第28讲 等差数列（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

这是一份第28讲 等差数列（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第28讲等差数列精讲原卷版docx、第28讲等差数列精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
2.等差中项的概念
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2.等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
1.通项公式的推广：．
2.在等差数列中，当时，．
3.，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．
5.若，是等差数列，则也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
【常用结论】
1.等差数列中，若，则．
2.等差数列中，若，则．
3.等差数列中，若，则．
4.若与为等差数列，且前项和为与，则．
二、题型分类精讲
题型一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中，，，则201是数列的第几项（ ）
A．59B．60C．61D．62
【典例2】在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列中，，，则=（ ）
A．9B．11C．13D．15
4．（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文D．乙分到26文，丁分到30文
7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200B．300C．210D．320
二、填空题
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列中，，，则的公差是 ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ．
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列中，，则的值是 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，若，则 ．
13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为 ．
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
题型二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
【典例1】已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．40C．50D．45
【典例2】已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
4．（2023·青海西宁·统考二模）已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（ ）
A．35B．40C．45D．50
5．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．4C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
9．（2023·全国·高三专题练习）“”是“数列为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，，=
12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列，， .
13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，，，则 .
14．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，是方程的根，则＝ .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
题型三 等差数列的前n项和
策略方法
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【典例1】设是等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【典例2】已知为等差数列的前项和，，则的值为（ ）
A．4B．7C．8D．9
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列中，是其前项和，若，，则（ ）
A．7B．10C．11D．13
2．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层B．十层C．十一层D．十二层
3．（2023·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸B．5尺3寸C．5尺4寸D．5尺5寸
6．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
7．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．6B．12C．18D．24
8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（ ）
A．20B．24C．25D．28
9．（2023·全国·高三专题练习）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列的前项和是，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则公差为 .
16．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则数列的公差 ．
17．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为 .
18．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，，则 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则 .
题型四 等差数列中与的关系
策略方法 等差数列中与的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知数列的前项和，则
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2023·河南开封·统考一模）已知数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A．27B．28C．29D．30
5．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前项和.若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
7．（2023·北京·高三专题练习）在无穷正项等差数列中，公差为，则“是等差数列”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是递增数列
C．，，成等差数列
D．，，成等差数列
二、多选题
9．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．当时，
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2023·河南郑州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和，则该数列的通项公式为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ．
题型五 等差数列的判定与证明
策略方法 等差数列的判定与证明的方法
【典例1】已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（2023·全国·高三专题练习）数列满足（，），，其前n项和为，若，则（ ）
A．47B．46C．45D．44
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
10．（2023·全国·模拟预测）设是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题
11．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动，甲第1分钟走2，以后每分钟比前1分钟多走1，乙每分钟走5.若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过 分钟.
12．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，则正整数 ．
13．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知数列，都是等差数列，且，，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则 .
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
16．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；
17．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前n项和
④等差数列中中与的关系
⑤等差数列的判定与证明
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列