第46讲 直线与抛物线（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.直线与抛物线的位置关系
设直线，抛物线:，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当<0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2.抛物线的弦长
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于
两个不同的点，则弦长.
.
3.抛物线的中点弦
设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即，
同理，对于抛物线，则有
4.抛物线的切线
过抛物线上的点的切线方程是.
过抛物线上的点的切线方程是.
【常用结论】
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角
y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)
（2）弦长AB＝eq \f(2p,sin2α)
（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（4），， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
二、题型分类精讲
题型一 直线与抛物线的位置关系
策略方法
研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
【典例1】（单选题）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形为菱形，然后设，从而得出，带入抛物线的方程求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线交交于两点,
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且,则线段的垂直平分线方程为,
令与轴交于点,又,
则在直角三角形中,

所以，
在抛物线上，
，
则四边形的周长为
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则为定值（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线的方程，与抛物线方程联立并结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线的焦点F，准线方程为，
显然直线的斜率存在，设为k，则直线的方程为，
由消去x并整理得：，显然，
设，，则，，而，，
因此，
所以为定值4.
故选：D
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，即得.
【详解】因为抛物线的准线为，
所以，，
故抛物线，，
设切点为，，又，
则切线PA的方程为：，即，
切线PB的方程为：，即，
由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线，
可得过A、B的直线方程为，即
故选：A.
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线的焦点，点在抛物线上，且，的延长线交轴于点，若为线段FN的中点，则（ ）
A．2B．C．4D．6
【答案】C
【分析】作出辅助线，设出，由抛物线定义得到方程，结合中点得到，从而求出答案.
【详解】过点作⊥轴于点，交抛物线的准线于点，
由题意得，设，
由抛物线定义可知，，
因为若为线段FN的中点，所以，
所以，
将其代入中，解得.

故选：C
4．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知抛物线（）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段的垂直平分线，则直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{0,1}D．{1,2}
【答案】B
【分析】由题意设点，则的中点为，，然后分和两种情况求出直线的方程，再与抛物线方程联立进行判断即可.
【详解】由题意得焦点为，准线方程为，
设点，则的中点为，，
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由，得，
因为，
所以直线与抛物线只有一个公共点，
当时，线段的垂直平分线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，
综上，直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为{1},
故选：B

5．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意设直线的方程和直线的方程，分别与抛物线方程联立得到，，，然后求即可.
【详解】
由题意得，设直线的方程为，，，，,
联立得，，
设直线的方程为，联立得，，同理可得，
所以.
故选：B.
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】先由准线与圆相切得准线方程和点，求出.再设直线斜率为，由直线与抛物线相切得，建立方程解即可.
【详解】如图，抛物线的准线为，
由准线与圆相切于点，
则，解得.
则抛物线方程为：，
设直线的方程为，
联立方程得，
由直线与抛物线相切得，
，解得，即，
所以直线的方程为，即或.故选：C.

7．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点（在轴上方），则（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】C
【分析】由题意可得直线的方程为，联立方程，求出两点的坐标，从而求得，由此得解.
【详解】由抛物线，得，
则直线的方程为，
联立，解得或，
即，
所以，，
所以.
故选：C.
8．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（ ）
A．48B．24C．12D．36
【答案】B
【分析】根据垂直关系得出直线经过点，设方程为与抛物线方程联立得出韦达定理，结合两个向量数量积求出结果．
【详解】如图，因为点在以为圆心，半径为3的圆上，所以直线经过点．
设方程为，
由得，
设，则．
所以．

故选：B．
9．（2023·河北唐山·模拟预测）已知O为坐标原点，点是抛物的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在准线上求出抛物线方程，依题意直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设，，列为韦达定理，由，则，即可求出的值，从而求出直线方程，求出直线与轴的交点的坐标，最后根据计算可得.
【详解】因为点是抛物的准线上一点，所以，解得，
所以抛物，
依题意直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线的方程为，
由，消去整理得①，
由，解得或，
设，，所以，，
因为，则，即，
而
，
所以，解得或，
当时直线即过坐标原点，不符合题意，故舍去；
当时直线即，令解得，所以直线与轴交于点，
将代入①得，解得、，
所以.

故选：B
10．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦半径公式和得到，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到，然后根据三角形面积得到.可得答案.
【详解】由题可得抛物线方程为，所以，
如图所示，则，解得，

联立方程，消去y得：．
可知，解得，
所以．
故选：C．
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，，M为抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则的面积（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值1D．有最小值1
【答案】C
【分析】根据给定条件，作出图形，结合图形确定点M的位置，再判断点M到直线FN的距离情况即可计算作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点，则，直线FN的方程为，
过点N作轴交抛物线C于点A，则点A的横坐标为2，因此点M是抛物线C上在原点O与点A之间的点（不含点O，A），
设与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程为，
由消去y得：，由，解得，
因此当M点为直线与抛物线C相切的切点时，M点到直线FN的距离最大，
当时，，即M点的坐标为，符合题意，此时点M到直线FN的距离为，
所以的面积的最大值为，A错误，C正确，
显然点M到直线FN的距离无最小值，即的面积无最小值，BD错误．
故选：C
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，为C上一动点，曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出切线方程，联立切线与抛物线的方程，由，可得，进而得到切线方程为，得出点坐标为，即可得出.又根据抛物线的定义可知，即可得出答案.
【详解】
由已知可设切线方程为.
联立切线与抛物线的方程可得，
.
则，
又，所以，
所以.
由已知，，所以，所以.
所以，切线方程为.
令，可得点坐标为.
所以，.
又，根据抛物线的定义可得，，
所以，为等腰三角形，
所以，.
故选：C.
13．（2023·河南·统考三模）已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】D
【分析】根据准线求得抛物线方程，焦点弦公式判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而判断B；根据抛物线的定义得判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】由抛物线的准线为，则，故，
由题意，故A正确；
拋物线的准线，且，以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以为直径的圆与准线相切，故B正确；
拋物线的焦点为，则，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程得解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：D

