新高考数学一轮复习专题一集合、常用逻辑用语与不等式1-3不等式课件

这是一份新高考数学一轮复习专题一集合、常用逻辑用语与不等式1-3不等式课件，共17页。

题型一　不等式的恒成立问题
解决不等式中的恒成立问题常用以下方法:1.分离参数法若不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立,将f(x,λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D) 恒成立,进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,求g(x)(x∈D)的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离,函数最值易求的题目.2.主参换位法变换思维角度,即把变量与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取 值范围列式求解.一般地,条件给出谁的范围,就看成有关谁的函数,利用函数单调性求解.
3.数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位 置(相对于x轴)关系求解.此外,若涉及的不等式能转化为一元二次不等式,则可结合相应一元二次方程根的分 布解决问题.
例1　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对任意的x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范 围是　　　　 　　　    .
  解析    (分离参数法):要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即mx2-mx+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立,因为x2-x+1= + >0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m< .因为函数y= = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需m< 即可.因为m≠0,所以m的取值范围是 .
例2　当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围是 (　    )A.[-1,3]　    B.(-∞,-1]C.[3,+∞)　    D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
  解析    主参换位法:不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),则 ∴x<-1或x>3.
题型二　利用基本不等式求最值1.配凑法:将代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数等方法,配凑成和为定值 或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.2.常数代换法:将已知式通过变形转化为右侧为“1”的等式,然后将所求最值表达式 与“1”的表达式相乘或相除,转化为和为定值或积为定值的形式,再利用基本不等式 求最值.
3.利用基本不等式求多元代数式的最值问题,首先要观察多元代数式是否满足直接利 用基本不等式求最值的条件,若不满足,可以尝试对表达式进行等价变形,配凑成能用 基本不等式的形式,若条件和式子比较复杂,则可先利用消元法、换元法等进行转化,再利用基本不等式求解,注意转化的等价性和“新元”的取值范围,同时也要检验基 本不等式中等号成立的条件.
例3    (2024豫东、豫北十所名校联考,7)已知正数a,b满足4a2b+6ab2=6a+b,则2a·( )3b的最小值为 (　    )A.16　    B.8 　    C.8　    D.4
  解析    依题意知,2ab(2a+3b)=6a+b,故2a+3b= = + ,所以(2a+3b)2= ·(2a+3b)=10+ + ≥10+2 =16,当且仅当 = ,即b=2a时等号成立,故2a+3b≥4,则2a·( )3b=( )2a+3b≥( )4=4,则2a·( )3b的最小值为4.故选D.
例4    (2024安徽江淮名校调研,15)已知正实数a,b满足9a2+4b2=16,则 的最大值为　　　    .
  解析    (换元法):令x=3a,x>0,y=2b,y>0,则x2+y2=16,所以 = = = =x+y+4,又知 ≤ =8,所以x+y≤4 ,从而得x+y+4≤4 +4,当且仅当x=y=2 时等号成立,故 的最大值为4 +4.
例    (2024九省联考,14)以max M表示数集M中最大的数.设0  解析    设 那么 ①若b≥2a,则1-y-z≥2(1-x-y-z),从而2x+y+z≥1,记m=max{b-a,c-b,1-c},从而 所以4m≥2x+y+z≥1,解得m≥ .②若a+b≤1,则1-x-y-z+1-y-z≤1,从而x+2y+2z≥1,
记m=max{b-a,c-b,1-c},从而 所以5m≥x+2y+2z≥1,解得m≥ .综上,m≥ ,即max{b-a,c-b,1-c}的最小值为 .