新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-2椭圆练习课件

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-2椭圆练习课件，共55页。
1. (2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意 一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　    )A. + =1(y>0)　    B. + =1(y>0)C. + =1(y>0)　    D. + =1(y>0)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,点M 在C上,且MF⊥x轴.(1)求C的方程;(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明: AQ⊥y轴.
  解析    (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,∴c=1, = ,结合c2=a2-b2,解得a=2,b= ,∴C的方程为 + =1.(2)证明:当直线AB与x轴重合时显然符合题意.当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
由根与系数的关系得y1+y2= ,y1y2= ,∵N为FP的中点,∴N ,∴直线NB的方程为y=  ,令x=1,解得yQ=- ,∴y1-yQ=y1+ = = ,∵2ty1y2+3(y1+y2)=2t· +3· =0,
∴y1=yQ,即AQ⊥y轴.综上,AQ⊥y轴.
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P 为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
  解析    (1)将A(0,3),P 代入椭圆方程 + =1得  解得  所以椭圆的离心率e= = .(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=3,此时S△ABP= ×3×3= ,不符合题意.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+ ,联立 
消去y整理得(3+4k2)x2+(12k-24k2)x+36k2-36k-27=0,设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= ,∴|BP|= · = · ,又点A到直线l的距离d= ,∴S△ABP= |BP|·d= × · · =9,解得k= 或k= ,
∴直线l的方程为y= x或y= x-3.
考点1　椭圆的定义和标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　    )A.13　    B.12　    C.9　    D.6
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C: +y2=1的两个焦点,点P在C上,若 · =0,则|PF1|·|PF2|= (　    )A.1　    B.2　    C.4　    D.5
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D.2
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若 · =-1,则C的方程为 (　    )A. + =1　    B. + =1　    C. + =1　    D. +y2=1
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2= ,则|OP|= (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2 .(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交 于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
  解析    (1)由题意得b=1,c= ,则a= =2,所以椭圆E的方程为 +y2=1.(2)过点P且斜率为k的直线方程为y-1=k(x+2),设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线和椭圆E的方程得 可得(1+4k2)·x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)·(16k2+16k)>0,解得kb>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D 两点,且|CD|= |AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
  解析    (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c= .不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为 ,- ;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c.由|CD|= |AB|得4c= ,即3× =2-2 .解得 =-2(舍去)或 = .所以C1的离心率为 .(2)由(1)知a=2c,b= c,故C1: + =1.设M(x0,y0),则 + =1, =4cx0,故 + =1.①
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得 + =1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为 + =1,C2的标准方程为y2=12x.
考点2　椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1: +y2=1(a>1),C2: +y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2= e1,则a= (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　    )A. 　    B. 　    C.- 　    D.- 
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2 ,则l的方程为　    x+ y-2 =0　    .
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　    8　    .
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　     　    ,椭圆的离心率是　     　    .
8.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为 .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是        13　    .
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C: + =1上一点,F1,F2为C的两个焦点,且|PF2|=8,则|PF1|= (　    )A.10　    B.12　    C.14　    D.16
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C: +y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为 ”的 (　    )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若 =2 ,则椭圆C的离心率为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆C上一点,且|PF1|=4|PF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F2Q|∶|F1P|∶|F1Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离 心率为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为 (　    )A. 　    B. 　    C.3 　    D.4 
7.(多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆 C: + =1的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是 (　    )A.椭圆C的离心率e= B.|PF1|+|PF2|=5C.△PF1F2面积的最大值为12D.|PF1|的最小值为 
8.(多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,若过F1且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于A,B两点,则 (　     )A.C的离心率为 　    B. · =2C.点F2到直线l的距离为 　    D.△PAB的周长为8
9.(多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得 轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1,远日点(距离太阳最远的点) 与太阳中心的距离为d2,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则 (　    )A.轨道的焦距为d2+d1B.轨道的离心率为 C.轨道的短轴长为2 D.当 越大时,轨道越扁
10.(2024山东青岛一模,13)已知O为坐标原点,点F为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点,点A,B在C上,AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为　     　    .
11.(2024山东潍坊、滨州一模,16)已知椭圆E: + =1(a>b>0),点A,C分别是E的左、上顶点,|AC|= ,且E的焦距为2 .(1)求E的方程和离心率;(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1, k2,若k1+k2=-3.求k的值.