14．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，过斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且，若Q是抛物线上任意一点，且，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据直线与抛物线联立可得韦达定理，根据数量积的坐标运算可得，进而根据向量线性运算的坐标表示，即可结合二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得，所以直线的方程为，
联立直线与抛物线方程得，
设,所以
，，
化简得，
即,解得,
故
设,则，
因此且，
因此可得，
故，当时取到等号，故的最小值为0，
故选：A
15．（2023·青海西宁·统考二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值．
【详解】设且，直线，联立，
整理得，则．
设过点的切线方程为，联立，
整理得，由，可得，
则过A的切线为：，即，即，即，
同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
联立两切线，则，
所以两条切线的交点在准线上，则，
两式相减得，
，可得，，
又因为直线的斜率为，（也成立），
如图，设准线与轴的交点为，
的面积，
当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值．
故选：B
【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况.
二、多选题
16．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最小值为2
C．当取到最大值时，直线AP与C相切
D．当取到最大值时，
【答案】AC
【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义逐项分析判断作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，
由消去x得：，则，

对于A，显然，，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，的面积，
当且仅当时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，
由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，
即，，D错误.
故选：AC
17．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若三点共线，则
C．若，则的中点到轴距离的最小值为3
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，由抛物线的定义以及性质即可判断ABC，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可判断D.
【详解】抛物线的焦点坐标为正确.
当三点共线时，取特殊情形平行轴时，令，则，不妨令，则，故B错误.
当三点共线时，的中点到准线的距离等于4，所以的中点到轴的距离为3.
当三点不共线时，的中点到准线的距离大于4，所以的中点到轴的距离大于3，C正确.
当时，直线过定点.
设直线的方程为，
联立方程整理得，
所以，
所以.
，当时取等号，D正确.
故选：ACD
18．（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，则（ ）
A．B．存在一点为中点，使得
C．存在这样的直线使成立D．
【答案】AD
【分析】由题意，设出直线的方程，将直线与抛物线联立，利用根的判别式得到，设,，,，根据韦达定理得到，和的表达式，结合抛物线的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【详解】
因为抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，
所以，，
又过点的直线与抛物线交于不同的两点、，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
不妨设,，,，
对于选项A：
，故选项A正确；
对于选项B：若点为中点，
此时,，
即,，
可得，
不妨令，，
此时，
所以，故选项B错误；
对于选项C：当时，
可知，不符合题意，故选项C错误；
对于选项D：因为
，故选项D正确．
故选：AD．
19．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线交抛物线于两点，分别过两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，设为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平行于轴
B．若直线过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
C．若，则面积的最大值为
D．
【答案】ABD
【分析】根据结论：抛物线在其上一点处的切线方程为，设直线，，联立方程利用韦达定理可求得点的坐标.对于A：根据坐标直接判断；对于B：取，结合点点的坐标分析判断；对于C：根据题意利用韦达定理结合面积关系分析判断；对于D：根据题意利用韦达定理结合向量夹角运算求解.
【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
联立方程，消去x可得，，
所以抛物线在其上一点处的切线方程为.
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
则，可得，
在两点处抛物线的切线方程分别为，，
联立方程，解得，即.
对于选项A：因为的纵坐标相同，所以平行于轴，故A正确；
对于选项B：若直线过抛物线的焦点，即，
可知在抛物线的准线上，故B正确；
对于选项C：因为，
可得，
点到直线的距离，
可得面积，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故C错误；
对于选项D：因为，
可得，
由抛物线的定义可得，
因为
又因为，即，
可得
，
即，可得，
即，且，
所以，故D正确；
故选：ABD.

三、填空题
20．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为，若点P的横坐标为，则 .
【答案】
【分析】设，，，根据导数的几何意义求出以A，B为切点的切线方程，可得为方程的两根，根据韦达定理及过两点的斜率公式即可求解.
【详解】设，，以A，B为切点的抛物线的切线斜率为，，
由，得，故，，
所以切线PA的方程为，即.
同理可得，切线的方程为.
设点P的坐标为，
所以，，
所以为方程的两根，故，，
则.
故答案为:.
21．（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】分别设出直线、直线和直线的方程，以及，两点坐标，利用角平分线到角两边距离相等，可得直线和直线的斜率积为，从而得到，联立直线与抛物线，结合韦达定理即可求解.
【详解】设直线的方程为，即，
设直线，的方程分别为，，即，，
设，，
的平分线过点，，
整理得：，，
，则，即，
由，得，
，．
又，，解得：或（舍去）.
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.
23．（2023·山东潍坊·三模）已知过点的直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，切点是（在轴的上方），直线和的倾斜角分别是，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先直线分别与抛物线方程联立，求得点的坐标，以及利用韦达定理表示，再结合两角和的正切公式，和基本不等式求解取值范围.
【详解】设直线，与抛物线方程联立
，得，
，得或，，
设直线，与抛物线方程联立，
，得，
，得（由题意可知，舍去）
当时，解得：，，即，
，，
，
当时，，此时，
当时，等号成立，但，所以
当时，，此时，
当时，等号成立，由对称性可知，，此时，
综上可知，的取值范围为.
故答案为：
24．（2023·河北沧州·校考三模）若为抛物线：在第二象限内一点，抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，抛物线在点处的切线与轴相交于点.若（为坐标原点），则的面积为 .
【答案】
【分析】先根据直线和抛物线联立得到的坐标，然后根据导数的几何意义算出在处的切线，得到的坐标，根据的坐标算出的边长，得到是等边三角形，从而得出面积
【详解】依题意，，直线的斜率为，则直线的方程为，
与抛物线联立，整理得，
又在第二象限内，解得，抛物线可写为，，
所以，所以直线的斜率为，切线方程为，
即，则点，，，
根据两点间的距离公式可得，，所以为正三角形，
又，所以，
因此为边长是的正三角形，则其面积为.
故答案为：.

