2021-2022学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在小时末的瞬时速度是(    )

A. 千米小时 B. 千米小时 C. 千米小时 D. 千米小时

3. 一名老师和四名学生站成一排照相，则老师站在正中间的不同站法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 在展开式中，含项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知曲线在处的切线方程是，则与的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 从，，，，中任取个不同的数，事件：“取到的个数之和为偶数”，事件：“取到的个数均为偶数”，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题错误的是(    )

A. 随机变量，若，则
B. 线性回归直线一定经过样本点的中心
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
D. 设，且，则

8. 已知数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则(    )

A. 有最小值，有最小值 B. 有最大值，有最大值
C. 有最小值，有最大值 D. 有最大值，有最小值

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

11. 离散型随机变量的分布列如表：

则______；______．

12. 在的展开式中，二项式系数之和为______；各项系数之和为______用数字作答
13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是          ．
14. 在数列中，，，，则______．
15. 若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”已知函数，，有下列命题：
    直线为和的“隔离直线”．
    若为和的“隔离直线”，则的范围为
    存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．
    和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．
    其中所有正确命题的序号是______．

三、解答题（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列．
    求数列的通项公式；
    记，求数列的前项和．
17. 本小题分
    某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击次．
    Ⅰ求恰有次击中目标的概率；
    Ⅱ现在对射手的次射击进行计分：每击中目标次得分，未击中目标得分；若仅有次连续击中，则额外加分；若次全击中，则额外加分．记为射手射击次后的总得分，求的分布列与数学期望．
18. 本小题分
    已知函数，当时，取得极值．
    Ⅰ求，的值；
    Ⅱ若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 本小题分
    某单位共有员工人，其中男员工人，女员工人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取名员工进行考核．
    Ⅰ求抽取的人中男、女员工的人数分别是多少；
    Ⅱ考核前，评估小组从抽取的名员工中，随机选出人进行访谈．设选出的人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
    Ⅲ考核分笔试和答辩两项．名员工的笔试成绩分别为，，，，；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为，，，，这名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．只需写出结论
20. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
    Ⅱ若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等差数列的通项公式，
则，，
则它的公差为．
故选：．
等差数列的通项公式，求出，，它的公差为．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，，则，
则，
所以物体在小时末的瞬时速度是千米小时．
故选：．
根据题意，求出的导数，由导数的定义计算物体在小时末的瞬时速度即可．
本题考查导数的计算，涉及导数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
、老师站在正中间，有种情况，
、将四名学生全排列，安排在两边的个位置，有种排法，
则人不同的站法有种．
故选：．
根据题意，分步进行分析：、由于老师站在正中间，易得其站法数目，、将四名学生全排列，安排在两边的个位置，由排列数公式可得学生的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查了排列、组合的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为，
故选：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：曲线在处的切线方程是，
；且．
故选：．
由切点处的函数值相等求解，再由导数的几何意义可得．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，由条件概率的计算公式得．
故选：．
根据条件概率的公式计算即可．
本题考查了条件概率，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，随机变量，，
则，解得，故A正确，
对于，由线性回归方程的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确，
对于，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故C正确，
对于，若，且，
则，
所以，故D错误．
故选：．
对于，结合二项分布的期望公式，即可求解，
对于，结合线性回归方程的性质，即可求解，
对于，结合相关系数的定义，即可求解，
对于，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查命题真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于，
所以；
故．
故选：．
首先利用关系式的变换整理得，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的变换，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，函数的定义域为，
令，即，即，
设，可得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，作出简图，如图所示，

要使得函数有两个零点，
只需与的图像有两个交点，所以，
即实数的取值范围是．
故选：．
令，转化为，设，利用导数求得函数单调性和最值，把函数的零点，转化为与的图像有两个交点，结合图像，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的零点，已知零点个数求参数的取值范围的方法等知识，属于中等题．
 

