2023-2024学年福建省福州第一中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年福建省福州第一中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx2−x−12<0，B=x∈Rlg25−x<1，则∁RA∩B=( )
A. x−32.“a+b<−2，且ab>1”是“a<−1，且b<−1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设函数fx=3xx−a在区间0,32上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,−1B. −3,0C. 0,1D. 3,+∞
4.A校和B校进行排球决赛，决赛规则为“5局3胜”，已知每局比赛A校获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则A校在先失一局的情况下，战胜B校的概率为( )
A. 297625B. 189625C. 162625D. 27125
5.新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
由表格可得Y关于x的非线性回归方程为y=6x2+a，则此回归模型第5周的残差为( )
A. 0B. 2C. 3D. ―2
6.已知关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. 5,6B. −4,−3C. −4,−3∪5,6D. −4,−3∪5,6
7.设(13)a=2,b=lg1213,c=(12)−13，则有( )
A. a8.已知实数a，b满足a>b>0，且aa=bb，e为自然对数的底数，则( )
A. b>1eB. a+b>2eC. aa二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A. y=2x+x2B. y=x2+3 x2+2
C. y=3x−1xD. y=x−1+4x+1
10.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)，则下列结论正确的是( )
A. E1(X)+E1(Y)=5B. E1(X)C. E2(X)11.已知定义在R上的函数fx，gx满足f3−x=f1+x，g2−x+gx=2，gx+12=f2x+1，则下列结论正确的是( )
A. f6−x=f6+xB. gx+2=gx
C. f6−x+fx=0D. i=124fi+gi=48
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(22.5)= ．
13.已知函数fx的定义域为R，y=fx+ex是偶函数，y=fx−3ex是奇函数，则fx的最小值为．
14.函数f(x)=xx−1−1,x≥0,1x−1,x<0,，若函数gx=f1−x−ax+1a≠0恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=3lnx+a(x2+25)−5x2，直线l在y轴上的截距为3，且l与曲线y=f(x)相切于点(1,f(1))．
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
16.(本小题12分)
某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，P(A|B)=34，P(A|B)=14，PB=45．
(1)求P(A|B)和PA，并证明A与B不独立；
(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表：
利用独立性检验，计算得χ2=1.350.为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的tt∈N∗倍，使得在犯错误的概率不超过0.5%的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定t的最小值．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x−ax−1．
(1)讨论fx的单调区间；
(2)若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，证明：x018.(本小题12分)
一袋中有6个均匀硬币，其中有n2≤n≤5,n∈N∗个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余6−n个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件A表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件B表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复6次试验．