25．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【分析】方法一：设直线：，设，，联立直线与抛物线的方程求出，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设，，在准线上的射影分别是，，，由题意可得出轴，设，，：，联立直线与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案.
【详解】方法一：由题意，，设直线：，其中，
联立消去得，，
设，，则，，
又，则，即，
而，，
则，
即，
即，
所以，解得，所
以.
方法二：如下图，由题意，，点在准线上，
设，，在准线上的射影分别是，，，
则，
所以轴，
设，，：，
联立消去得，
所以，所以，
故答案为：2．

26．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线是抛物线上的点，直线与抛物线切于点，直线且与抛物线交于点（异于点），抛物线在点处的切线交于面积的最小值是 .
【答案】8
【分析】根据导函求解切线方程，联立直线方程以及抛物线方程，进而可得，，，且，，根据点点距离即可表达三角形的面积，根据基本不等式即可求解最值.
【详解】根据题意，不妨将抛物线设为
根据抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点，,
则，
因此点处的切线方程为，即，
由于，故,则方程为，
联立直线与抛物线方程得，
化简得，
则，
所以，
进而的方程为，
联立和的直线方程可得，
因此，
故，，且，
故
由于,所以，当且仅当时等号成立。
故,
故答案为：8

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则用一般弦长公式．
解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，过点的直线交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线交于点，且．若点M到直线AB的距离为，则 ．
【答案】1
【分析】由题意设，，直线AB的方程为，联立直线与抛物线，可得，利用导数的几何意义，可设出切线AM、BM的方程，联立两切线方程，求得的坐标，结合已知即可求出.
【详解】设，，显然，直线AB的斜率存在，
且，则直线AB的方程为．
联立，整理得，则，
由，得，求导得，
故切线AM的方程为，即①，
同理可得切线BM的方程为②，
两式相减，得M的横坐标，两式相加，
得M的纵坐标．
由，得，所以，
：，即，
所以点M到直线AB的距离，所以，
解得或（舍去）．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时常用的步骤：
（1）设出直线方程，设交点为，
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程，
（3）写出韦达定理，
（4）将所求问题或题目中关系转化成的形式，
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题
28．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，圆，过C上一点作C的切线，该切线经过点．
(1)求C的方程；
(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后可建立方程求出；
（2）设l与C相切于点，然后求出切线的方程，然后求出、点到l的距离，然后表示出面积，然后可得答案.
【详解】（1）由，得，则．
设该切线的斜率为k，则．
由题可知，，因为该切线经过点，所以，
解得，故C的方程为．
（2）设l与C相切于点，则l的方程为，即．
由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离．
因为l与E相交，所以，整理得．
．
点到l的距离，
的面积，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．
29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.
(1)当点的坐标为时，求；
(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点，直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的最大值.（注：表示三角形的面积）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求导得切线斜率，进而由点斜式写出切线方程，将代入得，进而联立与抛物线方程可得方程的根，或者韦达定理，由点点距离即可求解，
（2）根据三角形面积公式以及重心满足的坐标关系，化简，即可利用二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）解法一：设，，，
由，可得，当 ，
当，所以，直线的斜率，
直线：，又∵在上，
，
所以，又，所以，
同理可得，
∴，
∴；
解法二：设，，，由，可得，
所以，直线的斜率，直线：，又∵在上，
故，即，
因为，所以，同理可得，
故直线的方程为，
联立消去，得，故，
故
（2）设，由条件知，
∴
，
∵ ∴，
∴当时，取得最大值.
30．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）设抛物线的焦点为是坐标原点，，过点的直线与抛物线交于两点，延长分别交抛物线于两点，分别是的中点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得直线的斜率的取值范围.
（2）求得两点的坐标，从而求得点坐标，根据向量的夹角公式以及函数的单调性求得的最小值.
【详解】（1）由题：，设，
代入得，
则有，，所以，
故，当时，，
当时
综上可得直线的斜率取值范围为.
（2）设，
则解得，同理，，
所以，
所以点的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以的斜率，
记，，
取的方向向量分别为，
故，
当时，，
当时，，
函数在区间上单调递减，最小值为，
所以当时，取到最小值为.
31．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得，
32．（2023·河南郑州·统考模拟预测）过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1);
(2)存在，详见解析.
【分析】（1）根据直线与抛物线相切及列方程求出得解；
（2）由题意转化为直线NP，NQ关于对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率互为相反数即可知存在且直线方程为.
【详解】（1）由题意得直线的方程为，即，
设，
与联立得，
因为直线与C相切，所以,
整理得，且，，
因为，所以，
由得，
所以的方程为.
（2）由（1）得，
点Q关于的对称点恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于对称，

