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第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）
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这是一份第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版），文件包含第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类教师版-新高二暑假衔接人教版docx、第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类学生版-新高二暑假衔接人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up7(――→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行
③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换
知识点3 斜率与倾斜角的联系
1、求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
4、斜率与倾斜角的关系
（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
考点一：求直线的倾斜角
例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用直线倾斜角的定义得解.
【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．
故选：B．
变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．
【答案】
【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，
所以，，故．
故答案为：.
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．150°
【答案】D
【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.
【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．
故选：D
变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.
【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；
当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.
故选：BC.
变式6．（2023·高二课时练习）直线与直线的夹角为______．
【答案】
【分析】分析两条直线的倾斜角，即可得夹角大小.
【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
所以两条直线的夹角为.
故答案为：.
考点二：求直线的斜率
例2．（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．
（3）∵，
∴直线的斜率不存在．
变式2．（2023秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直线的方向向量与斜率的关系，即可求出答案.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率．
故选：D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
变式4．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.
【答案】 /
【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．
【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则，
由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，，
因为，，
所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，．
故答案为：，．
变式5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】ABD
【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，
设直线的倾斜角为，斜率为，
①若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
②若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
③若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
综上所述：的可能值为.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.
考点三：斜率与倾斜角的关系
（一）由倾斜角求斜率值（范围）
例3．【多选】（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】ABC
【分析】根据斜率公式求解.
【详解】由题可得，
所以，
结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．
【答案】
【分析】由题意得，可求出的取值.
【详解】由题意知，
所以，即，
化简得，解得或
当时，重合，不符合题意舍去，
当时，，符合题意，
所以，
故答案为：
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．
【答案】－3
【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式可得答案.
【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以，得y＝－3．
故答案为：.
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】，
【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
所以斜率，解得．
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
变式4．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
（二）由斜率求倾斜角的值（范围）
例4．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．
【答案】/
【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.
【详解】因为过两点的直线的斜率为：，
因为，是直线的倾斜角，且
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：.
变式1．（2023秋·高二课时练习）若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________.
【答案】
【分析】由，结合．即可得出的取值范围．
【详解】因为，
所以，
因为
所以
故答案为：
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________
【答案】
【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可.
【详解】直线的倾斜角，
，
.
故答案为：
变式3．（2023秋·高二课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.
【详解】如图：
当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
变式5．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】将绕原点逆时针或顺时针旋转得到直线，求得其倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，
若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，
若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，
故选：D
考点四：斜率公式的应用
（一）利用直线斜率处理共线问题
例5．（2023秋·河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【答案】(1)A，B，C三点不在同一条直线上
(2)D，E，F三点在同一条直线上
【分析】（1）计算和，根据其是否相等即可判断；
（2）计算和，根据其是否相等即可判断.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
（2）因为，，
所以.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为________.
【答案】
【分析】由条件可得，结合两点斜率公式列方程求的值.
【详解】因为三点共线，
所以，
所以，
解得.
故答案为：.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________．
【答案】 -2 -1
【分析】根据两点斜率公式求出直线l的斜率，并根据列出方程，求出答案.
【详解】由题意得，
由可得，解得.
故答案为：-2，-1
变式3．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.
【答案】
【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值.
【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得，
故答案为：4
（二）斜率公式的几何意义的应用
例6．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是________.
【答案】3
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，数形结合可得答案．
【详解】
如图，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，
，，
故，即线的斜率的最大值是3.
故答案为：3.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
变式3．（2023秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围
例7．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【详解】（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围．
【详解】（1）因为，，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．
（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为
(2)
【分析】（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是．
变式3．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
【详解】由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
变式5．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以直线的斜率的取值范围是或.
故答案为：或
变式6．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
1．直线与直线的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由斜率得倾斜角后求解，
【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
两条直线的夹角为，
故选：A
2．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
3．若三点，，，（）共线，则的值等于___________.
【答案】/0.5
【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值.
【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案为：
一、单选题
1．（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.
【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；
B：过点A、B的直线的斜率为，
即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；
C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；
D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.
故选：D.
2．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A．－6B．－4
C．0D．6
【答案】C
【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．
【详解】直线经过两，，．
又直线的倾斜角为，斜率一定存在，
则直线的斜率为
，即．
故选：C．
3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（ ）
A．点在直线上B．直线的倾斜角为
C．直线在轴上的截距为8D．直线的一个方向向量为
【答案】B
【分析】逐个分析各个选项.
【详解】对于A项，当，时， 代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；
对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；
对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.
故选：B.
4．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】C
【分析】由题意得，列式求解即可.
【详解】因为，又，
所以，即.
故选：C.
5．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（ ）
A．1或4B．4C．1或3D．1
【答案】D
【分析】利用直线的斜率公式求解.
【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，
所以 ，解得，
故选：D
6．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
7．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为，所以，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以直线的倾斜角为或.
故选：C.
8．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）经过点的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用斜率公式即可求得经过点的直线的斜率.
【详解】由斜率公式可得：，
则经过点的直线的斜率为2
故选：D
9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．30°
C．60°D．90°
【答案】A
【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.
