2024江西省重点中学协作体高二下学期期末考试数学含解析

这是一份2024江西省重点中学协作体高二下学期期末考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了 集合的子集的个数是， 命题“，”的否定是， 若，且，则．， 已知函数， 已知函数则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的子集的个数是（ ）
A. 16B. 8C. 7D. 4
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若，且，则（ ）．
A 6B. 7C. 8D. 9
4. 设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
5. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件.
A 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
7. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. 8minD.
8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的定义域为
B. 函数有最小值
C. 当时，函数的值域为R
D. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数为偶函数
B. 函数的值域为
C. 若，则的最小值为
D. 不等式的解集为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
13. 已知数列的前项和为，则当最小时，的值为__________.
14. 已知函数定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有__________个零点.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15 已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
16. 已知关于x的函数，其中．
（1）当时，求的值域；
（2）若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值．
17. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
18. 已知数列满足.记.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，数列的前项和为，求证：.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.江西省重点中学协作体2023~2024学年度高二期末联考
数学
本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的子集的个数是（ ）
A. 16B. 8C. 7D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合有2个元素，
所以集合的子集个数是.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：D
3. 若，且，则（ ）．
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出的解析式，再利用即可求出结果.
【详解】因为，令，则，
所以，即，
又，所以，得到，
故选：A.
4. 设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数与的单调性可得答案.
【详解】由函数在上是单调递减函数，则，即
由函数在上是单调递增函数，则，即
所以
故选：A
5. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：，
时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：C.
6. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列等差中项的应用即可判断充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，
设等差数列首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，
无法推出，可得必要性不成立，
则“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
7. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. 8minD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间．
【详解】由题意可知，当时，，则，解得，
所以，
当时，，即，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故选：B.
8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.
【详解】设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则的取值范围是:.
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确；
对于C中，由，可得C错误；
对于D中，由，可得D错误.
故选：AB.
10. 已知函数则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的定义域为
B. 函数有最小值
C. 当时，函数的值域为R
D. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.
【详解】对于A，当时，，令，解得或，
则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，
且当时，，则，解得，
所以实数a的取值范围是，故D错误.
故选：AC
11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数为偶函数
B. 函数的值域为
C. 若，则的最小值为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，代值验证即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，先求出的范围，然后根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D，解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果.
【详解】对于A，，显然，故错误；
对于，由取整函数的定义知：，
函数的值域为，故B正确；
对于C，由于，则，易知，
而函数在上单调递增，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，，则，故，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知数列的前项和为，则当最小时，的值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用通项的正负性可求.
【详解】根据题意，数列中，，
当时，有，当时，有，
则当时，最小.
所以当最小时，.
故答案为：6
14. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有__________个零点.
【答案】6
【解析】
【分析】由的图象关于点对称得到是奇函数，由得到的图象关于直线对称，进而得到是函数的一个周期，由当时的解析式得到函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，由上的草图结合周期性和对称性得到零点个数.
【详解】的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且，
又，即函数的图象关于直线对称，且，
，是函数的一个周期，.
当时，，所以在上单调递增，且，，
函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，
由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点，
是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，，
函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点，
函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点，
结合，得函数在区间上有6个零点.
故答案为：6.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定或，，再计算补集和并集即可.
（2）确定，考虑和两种情况，计算得到答案.
【小问1详解】
集合或，，
故，.
【小问2详解】
因，所以，
当时，，所以；
当时，或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
16. 已知关于x的函数，其中．
（1）当时，求的值域；
（2）若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值．
【答案】（1）
（2）或1．
【解析】
【分析】（1）用换元法转化函数为二次函数在部分区间的值域问题，由二次函数的单调性计算即可；
（2）分离参数将问题转化为恒成立，计算在上的最大值后解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
当时，，
令，则，
显然该二次函数在上单调递增，
所以值域为．
小问2详解】
由题可知，在上恒成立．
，
又易知在上单调递增．
所以，
因此，
解得，
又为整数，所以或1．
17. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】（1）
（2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大
【解析】
【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植总面积最大，最大面积为.
18. 已知数列满足.记.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得.
（2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和及错位相减法求和即得.
（3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得
【小问1详解】
由，得，而，则，
又，因此，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，则，
令数列的前项和为，则，
，
两式相减得，则，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，
，
而，所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极大值，无极小值
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，由导函数的正负确定函数单调性，即可根据极值点定义求解，
（2）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，
（3）构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解，或者利用对数运算，结合换元法将不等式转化为，设，求导求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
当时，，
求导得，由，得，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
【小问2详解】
由，
在时，，
若，,即在区间上单调递增；
若，,即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，
在上单调递减.
【小问3详解】
方法1：
根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，故，此时单调递减，
时，，，此时单调递增，
则，
，即.
方法2：由，
，
设，则，
设，则，
当单调递减；
当单调递增；
.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.