设，
设直线PQ方程为，与联立得，
则.
.
所以直线PN斜率，
所以直线QN斜率，
，
所以直线NP，NQ关于直线或对称，
所以存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P, N共线，
且的方程为或.
33．（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知,曲线，过点的曲线的所有弦中，最小弦长为.
(1)求的值；
(2)过点M的直线与曲线C1交于A、B两点，曲线C1在A、B两点处的两条切线交于点P，求点P的轨迹C2；
(3)在（2）的条件下，N是平面内的动点，动点Q是C2上与N距离最近的点，满足的动点N的轨迹为C3；并判断是否存在过M的直线l，使得l与C1、l与C3 的四个交点的横坐标成等差数列，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式即可结合二次函数的性质求解最值求解，
（2）求导得切线方程，联立两条切线方程即可求解交点，即可求解，
（3）根据抛物线的定义求解点轨迹，即可根据图形特征，结合等差数列的性质求解.
【详解】（1）由于题意可知过点的弦所在的直线一定有斜率，设直线方程为，联立与，可得，
设方程两根为，则，故弦长为，
令，则，
由于函数单调递增，故当时，此时弦长最小为
（2）设,则，
由抛物线方程可得，
所以点处的切线方程为，
同理可得点处的切线方程为,
联立两条切线方程得，则，
因此，所以的轨迹为直线，
（3）由动点Q是C2上与N距离最近的点，可知与直线垂直，
由于，所以可知点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线，故轨迹方程为，
设直线与相交的两个点为,且的横坐标为，不妨设
联立与，可得，则，
由于与均为开口向上的抛物线，
假若四个点的横坐标能构成等差数列，则必满足成等差数列，
则，此时，
而当时，不满足等差关系，
故不存在过M的直线l，使得l与C1、l与C3的四个交点的横坐标成等差数列.

34．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.

(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程；
(2)是上一点，，过点的直线交曲线于、两点，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，以所在直线为轴，建立直角坐标系，设，求得点的坐标是，结合交轨法建立关系式，即可求解；
（2）根据向量共线关系，求得点的坐标为，联立方程组，转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，求得的取值范围，再由，得到，代入韦达定理，求得，进而求得的范围.
【详解】（1）解：以为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
设，则直线的方程为，的中点坐标为，
直线是线段的垂直平分线为，
将代入上式，可得，所以点的坐标是，
由，整理得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：因为，可得点的坐标为，设直线，
设，则是方程组的解，
整理得，所以，
因为方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
由，可得，所以，
代入，可得，
消去，可得，
因为，所以，解得，
即实数的取值范围是.

35．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据抛物线定义可求解；
（2）设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，
∴，
抛物线的方程为.
（2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），
设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）．
则有

，，
即，．所以，，①
又，所以
即,
代入①，得,
即,
∵，
，，
∴，
化简得，
正方形的面积为，
∵，∴，当且仅当时等号成立，
所以，即，
∴.
方法二：的斜率为（），点的坐标为，则
由，得，
∴，，
又，
∴，即，
∴，即，
∴，
正方形的面积，
令，，则
，
设，，
则，
，
∵，∴，
∴单调递增，
.
方法三：设直线：，（为参数）
代入抛物线，得，
即，
∴，，
设，则，
同理，，
不妨设，
∵，∴，
化简得，
∴，
，
设，
则，，
，
∵，∴，
∴单调递增，
.
36．（2023秋·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义表示的长，然后求出，即得到抛物线C的方程.
（2）由已知条件可求出直线的方程，再设出直线的方程并代入抛物线中化简求出，两点横坐标之间关系，从而设出直线，并与直线联立求出，同理可得，从而可得的表达式，化简可得，即可得证.
【详解】（1）
过点D作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义得，，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）
证明：直线l：，令得，所以点，
因为直线平行于直线l：，且过点，
所以直线：，
设直线：，联立，得，
所以，设点，，
由韦达定理可得，，
所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，
联立解得，
同理可得，所以
，
因为，所以，即A是线段MN的中点．所以．
37．（2023·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用梯形的中位线的性质得到的中点到准线的距离，从而列方程求解；
（2）先把直线改写成，先推出两条切线的交点的坐标，然后利用抛物线焦点弦的性质和两点间距离公式进行推导.
【详解】（1）
∵直线过焦点时，到的准线的距离之和为12，设准线，准线，垂足分别为，中点为，准线，垂足为，依题意，根据梯形中位线，此时的中点到的距离为，
又的中点到轴的距离为4，∴轴与间的距离为2，即.
解得，∴抛物线的方程为.
（2）
直线，即，
令，则直线，设，，
由，得，则，∴，
∴，.
设抛物线在点处的切线方程分别为，，
由，得，
∴，又，则，
∴，则.同理可得.
联立两切线方程，将，代入，解得，∴，
∴，又，
∴.
同理可得.∵，
∴要证，等价于证明，
∵，又，
∴，
同理可得，
∴，即.
题型二 抛物线中的弦长问题
策略方法
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
【典例1】（单选题）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，求得的倾斜角为，得到直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】设，则，如图所示，
不妨设的倾斜角为锐角，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，
则，，过作于，则，
所以，所以的倾斜角为，
由抛物线的焦点坐标为，
所以直线方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，可得，
可得，
所以.
故选：C.

【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，设出坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出答案.
【详解】因为直线过点，所以直线的方程为.
由得，.

设，则.
因为
，
整理得，解得，
所以抛物线的准线方程是.
故选：D.
2．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，求得的倾斜角为，得到直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】设，则，如图所示，
不妨设的倾斜角为锐角，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，
则，，过作于，则，
所以，所以的倾斜角为，
由抛物线的焦点坐标为，
所以直线方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，可得，
可得，
所以.
故选：C.