(1)若n=3，
①求1次试验中摸出普通硬币个数X的分布列；
②求6次试验中事件A发生的次数Y的期望；
(2)设6次试验中事件B恰好发生1次的概率为P，当n取何值时，P最大？
19.(本小题12分)
对给定的正整数n，令Ωn=a1,a2,⋯,an|ai∈0,1,i=1,2,3,⋅⋅⋅,n.对任意x=x1,x2,⋅⋅⋅,xn，y=y1,y2,⋯,yn∈Ωn，定义x与y的距离dx,y=i=1nxi−yi.设A是Ωn的至少含有两个元素的子集，集合D=dx,y|x≠y,x,y∈A中的最小值称为A的特征值，记作χA．
(1)设A=0,0,0,0,1,1,1,0,1，B=0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1，直接写出集合A,B的特征值；
(2)当n=5时，求证：存在集合A满足对任意x∈Ω5，都存在唯一的y∈A，使得dx,y≤2，且A中不同元素之间的距离为5；
(3)当n=2024时，且χA=2，求A中元素个数的最大值．
答案解析
1.D
【解析】由x2−x−12<0，得−3由lg25−x<1，得0<5−x<2，解得3所以∁RA=xx≤−3或x≥4，所以∁RA∩B=x4≤x<5．
故选：D．
2.B
【解析】解：若a<−1，且b<−1，根据不等式的加法和乘法法则可得a+b<−2，且ab>1，即必要性成立；
当a=−3,b=−12，满足a+b<−2，且ab>1，但是b=−12>−1，故充分性不成立，
所以“a+b<−2，且ab>1”是“a<−1，且b<−1”的必要不充分条件．
故选：B．
3.D
【解析】函数y=3x在R上单调递增，而函数fx=3xx−a在区间0,32上单调递减，
则有函数y=xx−a=x−a22−a24在区间0,32上单调递减，
因此a2≥32，解得a≥3，所以实数a的取值范围是3,+∞．
故选：D
4.A
【解析】因为每局比赛A校获胜的概率为0.6，即35，
记“A校在先失一局”为事件M，“A校战胜B校”为事件N，
则PM=1−35=25,PMN=25×353+25×C31×352×25×35=59455，
所以PN|M=PMNPM=5945525=297625．
故选：A．
5.D
【解析】因为x2=151+4+9+16+25=11，y=152+17+36+103+142=60，所以a=60−6×11=−6，
所以y=6x2−6，取x=5，得y=6×52−6=144，所以第5周的预测值为144，
则此回归方程第5周的残差为142−144=−2．
故选：D
6.C
【解析】解：不等式 x2−a+1x+a<0 ，可化为 x−ax−1<0 ，
当 a=1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为空集，不合题意；
当 a>1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为 1,a ，
要使不等式 x2−a+1x+a<0 恰有四个整数解，则 5当 a<1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为 a,1 ，
要使不等式 x2−a+1x+a<0 恰有四个整数解，则 −4≤a<−3 ，
综上可得，实数 a 的取值范围是 −4,−3∪5,6 ．
故选：C．
7.B
【解析】由(13)a=2，得a=lg132lg22 2=32，
c=213<212<32，且c>0，所以a故选：B
8.B
【解析】由a>b>0，对aa=bb两边取对数得alna=blnb，令f(x)=xlnx，则f′(x)=1+lnx，当x∈0,1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈1e,+∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)min=f1e=−1e，f(1)=0，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→+∞，
alna=blnb，即f(a)=f(b)，结合图像可知，0易得f(a)>f(1e)，即alna>1eln1e，即lnaa>ln1e1e，故aa>1e1e=e−1e， D错误；
当a=12时，aa=1212,ea−1=e−12=1e12，故1212>1e12， C错误；
令F(x)=f(x)−f(2e−x)(0又2ex−x2=−(x−1e)2+1e2，由0故F(b)>F1e=0，即f(b)−f(2e−b)>0，即f(b)>f(2e−b)，又f(a)=f(b)，故f(a)>f(2e−b)，
