，在橡皮擦离桌边越来越远，塑料尺也越来越弯曲的过程中，等效斜面倾角θ逐渐增大，可知f′增大，FN′减小，即橡皮擦对尺子的压力减小，橡皮擦对尺子的摩擦力增大，故B正确。
3.(2023·北京海淀模拟)如图3所示，足够长的斜面固定在水平地面上，斜面上有一光滑小球，跨过滑轮的细线一端系住小球，另一端系在竖直弹簧的上端，弹簧的下端固定在地面上，手持滑轮，系统处于平衡状态。若滑轮在手的控制下缓慢向下移动，直到拉着小球的细线与斜面平行，则这一过程中(　　)A.弹簧弹力先减小后增大B.弹簧弹力不变C.斜面对小球支持力逐渐减小D.斜面对小球支持力逐渐增大
解析　小球在重力G、斜面对其的支持力FN和细线上的张力FT三力的作用下保持动态平衡，故三个力可以构成一个封闭的矢量三角形如图所示。在缓慢移动过程中，FN逐渐增大，FT只能变化到与FN垂直，故FT是逐渐变小的，因弹簧弹力大小等于FT，则弹簧弹力逐渐减小，故D正确，A、B、C错误。
4.轻杆BO的O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图4所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是(　　)A.FN先减小后增大B.FN一直减小C.F先减小后增大D.F一直减小
5.(多选)如图5所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)A.F1在逐渐增大B.F2先增大再减小C.F1与F2的水平分量大小相等D.F1与F2的竖直分量大小相等
解析　小球始终保持静止，所受合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误；F1与F2的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。
对点练2　平衡中的临界与极值问题6.(多选)(2024·广东潮州市模拟)如图6所示，某运动员拖动汽车轮胎进行体能训练，受训者通过绳子对静止在水平地面上的轮胎施加作用力F，F斜向上并与水平方向成37°，大小由零逐渐增大。已知轮胎质量为26 kg，与地面间的动摩擦因数为0.4，且轮胎受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为10 m/s2，sin 37°＝0.6。则(　　)A.轮胎与地面间的摩擦力逐渐减小B.轮胎与地面间的摩擦力先逐渐增大后逐渐减小C.轮胎与地面间的摩擦力的最大值为80 ND.轮胎与地面间的摩擦力的最大值为104 N
解析　当力F较小时，轮胎处于静止状态，此时轮胎与地面间的静摩擦力大小为f＝Fcs 37°，摩擦力随F增大而增大；当力F较大时，轮胎做加速运动，此时轮胎与地面间的滑动摩擦力的大小为f′＝μ(mg－Fsin 37°)，摩擦力随F增大而减小，因此，轮胎与地面间的摩擦力先逐渐增大后逐渐减小，A错误，B正确；当轮胎刚要滑动时，轮胎与地面间的静摩擦力最大，此时，对轮胎，由平衡条件得Fcs 37°＝fm＝μ(mg－Fsin 37°)，解得最大静摩擦力fm＝80 N，C正确，D错误。
7.(2024·辽宁沈阳模拟)如图7所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　)
图7A.0B.90°C.60°D.45°
解析　根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知β＝α＝60°，故C正确。
B级　综合提升练8.(多选)如图8所示，重力大小为G的物体A静止在倾角θ＝37°的固定斜面上，现用水平力推A，在水平力由零逐渐增加至G再逐渐减为零的过程中，物体A始终保持静止。取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。在水平力变化的过程中，下列说法正确的是(　　)A.A对斜面的压力的最大值为1.4GB.A对斜面的压力的最小值为零C.A所受摩擦力的最大值为0.2GD.A所受摩擦力的最小值为零
解析　垂直斜面方向，由FN＝Gcs 37°＋Fsin 37°知，在水平力增加至G时，A对斜面的压力最大，最大值为FN1＝Gcs 37°＋Gsin 37°＝1.4G，A正确；在水平力为零时，A对斜面的压力最小，最小值为FN2＝Gcs 37°＝0.8G，B错误；平行斜面方向，由Gsin 37°＝Fcs 37°±f知，在水平力为零时，A所受摩擦力方向沿斜面向上，大小为f1＝Gsin 37°＝0.6G，在水平力为G时，A所受摩擦力方向沿斜面向下，大小为f2＝Gcs 37°－Gsin 37°＝0.2G，可知A所受摩擦力的最大值为0.6G，C错误；根据上述，当水平推力沿斜面向上的分力与重力沿斜面向下的分力大小相等时，A相对斜面没有运动趋势，此时A所受摩擦力的最小值为零，D正确。
9.(2023·广西桂林模拟)如图9所示，轻质弹簧一端固定在水平墙上，另一端与一小球相连，在小球上再施加一个拉力F使小球处于静止状态，弹簧与竖直方向夹角为α，拉力F与竖直方向夹角为β，且α＋β<90°；现保持拉力F大小不变，方向缓慢转至水平，则下列说法正确的是(　　)A.α先增大后减小B.α一直减小C.弹簧的弹力先减小后增大D.弹簧的弹力先增大后减小
解析　根据题意，对小球受力分析，如图所示，保持拉力F大小不变，方向缓慢转至水平过程中，由矢量三角形可知，弹簧弹力逐渐增大，α先增大后减小，故A正确。
10.如图10所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　)
11.(多选)如图11所示，倾角θ＝30°的斜坡上放有一质量为m＝3 kg的物体，给物体一沿斜坡向下的速度，物体刚好沿斜坡匀速下滑。现用轻绳拴接物体，一位同学站在斜坡的一定高度处用力拉物体沿斜坡缓慢上滑，已知拉动过程中该同学对轻绳的作用点到斜坡的距离不变，物体沿斜坡上滑，且轻绳与斜坡间的夹角为α时，外力最小值为Fmin，此时物体所受的摩擦力大小为f，物体对斜坡的压力大小为FN，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
C级　培优加强练12.(2023·江西省上饶市六校联考)如图12甲所示为自动采棉机，自动采棉机在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，这个过程可以简化为如图乙所示模型。质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕O轴在竖直面内转动。在使OB板由水平位置顺时针缓慢转动60°过程中，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)