3．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点的直线与及准线依次相交于，，三点（点在点，之间），若，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，以及三角形的性质，即可求解．
【详解】如图，过作于，过作于，连接

抛物线：的焦点为，准线方程为，则
由抛物线定义可得，所以，则，故，
又有，由抛物线定义得，所以为正三角形，则，
所以，则，所以，故
故，所以，则，所以，则，不妨由图取，
又，所以，则，不妨由图取，
所以.
故选：D.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】设直线的方程为，与抛物线相切，可得，直线的方程与抛物线方程联立，设，，利用抛物线焦半径公式可得答案.
【详解】由题意可得，设直线的方程为，
由题意可得直线与抛物线必有2个交点，
与抛物线相切，联立方程组，可得，
所以，解得，故直线的方程为，
与抛物线方程联立，得，
设，，则，所以.
故选：C.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，
故选：B.
6．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．16B．26C．14D．24
【答案】A
【分析】由题意可得的值及抛物线方程，设直线AB的方程为，利用导数求得在点A及点B处的切线方程，联立可得，由M的横坐标为4得，将AB的方程代入抛物线方程，可得，由韦达定理得，进而结合抛物线定义求得弦长．
【详解】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程．
由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
设，其中，
由，得．
在点A处的切线方程为，化简得，①
同理可得在点B处的切线为，②
联立①②得，由M的横坐标为4，得，
将AB的方程代入抛物线方程，可得，
，得，
，
则．
故选：A．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）过抛物线的焦点且斜率为的直线交于、（其中在轴上方）两点，交的准线于点，且，为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，则，可得，
联立可得，即点，因此，.故选：D.
8．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，当的面积为时，则等于（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】依题意可得为等边三角形，则用可表示出，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造方程求得的值.
【详解】
依题意，所以为等边三角形，
设准线与轴交点为，则，，
则圆的半径，
，解得（负值舍去）.
故选：C.
9．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
过作，垂足为，连接，
由于，所以三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以，
所以抛物线方程为.
故选：B
10．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C：的焦点的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】先求得抛物线的方程，然后求得直线的方程，求得以及原点到直线的距离，进而求得的面积.
【详解】依题意，，所以抛物线的方程为.
依题意可知与抛物线的准线垂直，
在直角三角形中，，
则，
所以直线的方程为，
由消去并化简得，
易得，，则，
原点到直线的距离为，
所以.
故选：B

11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线的方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线和圆相切的条件可得的值，结合等腰三角形的性质可得直线的倾斜角为，从而可求得的值，由此确定的坐标，即可得点E到y轴的距离．
【详解】过作垂直于准线为

抛物线的焦点为，所以，即，抛物线为
准线方程为，
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，
设,，,，可得，
则，
所以的中点为，
，
由圆与准线相切，可得，
两边平方，化简可得，
即直线的方程为，可得直线经过焦点，则
由圆与准线相切于，可得，
由准线，且，
可得，
即，
由，可得，
即有，，
直线的斜率为，所以，则
所以点E到y轴的距离为.
故选：D.
12．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长求得直线的方程与倾斜角，求得点、点的坐标，进而求得.
【详解】抛物线，，焦点，准线.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在.
设，
由消去并化简得①，
，
设，则，
则，，
不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为.
所以，
①式为，即，解得，
，
，
所以，
则，所以.
由于，所以.
所以.
故选：D
二、多选题
13．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，则（ ）
A．直线与抛物线C相交所得弦长为
B．直线与抛物线C交于M，N两点，则
C．过点恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
D．抛物线C上的点到直线的最短距离为
【答案】ABD
【分析】联立直线与抛物线方程，用弦长公式可判断A，用斜率关系可判断B，点在抛物线外有两条切线，再考虑与对称轴平行的直线，可判断C，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离可判断D.
【详解】联立直线与抛物线方程得，
设其交点分别为，
则
所以其弦长为，A正确；
对于B，，所以，B正确；
对于C，过可作两条切线，和其有一个公共点，但也过该点，同样与抛物线有一个公共点，C错误；
设直线与抛物线相切，联立得，则，
故切线为，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离，
，D正确.
故选：ABD
14．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为D，A，B两点在C上，直线依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由直线求出D点坐标即可得；对于B、C，联立抛物线与直线方程，求出A、B点坐标即可得；对于D，求出直线AF的方程，进而求出E点坐标，用两点距离公式即可.
【详解】解：直线经过D点，令，则，
所以，则，故，A正确；
所以C：，联立，
解得，，所以，B正确；
，C错误；
直线AF的方程为，即，
与抛物线联立，可得，解得,，
则，D正确.
故选：ABD
15．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知抛物线的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于两点（在的左边），则（ ）
A．
B．若直线经过点，则
C．线段的最小值为2
D．若，则直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】由抛物线的准线求的值判断选项A；设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表示出，代入点验证选项B；利用算式判断最小值验证选项C；利用所给条件解出，得到直线斜率验证选项D.
【详解】A选项，抛物线的标准方程为，准线为，则，
准线方程，解得，故A正确；
焦点，过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，设直线的方程为，
联立整理得，恒成立，
设，则，，
，
B选项，若直线经过点，则，，故错误；
C选项，当时，的最小值为2，故C正确；
D选项，由，得，
又，，解得，，
又因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
16．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线上两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则
D．若，则的最小值为8
【答案】AD
【分析】对A，证明，故A正确；对B，点P到x轴的距离为4，故B错误；对C，把直线方程代入抛物线方程整理得，所以，故C错误；对D，由题得，当即的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.
【详解】对A，，则，焦点F坐标为，准线方程为，∴，∵，∴，当且仅当时等号成立，故A正确；
对B，∵，根据抛物线定义得，则，
而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为4，故B错误；
对C，因为直线MN过点F，设直线方程为，代入抛物线方程整理得，所以，故C错误；
对D，若，则M，F，N三点共线，由题得
，
当时的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.
故选：AD．

三、填空题
17．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可.
【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，
整理得，联立，得，，所以，
又，所以，，
所以.故答案为：.
18．（2023秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
19．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线，过原点且斜率为1的直线与交于点为的焦点．若，则的面积为 ．
【答案】2
【分析】易知直线，由，求得点P的坐标，再由求得p即可.
【详解】解：由题设知：直线，
由，得，或（舍去），
所以，
所以，解得，
又，即，
所以．
故答案为：2
20．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，从点分别向准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则弦的长为 .
【答案】5
【分析】设可得，设直线的方程为，与抛物线方程联立求出，求出，利用可得答案.
【详解】由已知得抛物线的准线方程为，，
设，
所以的中点的坐标为，所以，
设直线的方程为，与抛物线方程联立
可得，所以，可得，
所以，
所以.
故答案为：5.

