第22讲 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
知识点1 双曲线的几何性质
注：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式eq \f(x2,a2)≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝eq \f(b,a)eq \r(x2－a2)，它与y＝eq \f(b,a)x的位置关系：在y＝eq \f(b,a)x的下方．
它与y＝eq \f(b,a)x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.
5．离心率
(1)定义：e＝eq \f(c,a).
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，说明越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).
(3)等轴双曲线的方程，；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x