又a∈1e,1,2e−b∈1e,2e，由上知x∈1e,+∞时，f(x)单调递增，故a>2e−b，即a+b>2e， B正确．
故选：B．
本题关键点一在于由aa=bb得到alna=blnb，进而构造函数f(x)=xlnx，确定函数的单调性及最值，进而判断A、C、D选项；关键点二在于构造函数F(x)=f(x)−f(2e−x)(09.ACD
【解析】因为x≥1，所以y=2x+x2≥2(当且仅当x=2时取等号)；
y=x2+3 x2+2= x2+2+1 x2+2≥2，但是等号取不到；
因为函数y=3x−1x在[1,+∞)上单调递增，所以y=3x−1x≥2，当x=1时取等号；
因为x≥1，所以y=x−1+4x+1=x+1+4x+1−2≥2(当且仅当x=1时取等号)．
故选：ACD．
10.ACD
【解析】解： X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当i=1时，则P(X=2)=P(Y=3)=C31C31C51C51=925，
P(X=3)=P(Y=2)=C31C21+C21C31C51C51=1225，
P(X=4)=P(Y=1)=C21C21C51C51=425，
所以E1(X)=2×925+3×1225+4×425=145，
E1(Y)=3×925+2×1225+1×425=115，
故E1(X)+E1(Y)=5，E1(X)>E1(Y)，故A正确，B错误;
当i=2时，P(X=1)=P(Y=4)=C32C32C52C52=9100，
P(X=2)=P(Y=3)=C31C21C32+C32C21C31C52C52=925，
P(X=3)=P(Y=2)=C32C22+C31C21C31C21+C22C32C52C52=2150,
P(X=4)=P(Y=1)=C31C21C22+C22C31C21C52C52=325，
P(X=5)=P(Y=0)=C22C22C52C52=1100，
所以E2(X)=1×9100+2×925+3×2150+4×325+5×1100=135，
E2(Y)=4×9100+3×925+2×2150+1×325+0×1100=125，
故E2(X)E2(X)+E2(Y)=5，∴E1(X)+E1(Y)=E2(X)+E2(Y)，故D正确．
故选：ACD
11.ABC
【解析】因为gx+12=f2x+1，即gx=f2x−1+1，
又因为g2−x+gx=2，则f22−x−1+1+f2x−1+1=2，
可得f3−2x+f2x−1=0，即f3−x+fx−1=0，则f3−x=−f−1+x，
又因为f3−x=f1+x，则−f−1+x=f1+x，
可得fx+2=−fx，则fx+4=−fx+2=fx，
可知4为fx的周期，
由f3−x=f1+x，可得f7−x=f5+x，则f6−x=f6+x，故 A正确；
由f3−x=f1+x，可得fx=f4−x，
且fx+2=−fx，可得f4−x=−f6−x，
则fx=−f6−x，即f6−x+fx=0，故 C正确；
因为fx+4=fx，则f2x+4+1=f2x+1，
且gx=f2x−1+1，则gx+52=gx+12，
所以gx+2=gx，可知2为gx的周期，故 B正确；
由f6−x+fx=0，可得f2+f4=0，f3+f3=0，即f3=0，
由f3−x+fx−1=0，可得f1+f1=0，即f1=0，
则f1+f2+f3+f4=0，结合周期可得 24i=1 f(i)=0，
又因为g1=f1+1=1,g2=f3+1=1，
可得g1+g2=2，结合周期可得 24i=1 g(i)=24，
所以 24i=1 [f(i)+g(i)]= 24i=1 f(i)+ 24i=1 g(i)=24，故 D错误；
故选：ABC．
或750
【解析】因为X∼N2,σ2，所以PX<2=PX>2=0.5，因此PX>2.5=PX>2−P2故答案为：0.14．
13.2 2
【解析】解：因为函数y=fx+ex为偶函数，则f−x+e−x=fx+ex，
即fx−f−x=e−x−ex，①
又因为函数y=fx−3ex为奇函数，则f−x−3e−x=−fx+3ex，
即fx+f−x=3ex+3e−x，②
联立①②可得fx=ex+2e−x，
由基本不等式可得fx=ex+2e−x≥2 ex⋅2e−x=2 2，
当且仅当ex=2e−x时，即当x=12ln2时，等号成立，
故函数fx的最小值为2 2．
故答案为：2 2
14.14【解析】因为f(x)=xx−1−1,x≥01x−1,x<0,
所以f(1−x)+1=(1−x)x,x≤1−1x+1,x>1,
则函数g(x)=f(1−x)−ax+1恰有2个零点等价于f(1−x)+1=ax有两个不同的解，
故y=f(1−x)+1，y=ax的图象有两个不同的交点，
设g(x)=f(1−x)+1=(1−x)x,0≤x≤1−x(1−x),x<0−1x+1,x>1,
