新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量7-4空间角与距离、空间向量及其应用课件

这是一份新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量7-4空间角与距离、空间向量及其应用课件，共37页。

题型一　求解异面直线所成角的方法1.定义法(平移法)(1)常见的平移方法有:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中 点)作平行线平移;③补形平移.
 2.向量法建立空间直角坐标系后,确定两直线的方向向量a,b,则两异面直线所成角θ满足cs θ=  .
(2)用平移法求异面直线所成角的一般步骤:
例1    (2021全国乙文,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与 AD1所成的角为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
  解析    解法一(平移法):第一步:根据所求找平行线.如图所示,连接BC1,C1P,易知四边形ABC1D1是平行四边形,∴BC1∥AD1,第二步:指出异面直线所成角.∴∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与PB所成的角,第三步:在三角形中用余弦定理的推论求角.设正方体的棱长为a,则BC1= a,C1P= a,PB= = a.在△C1BP中,cs∠PBC1= = ,∴∠PBC1= ,即直线PB与AD1所成的角为 .故选D.
 解法二(向量法):第一步:建立坐标系写出向量坐标.以点D为坐标原点建立空间直角坐标系(如图), 
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(1,1,2),D1(0,0,2),从而 =(1,1,-2), =(-2,0,2),第二步:用向量的夹角公式求角.因而|cs< , >|= = = .所以直线PB与AD1所成的角为 .故选D.
题型二　求解直线与平面所成角的方法1.定义法(1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定垂足的位置 是关键;(2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;(3)求:构造角所在的三角形,利用 解三角形的知识求角.求解公式:如图,sin θ= (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离,l为该点到斜足的距离,θ为斜线与平面α所成的角).
2.向量法sin θ=|cs< ,n>|= (其中 为平面α的斜线AB的方向向量,n为平面α的法向量,θ为斜线与平面α所成的角).
例2　如图,直四棱柱❶ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,A1B1=A1C1=2,AA1=2 .(1)证明:平面A1C1B⊥平面BDD1B1❷;(2)求直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值❸. 
  知识联想    由❶可知,侧棱垂直于底面;由❷想到面面垂直的判定定理;由❸联想:采用定义法找出线面角,从而在直角三角形中求其正弦值;或利用向量法结合向量的夹 角公式求解.
  解析    (1)证明:∵四边形A1B1C1D1是菱形,∴A1C1⊥B1D1.又BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.(线面垂直的性质定理)∵B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1⊂平面BDD1B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,(线面垂直的判定定理)∵A1C1⊂平面A1C1B,∴平面A1C1B⊥平面BDD1B1.(面面垂直的判定定理)(2)解法一:连接AC交BD于点O,设A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,依题意可知,OO1⊥平 面ABCD,以O为原点,OC,OD,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间
直角坐标系, 则B(0,- ,0),A1(-1,0,2 ),C1(1,0,2 ),D(0, ,0),∴ =(1, ,2 ), =(-1, ,2 ), =(-1, ,-2 ).设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z),则 即 
取n=(0,2,-1),设直线DC1与平面A1C1B所成角为θ,则sin θ=|cs< ,n>|= = = .∴直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值为 .解法二:如图,连接AC交BD于点O,设A1C1与B1D1交于点O1,连接BO1,OO1,过D点作DH⊥ BO1于点H,连接HC1.
 ∵平面BDD1B1∩平面A1C1B=BO1,∴DH⊂平面BDD1B1,由(1)知,A1C1⊥平面BDD1B1,∴A1C1⊥DH,∵BO1⊂平面A1C1B,A1C1⊂平面A1C1B,BO1∩A1C1=O1,∴DH⊥平面A1C1B,则∠DC1H为直线DC1与平面A1C1B所成的角.∵AA1=2 ,AB=AC=2,
∴BO= ,∴BD=2 ,∴sin∠DBH= = .∵BO= ,OO1=AA1=2 ,∴BO1= ,∴sin∠OBO1= = ,∴DH= .∵DC1= =4,∴sin∠DC1H= = ,
∴直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值为 .
题型三　求解二面角及平面与平面的夹角的方法
一、求二面角的方法(一)通过找二面角的平面角进行求解1.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.2.垂面法:过棱上任一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成 的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.3.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的 垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理即可找到所求二面角的平面角或其补 角,如图(3),∠ABO为二面角α-l-β的平面角.
 (二)利用公式进行求解1.射影面积公式:cs θ= (当二面角的平面角是锐角时,二面角的平面角为θ,当二面角的平面角是钝角时,二面角的平面角为π-θ),该方法主要用来解决无棱二面角大小的计
算,关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影.2.向量法:利用公式cs= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.
二、求平面与平面夹角的方法求平面与平面夹角的方法与求二面角的方法类似,但要注意平面与平面夹角的范围是  .
例3    (2024广东广州调研考试,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,CD∥AB,∠ABC=90°,AB= 2BC=2CD=4,三棱锥B-PAD的体积为 .(1)求点P到平面ABCD的距离;(2)若PA=PD,平面PAD⊥平面ABCD,点N在线段AP上,AN=2NP,求平面NCD与平面 ABCD夹角的余弦值. 
