(2024年高考数学新题型德州二模)山东省德州市2024年高考第二次适应性练习数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−i)z=3+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξ>4)=0.2，则P(2<ξ<3)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线x=−2的距离为4，则p的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
4.已知p:1<2x<4,q:x2−ax−1<0，若p是q的充分不必要条件，则( )
A. a≥32B. 02D. 05.(1+x−1y)8展开式中x2y−2的系数为( )
A. −840B. −420C. 420D. 840
6.将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象，若x=−11π6为g(x)图象的一条对称轴，则φ的最小值为( )
A. π12B. 5π12C. 7π12D. 2π3
7.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60∘，AB=3AF,BE=EC，AE，CF交于点D，则|CD|=( )
A. 33B. 32C. 3 34D. 3
8.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ(4)=2.已知bn=3φ(3n+1),n∈N*,Tn是数列{bn}的前n项和，若TnA. 34B. 1C. 76D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sinx⋅|csx|，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)的最小值为−12D. f(x)在[0,π2]上单调递增
10.已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，过其右焦点F的直线l与Γ交于点A，B，下列结论正确的是( )
A. 若a=b，则e= 2
B. |AB|的最小值为2a
C. 若满足|AB|=2a的直线l恰有一条，则e> 2
D. 若满足|AB|=2a的直线l恰有三条，则111.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,AB⊥BC，P,Q分别为棱BC,A1C1上的动点，且BP=λBC,C1Q=λC1A1,λ∈(0,1)，则( )
A. 存在λ使得PQ⊥A1B
B. 存在λ使得PQ//平面ABB1A1
C. 若BB1,B1C1 的长度为定值，则λ=12时三棱锥B−A1PQ 的体积最大
D. 当λ=12时，直线PQ与A1B所成角的余弦值的最小值为2 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={0,1,2,3},B={a,a2−1}，若A∪B=A，则实数a的值为__________
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2(a2+b2−c2)=absinC，且c=1，则△ABC面积的最大值为__________
14.当x∈[0,π2]时，eax+asinx−xcsx−1≥0，则实数a的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知{an}是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)设bn{2an,n为奇数1anan+2,n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n.
16.(本小题15分)
ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民
(i)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
(ii)按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PB=PC，N为PC的中点，M为△ABC内部一点且PM⊥平面ABC.
(1)证明：MN//平面PAB:
(2)若AB=2BC=2PB=4，PM=1，求二面角B−MN−P的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=mx−lnx,x∈(1,+∞).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若e(m−1)x+1⋅f(x)≥x2−x恒成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>0)的右焦点为F(1,0)，过点F且垂直于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，Γ在A，B两点处的切线交于点Q.
(1)求证：点Q在定直线上，并求出该直线方程：
(2)设点M为直线OQ上一点，且AB⊥AM，求|AM|的最小值.