21．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：

易知焦点，设，且
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然，
联立直线和抛物线方程，消去整理可得，
利用韦达定理可知，
又利用焦半径公式可知，
所以可得，
当且仅当，即时，等号成立；
综上可得，的最小值是.
故答案为：
22．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知抛物线，焦点为，准线与x轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且满足，则 .
【答案】
【分析】联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式得出，再由抛物线的定义以及余弦定理得出，进而得出，最后由得出答案.
【详解】根据对称性，不妨设
由题意知，则可设直线的方程为.
由，可得①
所以.
所以.
因为，
所以在中，由余弦定理得
因此，得，代入①得.
解得，因此
故答案为：

23．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知抛物线：的准线为，过点的直线交于，两点，的中点为，分别过点，，作的垂线，垂足依次为，，，则当取最小值时， .
【答案】
【分析】依题意不妨设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，根据求出的范围，由抛物线的性质求出
的表达式，再结合二次函数的性质求出取最小值时的值，再根据弦长公式即可得解.
【详解】依题意不妨设直线的方程为，，
联立，消得，
则，得，
，
，
又因，
则，
当时，取得最小值，
此时，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
24．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知抛物线，圆与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若，，则弦长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得，设直线的方程为，然后根据的取值范围求得的取值范围，再利用弦长公式求得弦长的取值范围.
【详解】抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径为，
由于圆与轴相切，所以，
抛物线方程为，圆，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，不妨设在第象限，在第象限，
则，，
由于，所以，
则，
即，则，，
所以，
，
函数，根据对勾函数的性质可知，
函数在上单调递增，
所以，，
，即的取值范围是.
所以.
故答案为：
【点睛】在抛物线中，求解过焦点的弦长问题，可设出直线方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，然后利用弦长公式来进行求解.
四、解答题
25．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出得解；
（2）联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及弦长公式建立方程即可得解.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，

设，.
将代入，
消去整理得 .
当时，
， .
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故.
26．（2023·陕西安康·统考三模）已知 为抛物线上一点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由点在抛物线上求出，计算得抛物线的准线方程；
（2）先设直线再联立方程组求出两根和和两根积，再应用两点间距离公式计算可得.
【详解】（1）由点在抛物线上得，即
∴抛物线的准线方程为.
（2）设直线AB的方程为，,
由直线与的倾斜角互补得，
即
∴
联立得
∴，∴，即，
∴
∴．
27．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
【答案】(1)2
(2)32
【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设，
由，可得，
易得，所以，
则，
即，因为，所以.
（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.
联立，化简可得，则，

设，则，
则，
因为，所以.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）过点的直线与抛物线交于点（在第一象限），当直线的倾斜角为时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知，延长交抛物线于点，当面积最小时，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解；
（2）首先分别设直线和直线的方程，分别于抛物线方程联立，利用韦达定理表示，并表示的面积，利用导数判断函数的单调区间，并求得函数取得最值时的点的坐标.
【详解】（1）设点，直线，
联立，得，
，
，
所求抛物线的方程是：；
（2）设直线方程：，直线方程：，点，
不妨设，联立得，
，
由，得，
，
，，
，
令，，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，故的横坐标是
30．（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得，解得、、，即可得解；
（2）由（1）可得，，即可求直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意可得，解得或，又、、，
所以，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可得，，，
因为直线直线，所以，
所以直线的方程为，即，
由，消去整理得，
设，，所以，
所以，
所以.
31．（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线的焦点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.
【答案】(1)；
(2)32
【分析】（1）由题意可知，从而即可得答案；
（2）先分析轴时，不满足题意；再设直线的方程为，直线的方程为，分别代入抛物线方程，结合韦达定理可得直线的斜率、线的斜率，再由，可求得的值及点的纵坐标，再根据弦长公式及三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）解：由已知可得，解得，
∴拋物线的方程为；
（2）解：如图所示：

设，，，
若轴，由得，，或，，
此时不满足，∴不满足题意；
设直线的方程为，直线的方程为，
将代入抛物线方程得，，
∴， .
将代入抛物线方程得，∴①.
直线的斜率为，同理直线的斜率为.
∵，∴，
∴，即②.
由①②解得，将其代入①可得，
解得或，
当时，直线的方程为，，.
∵，满足，∴， .
∴，
∴.
同理可得，当时，直线的方程为，，，
∵，满足，∴， .
∴，
∴，
∴的面积为32.
【点睛】思路点睛：求直线与圆锥曲线的相交所形成的三角形或四边形的面积(范围)时，基本思路为：联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可.
32．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点．
(1)求抛物线的方程；
(2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线．
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据题意不妨设，将点坐标代入抛物线方程求解；
（2）由（1）得到，设，分别求得直线AC，直线BD，直线BC，直线AD的方程，联立求得点E，G的坐标，证明即可.
【详解】（1）解：抛物线：（）的焦点坐标为：过点作垂因为直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，且，
不妨设，则，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为；
（2）如图所示：