  解析    (1)设点P到平面ABCD的距离为h,则VB-PAD=VP-ABD= h·S△ABD= ,由题意可知S△ABD= AB·BC=4,所以h= = = ,所以点P到平面ABCD的距离为 .(2)解法一:取AD的中点M,连接PM,因为PA=PD,所以PM⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,PM⊂平面PAD,
所以PM⊥平面ABCD,(面面垂直的性质定理)由(1)知PM= .由题意可得BD=2 ,AD= =2 ,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.以D点为坐标原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,过点D作PM的平行线为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2 ,0,0),P( ,0, ),C(- , ,0),则 =(- , ,0), =(2 ,0,0), =(- ,0, ), =  = ,所以 = + = .
设平面NCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 故可取n1=(1,1,-2),易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),设平面NCD与平面ABCD的夹角为θ,则cs θ=|cs|= = = ,所以平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为 .
 解法二:如图,取AD的中点M,连接PM,在线段AM上取一点H,使得AH=2HM,连接NH,在 平面ABCD中,过点H作HK⊥CD,交CD的延长线于点K,连接NK.
 因为AN=2NP,所以NH∥PM,NH= PM= .AH= AM= AD= .因为PA=PD,所以PM⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,PM⊂平面PAD,所以 PM⊥平面ABCD,所以NH⊥平面ABCD,(线面垂直的性质)因为CD⊂平面ABCD,所以NH⊥CD,
又HK⊥CD,且HK∩NH=H,HK,NH⊂平面NHK,所以CD⊥平面NHK,因为NK⊂平面NHK,所以CD⊥NK,所以∠NKH(或其补角)是平面NCD与平面ABCD的夹角.在Rt△HDK中,易知DH= ,∠KDH=45°.所以KH=DH·sin 45°= ,所以cs∠NKH= = = ,故平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为 .
题型四　求解空间中距离的方法1.点到直线的距离(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n,A为直线l外一点,则点A到直线l的距离d=  ;(2)若能求出点在直线上的射影坐标,可以直接利用两点间距离公式求距离.2.求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线,求点到垂足的距离;(2)等体积法;(3)向量法.
例4    (2024山东济南调研考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底 面ABCD❶,PA=AD=3,点F是棱PD的中点,点E是棱DC上一点❷.(1)证明:AF⊥EF;(2)若直线BP与平面AEF所成角的正弦值为 ,求点B到平面AEF的距离❸. 
  知识联想    由❶联想线面垂直与线线垂直之间的转化,在解答时灵活运用;由❷可知,点E是动点,最好的解决方法是建系设出点的坐标,利用线面角的大小确定点E的位置; 由❸联想求点面距的方法.
  解析    (1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD.因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF,因为PA=AD,点F是PD的中点,所以AF⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PDC,
所以AF⊥平面PDC,又EF⊂平面PDC,所以AF⊥EF.(2)由题意得PA,AB,AD两两垂直.如图,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,0,3),P(0,0,3),F , 
则 = , =(-3,0,3),设点E(m,3,0)(0≤m≤3),则 =(m,3,0),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则 即 令x=3,可得n=(3,-m,m),设直线BP与平面AEF所成的角为θ,则sin θ=|cs< ,n>|= 
= = ,整理得m2-22m+21=0,解得m=1或m=21(舍去),所以E(1,3,0),n=(3,-1,1),又 =(3,0,0),所以点B到平面AEF的距离d= = .
例    (多选)(2024辽宁适应性考试,9)在空间直角坐标系中,有以下两条公认事实:(1)过点P0(x0,y0,z0),且以u=(a,b,c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为 = = ;(2)过点P(x0,y0,z0),且以v=(m,n,t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x-x0)+n(y-y0)+t(z-z 0)=0.现已知平面α:x+2y+3z=6,l1: l2:x=y=2-z,l3: = = ,则 (　    )A.l1∥α　    B.l2∥α　    C.l3∥α　    D.l1⊥α
  解析    平面α:x+2y+3z=6即x-1+2(y-1)+3(z-1)=0,则平面α的法向量为v=(1,2,3).对于l1: 则6x-3=3y=2z+1,即 = = ,所以l1过点 ,方向向量为u1= ,所以v=6u1,所以v∥u1,所以l1⊥α,故A错误,D正确.对于l2:x=y=2-z,即 = = ,所以l2过点(0,0,2),方向向量为u2=(1,1,-1),点(0,0,2)适合平面α的方程x+2y+3z=6,所以l2与平面α有公共点,故B错误.对于l3: = = ,所以l3过点(1,0,0),方向向量为u3=(5,-4,1),因为v·u3=(1,2,3)·(5,-4,1)=5-8+3=0,所以v⊥u3,所以l3⊂α或l3∥α,但点(1,0,0)不适合方程x
+2y+3z=6,故l3⊄α,所以l3∥α,所以C正确.故选CD.