又y=g(x)，y=ax的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
当a≠0时，
考虑直线y=ax与g(x)=x−x2(0≤x≤1)的图象相切，
则由ax=x−x2可得Δ=(a−1)2−0=0，即a=1，
考虑直线y=ax与g(x)=−1x+1(x≥1)的图象相切，
由ax=−1x+1可得ax2−x+1=0，则Δ=1−4a=0，即a=14．
考虑直线y=ax与g(x)=x2−x(x≤0)的图象相切，
由ax=x2−x可得x2−(a+1)x=0，则Δ=(a+1)2−0=0，即a=−1，
结合图象可得当14综上，14故答案为：1415.解：(1)f′(x)=3x+2ax−52，
f′(1)=2a+12，f(1)=26a−52，
故直线l:y=(2a+12)(x−1)+26a−52，
将(0,3)代入，解得a=14;
(2)f(x)=3lnx+x24−5x2+254，
f′(x)=3x+x2−52=(x−2)(x−3)2x(x>0)，
由f′(x)>0，得03;
由f′(x)<0，得2所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3,+∞);
单调递减区间为(2,3)；
f(x)在x=2处取得极大值f(2)=3ln2+94，在x=3处取得极小值f(3)=3ln3+1．
【解析】(1)求导，利用导数的几何意义结合直线方程的求解求出l，代入(0,3)，即可求出a；
(2)求导，利用导数的正负可得函数单调区间，从而可得函数极值．
16.解：(1)由已知PA|B=1−PA|B=1−14=34，
PA|B=1−PA|B=1−34=14，
又因为P(B)=45，所以PB=1−PB=1−45=15，
所以PA=PB⋅PA|B+PB⋅PA|B=45×34+15×14=1320，
又PAB=PA|B⋅PB=34×45=35，
所以PAB≠PAPB，
所以A与B不为独立事件；
(2)根据原数据有nad−bc2a+bc+da+cb+d=1.35
若将样本容量调整为原来的t(t∈N∗)倍，
则新的列联表为：
则χ2=ta+b+c+dt2ad−t2bc2ta+b⋅tc+d⋅ta+c⋅tb+d=ta+b+c+dad−bc2a+bc+da+cb+d=1.35t≥7.879，
解得t≥5.84，
又因为t∈N∗，所以t的最小值为6．
【解析】(1)利用条件概率公式以及全概率公式计算即可；
(2)作出新的列联表，然后求出新的χ2值，列不等式求解即可．
17.解：(1)由题意可知：f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e2x−a，
若a≤0，则f′(x)=2e2x−a>0对任意x∈R恒成立，
可知fx的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；
若a>0，令f′(x)>0，解得x>12lna2；令f′(x)<0，解得x<12lna2；
可知fx的单调递增区间为12lna2,+∞，单调递减区间为−∞,12lna2；
综上所述：若a≤0，fx的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；
若a>0，fx的单调递增区间为12lna2,+∞，单调递减区间为−∞,12lna2．
(2)因为f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，
所以存在唯一的x0∈0,+∞，有f(x0)=e2x0−ax0−1=0，化简得a=e2x0−1x0，
若要证明x00,x0>0，
不妨设ℎx=e2x−x+12,x>0，求导得ℎ′x=2e2x−2x+1,x>0，
令ux=ℎ′x=2e2x−2x+1,x>0，继续求导得u′x=4e2x−2>4−2=2>0,x>0，
所以当x>0时，ℎ′x=2e2x−2x+1单调递增，
所以ℎ′x=2e2x−2x+1>ℎ′0=0，
所以当x>0时，ℎx=e2x−x+12单调递增，
所以ℎx=e2x−x+12>ℎ0=0，
即当x0>0时，有不等式e2x0−x0+12>0成立，
综上所述：若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，则x0 【解析】(1)求导，分a≤0和a>0两种情况，利用导数求原函数的单调区间；
(2)由题意可得a=e2x0−1x0，若要证明x00,x0>0，通过构造函数ℎx=e2x−x+12,x>0，连续求导即可得证．
18.解：(1)当n=3时，
①由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，
则PX=0=C32C62=15，PX=1=C31C31C62=35，PX=2=C32C62=15，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