由（1）知，设，
则直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，
则直线BC的方程为：，直线AD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，则，
所以E，K，G三点共线.
33．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）设，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据弦长公式计算即可；
（2）设直线：，，，联立方程，利用韦达定理求出，，注意，再结合弦长公式及点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可.
【详解】（1）设，
由，可得，
所以，，
所以，
即，因为，解得；
（2）由（1）得抛物线，
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，，
由，可得，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将，代入得，
，，
所以，且，解得或，
设点到直线的距离为，则，
，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
34．（2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的定义结合条件求解即可；
（2）根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，
∴，过H做轴于M，
∵，
∴，
∴，解得．
∴所以抛物线E的方程为．

（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
设，，AB中点，
由，
，，，
，
∴，
则
∴，
∵AB的中点到准线的距离等于，
∴当最小时，AB的中点到准线的距离最短．
∵，
当且仅当时，解得，则．
所以直线AB的方程为或.
【点睛】关键点睛：根据抛物线的定义，结合抛物线弦长公式、基本不等式是解题的关键.
35．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式列式可求出结果；
（2）设代入，利用韦达定理求出线段的中点为的坐标，得的中垂线方程，令得，由点到直线距离公式得.根据导数的几何意义求出切线和的方程，联立得，再由点到直线的距离公式求出，从而可得结果.
【详解】（1）当时，直线的方程为，
设，
联立方程组,消去得，
所以恒成立，
，，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，则，
设，显然，，线段的中点为，
联立方程组消去得，
恒成立，
所以，
所以，
所以，则的中垂线方程为，
令，得，所以，
所以.
由得，则，
不妨设，，则切线的斜率为，切线的斜率为，
则切线：，即，
切线，即，
联立方程组，解得，
由，，
得，得，
得，得，
因为，所以，而，
所以，所以，
则，所以，
所以点到直线的距离.
故.

【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求出切线和的方程，再联立得的坐标是解题关键.
36．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知拋物线和圆．
(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；
(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到，再根据重要不等式计算可得；
（2）设，，，即可得到、的方程，由点到直线的距离公式得到、为方程的两根，即可得到，由可得，由斜率之积为，求出，即可得解.
【详解】（1）拋物线的焦点为，准线为，则，
设方程为，，，
由，消去整理得，所以，，
所以，，
则
，当且仅当时取等号，
即的最小值为.
（2）设，，，
则，，
圆的圆心为，半径，
所以，则，
同理可得，
所以、为方程的两根，
所以，又，所以，
所以，即，解得，
所以点坐标为或.
题型三 抛物线中的中点弦问题
策略方法
设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即，
同理，对于抛物线，则有
【典例1】（单选题）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（ ）
A．2或－2B．2或－1
C．2D．3
【答案】C
【分析】将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理以及中点坐标公式求解.
【详解】设A，B两点的坐标为，，
将直线方程与抛物线方程联立
得，则，解得，
由已知得，解得 或（舍去）．
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值．
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，
则，两式相减得，整理得，
因为MN的中点为，则，
所以，即直线l的斜率为3．
故选：C．
3．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，是线段的中点，是的焦点，的面积等于3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先求出F,设出A、B、M，用“点差法”找出，利用的面积等于3计算出，求出斜率k.
【详解】由抛物线知：焦点
设
因为是线段的中点，所以
将和两式相减可得：，
即
∵
∴,
.
故选：B
【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
6．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，利用基本不等式可求得直线斜率的最大值.
【详解】易知抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，则，
故点，，
若直线的斜率取最大值，则，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故直线斜率的最大值为.
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.
【详解】由题意可得抛物线的焦点.
弦AB的中点M的横坐标为，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为，，
则联立，消去y得，
∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为，
∴，∴，，
∴点A到准线的距离为，
点B到准线的距离为，
所以∴，
又，故.
故选：D
8．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
9．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线：，用点差法表示出的中点为，利用半径相等得到：,解出k，即可求出.
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，
所以抛物线的方程为，其焦点为.
因为直线过抛物线的焦点，
所以直线的方程为.
因为，
所以在以为直径的圆上.
设点，，联立方程组，
两式相减可得，
设的中点为，则.
因为点在直线l上，
所以，所以点是以为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆的半径，
因为，
所以，解得，
所以弦长.
故选：C.
【点睛】处理直线与二次曲线相交的问题：
（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决大部分直线与二次曲线相交的问题；
（2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
二、多选题
11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（ ）
A．B．
C．D．点在以为直径的圆内
【答案】AB
【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得，知A正确；
将中点坐标代入直线方程即可求得，知B正确；
根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；
根据长度关系可确定，由此可确定D错误.
【详解】对于A，设，，
由得：，，
又线段的中点为，，解得：，A正确；
对于B，在直线上，，B正确；
对于C，过点，为抛物线的焦点，
，C错误；
对于D，设，则，又，
，，在以为直径的圆上，D错误.
故选：AB.
12．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；
对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；
对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；
对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.
【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：