【详解】因为两点的纵坐标相等，
所以直线平行于轴，
所以直线的倾斜角为0°．
故选：A
10．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是，
故选：C
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解.
【详解】如图所示：
若直线与线段相交，
则或 ，
因为，，
所以直线的斜率取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
13．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
15．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角取值范围是
B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【答案】AC
【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.
【详解】A：直线倾斜角范围为，正确；
B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误；
C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；
D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.
故选：AC
16．（2023·江苏·高二假期作业）下列各组点中，共线的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】AC
【分析】确定两点连线斜率是否存在，存在时求出每组中任意两点的斜率可判断．
【详解】A中，三点都在直线上，共线；
B中，，，不共线；
C中，，，共线；
D中，，，不共线．
故选：AC．
17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图，
当直线与线段相交时，，，
所以，斜率取值范围是或.
故选：AB
三、填空题
18．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．
【答案】105°或165°
【分析】根据倾斜角与斜率的概念求解.
【详解】直线的斜率1，则直线的倾斜角为45°，
当将直线MN绕原点顺时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为60°＋45°＝105°；
当将直线MN绕原点逆时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为180°－(60°－45°)＝165°，
故答案为：105°或165°.
19．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据斜率和倾斜角关系可得，由可得，解不等式可求得的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
为钝角，，则，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
20．（2023·高二课时练习）若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题意可得直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，解得，
故答案为：
21．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.
【答案】
【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.
【详解】
由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，即，
由，则，即，解得.
故答案为：.
四、解答题
22．（2023春·高二单元测试）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
23．（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；
(2)存在，斜率为，倾斜角为；
(3)存在，斜率为，倾斜角为；
(4)不存在.
【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在.
【详解】（1）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为
（2）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（3）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（4）解：因为，
所以经过的直线斜率不存在，
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【分析】先求得直线l的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
25．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知．
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．
【答案】(1)，直线BC的一个方向向量为；
(2).
【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB，BC的斜率，从而求出直线BC的一个方向向量；
（2）当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，求出kAC即可．
【详解】（1）解：直线AB的斜率为，直线BC的斜率为1，
∴直线BC的一个方向向量为．
（2）解：如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
由（1）可知kAB，kAC，
∴直线AD的斜率的变化范围为[，]．
26．（2023·江苏·高二假期作业）如图，在菱形中，，求对角线与所在直线的斜率．
【答案】；.
【分析】利用几何图形的性质，根据几何图形中的角来求直线的倾斜角，从而求直线的斜率．
【详解】在菱形中，∵，∴，，
∴，，
∴直线的斜率，
直线的斜率．
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up7(――→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行
③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换
知识点3 斜率与倾斜角的联系
1、求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
4、斜率与倾斜角的关系
（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
考点一：求直线的倾斜角
例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用直线倾斜角的定义得解.
【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．
故选：B．
变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．
【答案】
【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，
所以，，故．
故答案为：.
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．150°
【答案】D
【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.
【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．
故选：D
变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.
【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；
当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.
故选：BC.
变式6．（2023·高二课时练习）直线与直线的夹角为______．
【答案】
【分析】分析两条直线的倾斜角，即可得夹角大小.
【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
所以两条直线的夹角为.
故答案为：.
考点二：求直线的斜率
例2．（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．
（3）∵，
∴直线的斜率不存在．
变式2．（2023秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直线的方向向量与斜率的关系，即可求出答案.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率．
故选：D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
变式4．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.
【答案】 /
【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．
【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则，
由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，，
因为，，
所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，．
故答案为：，．
变式5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】ABD
【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，
设直线的倾斜角为，斜率为，
①若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
②若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
③若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
综上所述：的可能值为.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.
考点三：斜率与倾斜角的关系
（一）由倾斜角求斜率值（范围）
例3．【多选】（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】ABC
【分析】根据斜率公式求解.
【详解】由题可得，
所以，
结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．
【答案】
【分析】由题意得，可求出的取值.
【详解】由题意知，
所以，即，
化简得，解得或
当时，重合，不符合题意舍去，
当时，，符合题意，
所以，
故答案为：
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．
【答案】－3
【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式可得答案.
【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以，得y＝－3．
故答案为：.
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】，
【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
所以斜率，解得．
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
变式4．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
（二）由斜率求倾斜角的值（范围）
例4．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．
【答案】/
【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.
【详解】因为过两点的直线的斜率为：，
因为，是直线的倾斜角，且
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：.
变式1．（2023秋·高二课时练习）若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________.
【答案】
【分析】由，结合．即可得出的取值范围．
【详解】因为，
所以，
因为
所以
故答案为：
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________
【答案】
【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可.
【详解】直线的倾斜角，
，
.
故答案为：
变式3．（2023秋·高二课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.
【详解】如图：
当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
变式5．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】将绕原点逆时针或顺时针旋转得到直线，求得其倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，
若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，
若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，
故选：D
考点四：斜率公式的应用
（一）利用直线斜率处理共线问题
例5．（2023秋·河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)；
(2).