②由题意可知，一次试验中事件A发生的概率为PA=C32+C32⋅122+C31C31⋅12C62=1120，
所以，Y∼B6,1120，则EY=6×1120=3310．
(2)一次试验中，事件B发生的概率为PB=Cn2⋅122C62=nn−11202≤n≤5,n∈N∗，
所以，6次试验中事件B恰好发生1次的概率P=C61⋅nn−1120⋅1−nn−112052≤n≤5,n∈N∗，
令fx=x1−x5，其中0当00，此时，函数fx单调递增，
当16所以，当x=16时，函数fx取最大值，
因为2≤n≤5且n∈N∗时，nn−1120∈160,120,110,16，
故当n=5时，P取最大值．
【解析】(1)①分析可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，利用超几何分布可得出随机变量X的分布列；
②求出PA的值，分析可知，随机变量Y∼B6,PA，利用二项分布的期望公式可求得EY的值；
(2)求出P的表达式，构造函数fx=x1−x5，其中019.解：(1)由题意可知：对任意x,y∈A，且x≠y，均有dx,y≥1，
对于集合A：对任意x,y∈A，且x≠y，
均有dx,y=x1−y1+x2−y2+x3−y3=2，所以χA=2；
集合B：取x=0,0,0y=0,0,1或x=0,0,1y=0,1,1或x=0,1,1y=1,1,1,
可得dx,y=x1−y1+x2−y2+x3−y3=1，所以χB=1．
所以χA=2，χB=1．
(2)对任意a,b∈0,1，则1−a∈0,1，且a−1−a=1，a−b+1−a−b=1，
对任意m=m1,m2,m3,m4,m5∈Ω5，定义m=1−m1,1−m2,1−m3,1−m4,1−m5∈Ω5，
则dm,m=5，
且对任意x=x1,x2,x3,x4,x5∈Ω5，则dx,m+da,m=5，
令集合A=m,m，由dm,m=5可知满足A中不同元素之间的距离为5，
由题意可知：对任意m,x∈A，且m≠x，均有dx,m≥1，
若dx,m≤2，则令y=m，即满足dx,y≤2；
若dx,m≥3，则令y=m，则dx,m=5−dx,m≤3，即满足dx,y≤2；
综上所述：存在集合A满足对任意x∈Ω5，都存在唯一的y∈A，使得dx,y≤2，且A中不同元素之间的距离为5．
(3)由题意可知：对任意x,y∈A，且x≠y，均有dx,y≥1，
对任意的a=a1,a2,a3,⋯,a2021,a2024∈A，
即fa=a1,a2⋯,a2023,1−a2024，
则da,fa=1−2a2024=1<2，故fa∉A，
即对任意a∈A，均能对应一个元素fa∉A，
令集合B=fa|a∈A，则A∩B=⌀，
则A∪B⊆Ω2024且A和B的元素个数相同，
又因为Ω2024中共有22024个元素，其中至多一半属于A，故A中至多有22023个元素；
设A={a=a1,a2,a3,⋯,a2023,a2024∈Ω2024|a1+a2+⋅⋅⋅+a2024是偶数}，
则对任意的x=x1,x2,⋯,x2024，y=y1,y2,⋯,y2024∈A，x≠y，
都有A中的元素个数为C20240+C20242+C20244+⋅⋅⋅+C20242024=22023，
易得dx,y=x1−y1+x2−y2+⋅⋅⋅+x2024−y2024与x1+y1+x2+y2+⋅⋅⋅+x2024+y2024奇偶性相同，
可知d(x,y)为偶数，
又x≠y，则d(x,y)>0，所以d(x,y)≥2，
注意到0,0,0,0,⋯,0,0，1,1,0,0,⋯,0,0∈A且它们的距离为2，
故此时A满足题意；
综上所述：A中元素个数的最大值为22023．
【解析】(1)根据x与y的距离d(x,y)的定义，直接求出d(x,y)的最小值即可；
(2)定义对任意m=m1,m2,m3,m4,m5∈Ω5，定义m=1−m1,1−m2,1−m3,1−m4,1−m5∈Ω5，可得dm,m=5，dx,m+da,m=5，进而分析证明；
(3)一方面先证明A中元素个数至多有22023个元素，另一方面证明存在集合A中元素个数为22023个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值；
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(Y)
2
17
36
103
142
兴趣高
兴趣不高
总计
主动预习
a
b
a+b
不太主动预习
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
Pχ2≥k
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
兴趣高
兴趣不高
总计
主动预习
ta
tb
ta+b
不太主动预习
tc
td
tc+d
总计
ta+c
tb+d
ta+b+c+d
X
0
1
2
P
15
35
15