第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.
知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．
2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)成立的条件是x2y2z2≠0.
3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))＝
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq \(AB,\s\up7(―→))的坐标等于终点坐标减起点坐标．即eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
考点一：空间中点的坐标表示
例1．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ，，点 满足，则点 的坐标是______．
【答案】
【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可.
【详解】设，
则，
由题可得
，解得
即点 的坐标是.
故答案为：.
变式1．（2022·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示有、，即可求C坐标.
【详解】由，，可得：，
又，同理可得：.
故答案为：
变式2．（2022·全国·高二专题练习）平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，，则点的坐标为______．
【答案】/
【分析】先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】点，，则
设点，则
由，则 ，即x=0y=12z=1，
所以点的坐标为
故答案为：
变式4．（2023春·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
【答案】
【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．
【详解】解：点､，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
变式5．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．
【答案】
【分析】设，然后利用求解即可.
【详解】设，因为四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，所以，即.
故答案为：.
考点二：空间点的对称问题
例2．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在空间直角坐标系中，求出点关于轴和轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点，
所以.
故选：A
变式2．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】由对称性分别求出B、C，则有，即可求得
【详解】由题意，则，
故，.
故选：B
变式3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________.
【答案】
【分析】先利用对称找出的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解
【详解】过点作平面xOy垂线，垂足为，延长到，使得，
过点作平面xOy垂线，垂足为，
则，，，
因为与关于平面xOy对称，
所以，
所以当最小时点P是连接与平面xOy的交点，
连接，易知共面，且与相似，
所以，
所以，
设，则，
所以，解得，
所以P的坐标为，
故答案为：
考点三：空间向量的坐标表示
例3．（2023春·高二课时练习）已知点，，则向量的坐标为________．
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】．
故答案为：
变式1．（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
变式2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得.
【详解】依题意，，所以，
所以.
故选：D
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
【答案】
【分析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
变式4．【多选】（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（ ）
A．B．
C．的中点坐标为D．四边形是一个梯形
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标运算判断A，B，C，通过判断，的关系，判断四边形的形状，由此判断D.
【详解】设点为坐标原点，因为，，，，
所以，，，，
所以，A正确；
所以，B错误；
设的中点为点，则，
所以点的坐标为，C错误；
因为，，所以，所以，，所以四边形是一个梯形，D正确；
故选：AD.
考点四：空间向量的坐标运算
例4．（2022秋·北京丰台·高二统考期末）已知，(2，1，1)，则________．
【答案】
【分析】以向量的代数运算律解之即可.
【详解】由，(2，1，1)
可得
故答案为：
变式1．（2023·全国·高二专题练习）向量，，，中，共面的三个向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A：若共面，则，即，
即，显然不存在满足题意，故不共面；
同理，B，C中的三个向量也不共面；
D：若共面，则，即，
即，故存在满足题意，则共面.
故选：D.
变式2．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________．
【答案】1
【分析】依题意可得存在实数，使得，从得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为向量，，共面，所以存在实数，使得，
即，所以，解得．
故答案为：
变式3．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解.
【详解】由，，
显然，不共线，
根据向量基本定理可得，
故C点坐标为，
经验算只有B选项符合条件，
此时，
故选：B
变式4．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则P，A，B，C四点共面
【答案】BD
【分析】由条件求，根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量共面定理依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
所以，A错误；
，B正确；
，所以不垂直，C错误；
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以共面，
所以P，A，B，C四点共面，D正确；
故选：BD.
变式5．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；
对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确.
故选：D
变式6．（2022·高二课时练习）在中，若，，则是（ ）
A．顶角为锐角的等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【分析】利用空间向量的坐标运算计算的坐标，由模长公式分别计算，，的值，可得，再计算可判断为锐角，进而可得正确答案.
【详解】，
，，，
所以，
因为，，
因为，
所以为锐角，
所以是顶角为锐角的等腰三角形，
故选：A.
考点五：空间向量的平行问题
例5．（2022·高二课时练习）若，且与共线，求x，y的值．
【答案】
【分析】先判断，然后根据题意可得到比例式，求得答案.
【详解】，且与共 线，
当时，显然不共线，
故，则由题意得： ，
即 .
变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.
【详解】向量，，则，
因为，则，解得，
所以实数k的值为.
故选：C
变式2．【多选】（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据单位向量的概念，求出与向量共线的单位向量即可
【详解】因为向量，所以，
所以与向量共线的单位向量为
，
即和，
故选：AC
变式3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（ ）
A．，0，B．，1，C．，，D．，2，
【答案】D
【分析】由题得，1，，再利用空间向量共线定理判断得解.
【详解】解：由点，1，，，2，，
所以，1，，
对于A，，0，，不满足，所以与不共线；
对于B，，1，，不满足，所以与不共线；
对于C，，，，不满足，所以与不共线；
对于D，，2，，满足，所以与共线．
故选：D
变式4．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则_____．
【答案】
【分析】根据向量与反向共线，设，利用列方程求得，即得答案.