【答案】(1)A，B，C三点不在同一条直线上
(2)D，E，F三点在同一条直线上
【分析】（1）计算和，根据其是否相等即可判断；
（2）计算和，根据其是否相等即可判断.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
（2）因为，，
所以.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为________.
【答案】
【分析】由条件可得，结合两点斜率公式列方程求的值.
【详解】因为三点共线，
所以，
所以，
解得.
故答案为：.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________．
【答案】 -2 -1
【分析】根据两点斜率公式求出直线l的斜率，并根据列出方程，求出答案.
【详解】由题意得，
由可得，解得.
故答案为：-2，-1
变式3．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.
【答案】
【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值.
【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得，
故答案为：4
（二）斜率公式的几何意义的应用
例6．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是________.
【答案】3
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，数形结合可得答案．
【详解】
如图，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，
，，
故，即线的斜率的最大值是3.
故答案为：3.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
变式3．（2023秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围
例7．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【详解】（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围．
【详解】（1）因为，，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．
（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为
(2)
【分析】（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是．
变式3．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
【详解】由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
变式5．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以直线的斜率的取值范围是或.
故答案为：或
变式6．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
1．直线与直线的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由斜率得倾斜角后求解，
【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
两条直线的夹角为，
故选：A
2．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
3．若三点，，，（）共线，则的值等于___________.
【答案】/0.5
【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值.
【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案为：
一、单选题
1．（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.
【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；
B：过点A、B的直线的斜率为，
即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；
C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；
D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.
故选：D.
2．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A．－6B．－4
C．0D．6
【答案】C
【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．
【详解】直线经过两，，．
又直线的倾斜角为，斜率一定存在，
则直线的斜率为
，即．
故选：C．
3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（ ）
A．点在直线上B．直线的倾斜角为
C．直线在轴上的截距为8D．直线的一个方向向量为
【答案】B
【分析】逐个分析各个选项.
【详解】对于A项，当，时， 代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；
对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；
对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.
故选：B.
4．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】C
【分析】由题意得，列式求解即可.
【详解】因为，又，
所以，即.
故选：C.
5．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（ ）
A．1或4B．4C．1或3D．1
【答案】D
【分析】利用直线的斜率公式求解.
【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，
所以 ，解得，
故选：D
6．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
7．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为，所以，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以直线的倾斜角为或.
故选：C.
8．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）经过点的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用斜率公式即可求得经过点的直线的斜率.
【详解】由斜率公式可得：，
则经过点的直线的斜率为2
故选：D
9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．30°
C．60°D．90°
【答案】A
【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.
【详解】因为两点的纵坐标相等，
所以直线平行于轴，
所以直线的倾斜角为0°．
故选：A
10．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是，
故选：C
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解.
【详解】如图所示：
若直线与线段相交，
则或 ，
因为，，
所以直线的斜率取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
13．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
15．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角取值范围是
B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【答案】AC
【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.
【详解】A：直线倾斜角范围为，正确；
B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误；
C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；
D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.
故选：AC
16．（2023·江苏·高二假期作业）下列各组点中，共线的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】AC
【分析】确定两点连线斜率是否存在，存在时求出每组中任意两点的斜率可判断．
【详解】A中，三点都在直线上，共线；
B中，，，不共线；
C中，，，共线；
D中，，，不共线．
故选：AC．
17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图，
当直线与线段相交时，，，
所以，斜率取值范围是或.
故选：AB
三、填空题
18．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．
【答案】105°或165°
【分析】根据倾斜角与斜率的概念求解.
【详解】直线的斜率1，则直线的倾斜角为45°，
当将直线MN绕原点顺时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为60°＋45°＝105°；
当将直线MN绕原点逆时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为180°－(60°－45°)＝165°，
故答案为：105°或165°.
19．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据斜率和倾斜角关系可得，由可得，解不等式可求得的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
为钝角，，则，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
20．（2023·高二课时练习）若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题意可得直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，解得，
故答案为：
21．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.
【答案】
【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.
【详解】
由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，即，
由，则，即，解得.
故答案为：.
四、解答题
22．（2023春·高二单元测试）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
23．（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；
(2)存在，斜率为，倾斜角为；
(3)存在，斜率为，倾斜角为；
(4)不存在.
【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在.
【详解】（1）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为
（2）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（3）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（4）解：因为，
所以经过的直线斜率不存在，
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【分析】先求得直线l的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
25．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知．
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．
【答案】(1)，直线BC的一个方向向量为；
(2).
【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB，BC的斜率，从而求出直线BC的一个方向向量；
（2）当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，求出kAC即可．
【详解】（1）解：直线AB的斜率为，直线BC的斜率为1，
∴直线BC的一个方向向量为．
（2）解：如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
由（1）可知kAB，kAC，
∴直线AD的斜率的变化范围为[，]．
26．（2023·江苏·高二假期作业）如图，在菱形中，，求对角线与所在直线的斜率．
【答案】；.
【分析】利用几何图形的性质，根据几何图形中的角来求直线的倾斜角，从而求直线的斜率．
【详解】在菱形中，∵，∴，，
∴，，
∴直线的斜率，
直线的斜率．
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)
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