2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：8.5　空间向量及其应用、空间角与距离 【KS5U 高考】

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考点二  空间角与距离
考向基础1.直线与平面所成的角(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的①　锐角    ,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和 平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0°.(3)直线l与平面α所成角θ的取值范围
2.二面角(1)二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的空间图形叫 做二面角.公共交线叫做该二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.若记此角为θ,当θ= 90°时,二面角叫做直二面角.
方法1  空间角与距离的向量求法1.两条异面直线所成角的向量求法设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,其夹角为φ,异面直线l,m所成的角 为θ,则根据cs θ=|cs φ|= 求θ.2.直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与 u的夹角为φ,则根据sin θ=|cs φ|或cs θ=sin φ求θ.3.二面角的平面角的向量求法(1)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则
二面角的平面角就是向量 与 的夹角(如图甲). (2)设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、丙).4.点面距离的向量求法如图,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的 距离| |=| |·|cs< ,n>|= .
 5.线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.6.异面直线间距离的求法如图所示,CD是异面直线a与b的公垂线段,A、B分别为a、b上的两点, 令n⊥a,n⊥b,则n∥ .
 ∵ = + + ,∴ ·n= ·n+ ·n+ ·n,即 ·n= ·n.∴两异面直线a与b的距离d=| |= .
例1    (2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别 是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 (　　)A. 　    B. C. 　    D. 解题导引     
解析　以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴ =(-1,0,-2), =(1,-1,-2),∴cs< , >= = = = ,故选C.
例2　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是  (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. 
令x=1,则y=-1,z=-1,故n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离是d= = = .
 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则 即 
方法2  用向量法求立体几何中的探索性问题常见的探索性问题有以下两种类型:(1)条件追溯型:解决此类问题的基本策略为执果索因,其结论明确,需要 求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找 到切入点.但在执果索因的过程中,常常会犯的错误是将必要条件当成 充要条件,应引起注意.(2)存在判断型:解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略为:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在;若导出与条件相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统方法解决起来难度比较大,若用空间向量
通过待定系数法求解存在性问题,则思路简单,解法固定,操作方便.
例3    (2016北京,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由. 
解析　(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,平面PAD∩平面 ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2, 0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 即