【详解】由，，可得，
由于与反向共线，设，
由可得，解得，（舍去），
故，
故答案为：
变式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________.
【答案】1
【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：，，
因为四边形为平行四边形，
所以，
所以，，
则.
故答案为：1.
考点六：利用坐标运算解决数量积问题
例6．（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【详解】由已知，，
，
∴.
故选：C．
变式1．（2022·高二单元测试）若向量，，则______．
【答案】19
【分析】根据空间向量的坐标运算，求得的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.
【详解】∵，，∴，
∴,
故答案为：19
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
变式3．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，．
(1)求顶点的坐标；
(2)求．
【答案】(1),
(2)
【分析】根据向量的坐标表示求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得.
【详解】（1）设,,
,.
设,,
,.
（2），
.
考点七：空间向量的垂直问题
例7．（2023秋·高二课时练习）已知，单位向量满足，则_________．
【答案】或
【分析】设向量，其中，由，得到方程组 ，进而求得的值，即可求解.
【详解】设向量，其中，
因为且，可得，即，
将代入，
可得或，
所以向量的坐标为或.
故答案为：或.
变式1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又，所以，解得.
故选：D.
变式2．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.
【详解】向量与垂直，则有，解得，
于是，
所以.
故答案为：
变式3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______.
【答案】
【分析】设，根据空间向量的坐标表示求得点的坐标，再根据，可得数量积为0，从而可求出，即可得解.
【详解】解：设，
由，得，
故，则，
因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
变式4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点，，，设，.
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
【答案】(1)，；
(2)或.
【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】（1），；
（2）∵，，
且与互相垂直，
∴
解得或.
变式5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（ ）．
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】先求出的坐标，再由，得，解方程可求出实数a的值
【详解】因为，，，
所以，，，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：C
变式6．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体中，，，，，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为，，，
，，，，
所以，
因为，
所以，解得.
故选：C.
考点八：利用坐标运算解决夹角问题
例8．（2023·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设向量，
，，设与的夹角为，，
，.
故答案为：.
变式1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角.
【详解】∵，∴，解得，即.
又∵，注意到，则，使得，
∴，解得，故.
∴，
∴，又，
∴.
故选：B.
变式2．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．B．C．或D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，，
又与夹角的余弦值为，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故选：A.
例9．（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范围是.
故答案为：.
变式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可.
【详解】根据题意有，，
若，则，解得
若，则，即同向
∵，的夹角为锐角，则，且不能同向
即，解得，且，
则的取值范围为.
故答案为：.
变式2．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.
【答案】
【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】因为，
所以，，
因为向量与的夹角为锐角，
所以，解得，
而当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
变式3．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点，，.
(1)求的面积；
(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【详解】（1）由题设，，则，
所以，故在中，
故的面积为.
（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，
所以，即，
所以，可得，
当它们反向共线，即且时，有，无解，
综上，.
变式4．（2023秋·高二单元测试）已知，则的面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意，求得，的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】因为，故可得，
不妨设，的夹角为，故可得，
因为，所以，
则.
故答案为：.
变式5．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
设异面直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
变式6．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.
【详解】连接与交于点，连接，
由题意得，，且平面，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设四棱锥各棱长均为2，则，，
可得，
则，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A．
考点九：利用坐标运算解决距离问题
例10．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系 中，点，则______
【答案】
【分析】写出对应的向量，利用向量模求解.
【详解】由题意，可得 ，
故.
故答案为：.
变式1．（2022·全国·高二专题练习）若，，则（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为
所以
故选:A
变式2．（2022秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则______.
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.
【详解】
如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为,
因为，,
所以,
所以,所以.
故答案为：.
变式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________.
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，向量，，可得，
所以，
所以当时，取得最小值.
故答案为：.
变式4．（2022·高二单元测试）若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的坐标公式求得的坐标，再利用向量模的坐标公式求解.
【详解】因为A，B，
所以，
则 ，
，
当 时，取最小值，
故选：C
变式5．（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
【答案】
【解析】设，0，，，，，则，，由，知．所以，由此能求出其最小值．
【详解】设，0，，，，，
，0，，，1，-，
，，
，
，
即．
，
．（当时取最小值）
故答案为：
【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
变式6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【答案】4
【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
【详解】是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
考点十：利用坐标运算求投影或投影向量
例11．（2023春·高二课时练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.
【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点在坐标平面上的投影坐标，
横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．
所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：
故选：B.
变式1．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
变式2．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
变式3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点，则在上的投影向量的长度为________.
【答案】
【分析】计算，，根据投影公式得到答案.
【详解】由已知得，
∴，又，
所以在上的投影向量的长度为.
故答案为：.
1．已知向量，则下列向量中与成的是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则；
对于B选项中的向量，，则；
对于C选项中的向量，，则；
对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.
【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.
2．已知向量，且，则____________．
【答案】3
【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【详解】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】解：
，解得
故答案为：
4．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
【答案】
【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.
由，得，
而；
又.
由，
化简得，解得.