10.【答案】 

【解析】解：等差数列的前项和为，前项积为，，，
，解得，，
，
由，解得，，
等差数列的前项和满足最小，无最大值，
，，，，，，，，
，，，，，，，
当时，，且为递减数列，
有最大值，没有最小值．
故选：．
根据已知条件求得，，进而是求得，结合数列的有关性质确定正确选项．
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】  

【解析】解：由分布列可知：，得：
所以
．
故答案为：．
根据分布列的性质求出参数，再计算期望和方差．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】   

【解析】解：展开式的二项式系数和为，
令，则各项系数和为，
故答案为：；．
根据二项式系数和公式即可求解，再令，即可求出各项系数和．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性，导数的运算，考查转化思想，是基础题．
由求导公式和法则求出，由题意和导数与函数单调性的关系可得：在上恒成立，利用二次函数的图象和列出不等式，求出实数的取值范围．

【解答】

解：由题意知，，
则，
在上是单调函数，
在上恒成立，
则，解得，
实数的取值范围是，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：由，，可依次求得，，，，可知数列各项值以为周期进行周期性变化，所以．
故答案为：．
由，，可依次求得，，，，然后根据周期性可得值．
本题考查数列递推公式应用，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为当时，，，所以直线为和的“隔离直线“，所以正确，
，因为为和的“隔离直线”，所以恒成立，所以，即，
同时恒成立，所以恒成立，因为，当且仅当，即时，取等号，则综上，所以错误，
对于，设，之间的隔离直线为，即，恒成立，所以，所以，
因为，所以恒成立，当时，不合题意，当，时，符合题意，
当时，令，对称轴为，所以只需满足所以且，所以，所以，同理可得，
所以和之间一定存在“隔离直线“，且的最小值为，和之间有无数条“隔离直线“，且实数不唯一，所以错误，正确，
故答案为：．
根据“隔离直线”的定义，建立不等式关系，根据不等式恒成立分别进行判断即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，根据“隔离直线”的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键，是中档题．
 

16.【答案】解：由题意可得，
即，
解得：，
数列的通项公式为；
，

． 

【解析】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，属于较易题．
由题意可得，由公比为，把、、用表示，求得，可得数列的通项公式；
利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后用分组求和法求解数列的和即可．
 

17.【答案】解：记“射手射击次，佮有次击中目标”为事件，
因为射手每次射击击中目标的概率是，
所以；
由题意可得，的可能取值为，，，，，
；
，
；
所以的分布列如下：

因此，． 

【解析】先记“射手射击次，恰有次击中目标”为事件，根据题中条件，即可得出结果；
先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可．
本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由，
当时，的极值为，
，解得，
Ⅱ由Ⅰ可得，
不等式对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，即．
，
由得或，由得，
函数的单调递增区间是和 ，单调递减区间是，
当，，
，即，
或，
即实数的取值范围是． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，即可求出，的值；
Ⅱ问题转化为对任意恒成立，利用导数求出的最小值，从而求出的范围即可．
本题考查了函数的极值与最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ抽取的人中男员工的人数为，
女员工的人数为分
Ⅱ由Ⅰ可知，抽取的名员工中，有男员工人，女员工人．
所以，随机变量的所有可能取值为，，．
根据题意，，，．
随机变量的分布列是：

数学期望 分
Ⅲ          分 

【解析】Ⅰ利用抽取的比例即可得出．
Ⅱ由Ⅰ可知，抽取的名员工中，有男员工人，女员工人．所以，随机变量的所有可能取值为，，利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望分
Ⅲ利用方程计算公式即可得出结论．
本题考查了分层抽样、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ，所以，，
故切线方程是：，即．
Ⅱ当时，令，则有，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即当时，，不符合要求；
当时，对于，有，
则，不存在满足题意；
当时，令，，
则有．
由得．
解得，．
当，，故G在上单调递增．
取，所以当时，，即．
综上所述，的取值范围是． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
Ⅱ分类讨论，当时，令，，根据函数的单调性可得，不符合要求；当时，对于，有，不合题意；当时，令，，根据函数的单调性确定的范围即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式恒成立求解参数范围问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．