  解析    (1)因为|AC|= ,所以a2+b2=5, (2分)又因为焦距为2 ,所以a2-b2=3, (4分)解得a2=4,b2=1. (5分)所以椭圆E的方程为 +y2=1,离心率e= . (7分)(2)由(1)知C(0,1),设R(x1,y1),S(x2,y2),x1≠x2,y1y2≠0,所以k1= ,k2= , (8分)由题意知直线RS:y=k(x-1)(k≠±1),代入 +y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
则有x1+x2= ,x1x2= . (10分)因为k1+k2=-3,所以k1+k2= + = = =-3,即(2k+3)x1x2-(k+1)(x1+x2)=0,所以(2k+3) -(k+1) =0,整理得k2-2k-3=0. (14分)又k≠±1,所以k=3.故k的值为3. (15分)
1.(2024山东淄博一模,8)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共 点,且P,Q关于原点对称,∠PF2Q= ,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则 + 的最小值是 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
2.(多选)(2024安徽阜阳一模,10)已知O为坐标原点,椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2.A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为上顶点,则 (　     )A.|AB|的最小值为4B.|AF1|+|BF1|为定值C.存在点A,使得AF1⊥AF2D.kPA·kPB=- 
3.(多选)(2024安徽合肥第一次质检,11)已知椭圆C: + =1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N, 交x轴于点T,则 (　     )A.存在点M,使∠AMB=120°B. · =2 · C. · 的最小值为- D.△FMN周长的最大值为8
4.(2024山西晋城二模,14)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,若△OAF1的面积为 b2,其中O为坐标原点,则 的值为　     　    .
5.(2024河北唐山一模,14)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交E于A,B两点,C(0,-1)是线段BF1的中点,且 · = ,则E的方程为　     + =1　    .
6.(2024湖南师大附中二模,17)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(a>b>0)的右顶点为(2,0),离心率为 ,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求 出λ的值;若不存在,说明理由.
  解析    (1)由题意知a=2,e= = ,∴c= ,∴b2=a2-c2=1,∴椭圆的方程为 +y2=1. (5分)(2)设存在常数λ,使得k1+k3=λk2.当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1, (7分)代入椭圆方程得A ,B ,此时P(4,0),可得k1+k3=0=k2;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0, (9分)
∴x1+x2= ,x1x2= . (10分)∵P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点,∴直线PM的方程为y=- (x-1),∴P , (11分)k2=- ,k1= ,k3= ,∵k1+k3=λk2,∴ + = =λ ,将x1+x2= ,x1x2= 代入上式,并化简得- =- ,解得λ=2.综上,存在常数λ=2,使得k1+k3=λk2. (15分)
7.(2024安徽皖江名校联盟联考,18)已知点P在椭圆C: + =1的外部,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)①若点A坐标为(x1,y1),求证:直线PA的方程为 + =1;②若点P的坐标为(x0,y0),求证:直线AB的方程为 + =1.(2)若点P在圆x2+y2=4上,求△PAB面积的最大值.
  解析    (1)证明:①当PA的斜率存在时,y1≠0,设直线PA的方程为y-y1=k(x-x1),联立 消去y整理得(1+2k2)x2+4k(y1-kx1)x+2(y1-kx1)2-4=0,由已知得Δ=16k2(y1-kx1)2-4(1+2k2)[2(y1-kx1)2-4]=0,化简得(4- )k2+2x1y1k+2- =0.因为 +2 =4,所以4 k2+4x1y1k+ =0,即(2y1k+x1)2=0,所以k=- ,
则直线PA的方程为y-y1=- (x-x1),即x1x+2y1y= +2 ,则x1x+2y1y=4,故直线PA的方程为 + =1,当PA的斜率不存在时,y1=0,直线PA的方程为x=2或x=-2,满足上式.综上,直线PA的方程为 + =1.②设B(x2,y2),由①知,直线PB的方程为 + =1. + =1, + =1,则A(x1,y1),B(x2,y2)两点都在直线 + =1上,
由于两点确定一条直线,所以直线AB的方程为 + =1.(2)由(1)②知直线AB的方程为 + =1,由题意知y0≠0,联立 消去y整理得( +2 )x2-8x0x+16-8 =0,因为 + =4,所以Δ=64 -4( +2 )(16-8 )=32 >0.因为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2= = ,x1x2= ,
所以|AB|= = = ,又点P到直线AB的距离d= = ,所以△PAB的面积S= |AB|d= (y0≠0),当0