5．如图，在正四棱柱中， ，点是 的中点，点在 上，设二面角的大小为 ．
（1）当时，求 的长；
（2）当时，求 的长．
【答案】（1） （2）
【分析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的法向量．
（1）计算出平面的法向量，将二面角为直二面角转化为，求出的值，再利用空间中两点间的距离公式求出；
（2）由已知条件得出，计算的值，则利用空间两点见的距离公式可得出的值．
【详解】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
面MDN的法向量，
设面A1DN的法向量为，则，即，
取，则，，则．
（1）由题意：，则，
取，
；
（2）由题意：，即，
取，则，，，.
【点睛】本题考查平面与平面垂直、空间中两点间的距离以及二面角的求法，对于二面角的求解，关键是要找到合适的位置建立空间直角坐标系，并求出相应的法向量，考查空间想象能力与运算能力，属于中等题．
一、单选题
1．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知点，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量坐标运算法则进行计算.
【详解】.
故选：A
2．（2023·江苏·高二专题练习）三个顶点的坐标分别为，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．正三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】利用空间向量模长的坐标表示求出的边长即可求解.
【详解】由题得，
则，，，
因为，所以为直角三角形，
故选：D
3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，设，有，
线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以线段EF长的最小值为.
故选：B
4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，若，则点B的坐标为（ ）．
A．（－1，3，－3）B．（9，1，1）
C．（1，－3，3）D．（－9，－1，－1）
【答案】B
【分析】由，设结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐标.
【详解】设，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，
∴,可得，所以点B的坐标为（9，1，1）.
故选：B
5．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.
【详解】由题意，，，
可得，，
，即角B为锐角，所以，
所以边上的高.
故选：B
6．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果.
【详解】因为，，，且，，三向量共面，
设，则，
即，解得.
故选：D
7．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算即可.
【详解】.
故选：B.
9．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
【答案】C
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】由题意，
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
10．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
11．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可.
【详解】因为，，
令与共线，则，即，即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且，
故选：C
12．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】A
【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，
又，所以，解得.
故选：A.
二、多选题
13．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．记与的夹角为，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据空间向量线性坐标运算、数量积的坐标运算以及垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，，
所以，
选项A：，正确；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：因为，，
所以，由得，
所以，
所以，正确；
故选：ABD
14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（ ）
A．B．是共面向量
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.
【详解】，A项正确；
设，即，解得，，
即，所以，，共面，B项正确；
，所以，C项正确；
，D项错误.
故选：ABC.
15．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A,，
，故A错误；
对于B，，
则，故B错误；
对于C,，
则，
则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:CD.
16．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．∥
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.
【详解】对A，因为，所以，故A正确；
对B，，故B不正确；
对C，，所以不垂直，故C不正确；
对D，，所以∥，故D正确.
故选：AD.
17．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为2D．的最大值为4
【答案】ABC
【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.
【详解】对于A，若，且，，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
即，解得，故B正确；
，
故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
18．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量的长度为
【答案】BD
【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.
【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，故C不正确；
对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习），若，则_____________．
【答案】-4
【分析】由空间向量共线定理求解.
【详解】解：因为，且，
所以，解得，
故答案为：-4
20．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量，，若，则＝______．
【答案】3
【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.
【详解】，则显然，，解得，
则，，
故答案为：3.
21．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，直线AB上有一点M，且，则点M的坐标为______．
【答案】
【分析】运用空间向量求解.
【详解】设，，，，
则，，又，
即，解得，故M点的坐标为；
故答案为：.
22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知向量，且与互相垂直，则实数__________.
【答案】/
【分析】求出，根据向量模长公式列出方程，求出.再分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值.
【详解】，
所以，解得.
当时，
，
，
因为与互相垂直，
所以，解得.
当时，，
因为与互相垂直，
所以，解得，
综上：.
故答案为：
23．（2023·上海·高三专题练习）已知空间向量，，，若，则______．
【答案】
【详解】，
，，，
解得，
故答案为：.
24．（2023·全国·高三对口高考）已知，则_________，_________，_________，_________，_________．
【答案】
【分析】由空间向量的模长公式，数量积的运算法则，夹角公式计算即可.
【详解】已知，则，
，，
，
.
故答案为：；；；；.
四、解答题
25．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出即可；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，故，
所以，
即线段的长度为；
（2），
则，
所以.

26．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
，，
所以；
（2），
因为，所以，
解得.
27．（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根据反三角函数即可求得向量夹角；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则，
所以与的夹角为．
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
28．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算的值；
【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
（2）依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
29．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量，，．
(1)若，求；
(2)若与相互垂直，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；
（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.
【详解】（1），
，，
即，且，，解得；
（2），，
又，解得．
30．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
（3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可.
【详解】（1），，
，
．
（2）因为，
所以，解得，
因为，且向量与垂直，
所以，
即，
．
所以实数和的值分别为和；
（3）解：设，
则
解得，
即，
所以向量与向量，共面．
31．（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）、，，，且，
设，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又与垂直，
，
解得或．
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3