则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A.设， BC中点，则由重心分中线得到判断；B.结合选项A得到，再由点M的坐标写出直线方程判断；C.，得到判断；D.分别求得，判断.
【详解】解：设，
因为F为重心，
所以，设BC中点，则，
，由重心分中线得，
即，
又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确；
，
直线，故B正确；
因为，所以，所以，故C错误；
，同理，
所以，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
15．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
16．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.
【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
17．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．
【详解】设又，
因为，所以，
又，则，得
则直线的斜率为，故直线的方程为，
化简为．
联立，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为：．
18．（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
【答案】6
【分析】要求，需要求出，设直线的斜率为，根据条件表示出线段的垂直平分线方程，令，可得，又由点差法可得，从而可求出，即也可知道，从而可求出
【详解】由题意得，设线段的中点为，
则，
设直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
又，作差得
整理得，
所以，
∴．
故答案为6．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，是基础题
四、解答题
19．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.
（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.
【详解】（1）因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
21．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切．圆心的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的两点，记中点为，过作的垂线交轴于．
①求；
②当时，求的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）①设，再求出，根据垂直关系的直线方程求得即可得；
②根据两点间的距离公式表达，结合基本不等式可得，进而求得的最大值
(1)
设，由题意，则到的距离等于到的距离，故的轨迹为抛物线；
(2)
设，则，
①故，
，令，得
，故，即，
②由题意，即
，故．
22．（2023·全国·高三专题练习）直线与曲线交于，两点，与的中点的横坐标为2．
（1）求曲线的方程；
（2）过，两点作曲线的切线，两切线交于点，直线交曲线于点，求证：是线段的中点．
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【解析】（1）设，，，，利用平方差法求解直线的斜率，推出，然后求解曲线的方程．
（2）求出抛物线在，点处的切线方程，抛物线在点，处的切线方程，联立求出．然后转化证明即可．
【详解】解：（1）设，，，，
则，
于是直线的斜率，所以
所以曲线的方程为．
（2）因为，所以，
则抛物线在，点处的切线方程为：，
整理得：，
同理：抛物线在点，处的切线方程为：
联立方程组解得：，解得：，即．
而，所以直线的方程为：；与抛物线方程联立可得
由，，，可得是线段的中点．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；
(2)设直线的方程为代入抛物线，利用判别式大于0可得，
根据韦达定理求出的中点坐标，将其代入直线得到与的关系式，根据的范围可得的范围．
【详解】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，直线与y轴交于点P与抛物线交于点Q，且
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设点，由点Q在抛物线上和，利用抛物线的定义求解；
（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，求得及的中点M，再得到线段的垂直平分线方程，与抛物线方程联立，求得求得及的中点N, G根据四点共圆，则为圆心，由求解；方法2:根据 四点共圆，利用点差法得到，，，，，再由垂直关系求解.
【详解】（1）解：设点，
由题意得，解得
所以抛物线的方程为
（2），设，
直线的方程为由，得，
，
所以，
，
所以的中点
所以线段的垂直平分线为，
将抛物线方程代入得，
所以，，，
所以，
的中点，
四点共圆，
所以为圆心，
即，
解得，
故直线的方程为
方法2:设，
垂直平分，且四点共圆，
，由点差法得，
，，，，，
于是，，
，
直线的方程为
25．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，其中.直线：与抛物线交于，两点.
（1）证明：；
（2）若直线与圆：交于，两点，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）设，，代入抛物线方程，两式作差，结合中点坐标公式得出，再根据在抛物线内部，即可证明；
（2）利用圆的弦长公式得出，由弦长公式得出，进而得出，开方即可得出.
【详解】（1）证明：设，，则，两式相减得，
显然，
故，即，
因为，所以，
易知在抛物线内部，故，
故，
故.
（2）证明：依题意，圆：
故圆心到直线的距离，所以
所以
由，消去并整理得：
由，得，
设，，则，，
，
故，即.
所以.
【点睛】本题主要考查了抛物线的中点弦问题以及抛物线的弦长公式，属于中档题.
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，交直线，于点C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.当l的斜率为2时，AB中点的纵坐标为1.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)记△的外接圆面积为，的外接圆面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由中点坐标公式及斜率公式即可求解值；
（2）由已知条件可知△和为直角三角形，将外接圆的面积之比转化为线段和之比，利用弦长公式求出，利用直线联立求出交点坐标，进而求出，最后利用导数求出最值即可.
【详解】（1）设，，
由题意可知，当时，，
于是，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，与联立并整理得，
则，所以，， 则，
∵，
∴，AB为△外接圆的直径，
∴，
又∵直线和垂直，
∴，即的外接圆直径为CD，
设，，
联立得，同理可得，
∴，
∴，
令，所以，，
记，则，
当时，，单调递增，
所以当时，，
故的最大值为1.
27．（2023·广西玉林·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线上，顶点，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义及已知条件可得为等边三角形，再利用数量积的定义求出，即可求出，从而得解；
（2）设，，利用重心坐标公式得到中点坐标为，再利用点差法求出，即可求出直线方程.
【详解】（1）∵，∴为等边三角形，
∴，
又，∴，
设直线交轴于点，则在中，，
∴抛物线的方程为．
（2）设，，由（1）可得焦点，
由重心坐标公式得，
∴中点坐标为，
将，的坐标代入抛物线的方程可得，
作差，即，
所以，即直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用点到准线的距离公式和的几何意义进行求解；
（2）先将等价于，再转化为斜率之积，联立直线和抛物线方程，利用根与系数的关系、斜率公式得到，再利用恒成立求出定点；再利用三角形的面积公式和基本不等式进行求解.
【详解】（1）解：由题知，解得，
所以抛物线C的标准方程为；
（2）解：当不经过点Q时，等价于，
即．
因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，
设，，，，
联立与C方程，得，
且，
由韦达定理，得，，
又，同理，
所以，所以，
代入整理得，
要使该式恒成立，则，解得，
又经检验，当经过点Q时，仍然成立，
所以存在定点使得；
因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，且，
又因为，设，，
联立与C方程，得，
且，所以；
因为N为中点，所以，
且，
所以，
所以，当时取到等号，
所以折线围成面积的最小值为2，
即最小值为2．①直线与抛物线的位置关系
②抛物线中的弦长问题
③抛物线中的中点弦问题