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山东省烟台市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份山东省烟台市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了4 B等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用05毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知事件与事件互为对立事件，且，则（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
2.给定一组数据：，则其分位数为（ ）
A.17 B.18 C.19 D.20
3.某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
4.在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.若是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ）
A.存在与都平行的直线 B.存在与都垂直的平面
C.存在过且与垂直的平面 D.存在过且与平行的平面
7.如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中.以为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（ ）
A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥
C.甲与乙独立 D.乙与丙独立
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（ ）
A.平均数不变 B.中位数不变
C.方差不变 D.极差不变
11.已知是边长为2的等边三角形相应边的中点，分别沿着把向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到多面体，则（ ）
A.多面体中直线与所成的角为
B.多面体中直线与平面所成的角为
C.多面体的体积为
D.多面体外接球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数据的众数为4，则其标准差为__________.
13.若某正四棱台的上､下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为__________.
14.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为__________.在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为__________.（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为，
（1）求“为偶数”的概率；
（2）求“”的概率.
16.（15分）每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差.
17.（15分）如图，在四棱锥中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若分别为的中点，求证：平面平面.
18.（17分）甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为；且各局比赛结果互不影响.
（1）求经过3局比赛，对抗赛结束的概率；
（2）求甲代表队赢得对抗赛的概率.
19.（17分）如图，在拴三棱锥中，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面与平面的交线为，求二面角的正切值；
（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
2023~2024学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学参考答案及评分标准
一､选择题
1-8CDBC ADBC
二､多选题
9.BC 10.ABD 11.ACD
三､填空题
12.3 13. 14.，
四､解答题
15.解：（1）由题意知，样本空间，，共16个样本点.
设事件“为偶数”，则
，共12个样本点.
所以，即“为偶数”的概率为.
（2）由（1）知，样本空间包含16个样本点.
设事件“”，则，，共10个样本点.
所以，即“”的概率为.
16.解：（1）由题意知，，解得
（2）根据频率分布直方图，
所以.
（3）由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40，
所以，
所以.
17.证明：（1）因为，所以.
又因为平面平面，所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）延长交于，
因为分别为中点，
所以，又平面平面，
所以平面.
因为，所以，又为中点，所以，
注意到，所以，所以.
又因为，所以为中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
18.解：（1）设事件“甲第局获胜”，事件“经过3局比赛，对抗赛结束”，
由题意知，前3局比赛中，甲全胜或者全负，即，
，
，
于是，
经过3局比赛，对抗赛结束的概率为.
（2）设事件“甲赢得对抗赛”，“经过局比赛，甲赢得对抗赛”，.
则.
若，则甲､乙的积分之比为；
若，则甲､乙的积分之比为，即在前三局比赛中，甲胜两局负一局，第四局甲获胜，所以
；
若，则甲､乙的积分之比为，即在前四局比赛中，甲､乙两人各胜两局，第五局甲获胜，所以
故.
19.解：（1）设，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）设平面与平面的交线为，
又平面平面，所以.
因为，所以平面.
设为中点，则，
所以平面.
因为平面，所以.
过作，因为，
所以平面.
连接，则，
所以为二面角的平面角.
因为，所以，即，所以.
在中，，所以，
即二面角的正切值为.
（3）设在面上射影为，则为与平面所成角.
由，可得.
由，所以.
在中，由余弦定理，
解得，
所以，在线段上存在点，当时，与平面所成角大小为.
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用05毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知事件与事件互为对立事件，且，则（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
2.给定一组数据：，则其分位数为（ ）
A.17 B.18 C.19 D.20
3.某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
4.在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.若是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ）
A.存在与都平行的直线 B.存在与都垂直的平面
C.存在过且与垂直的平面 D.存在过且与平行的平面
7.如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中.以为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（ ）
A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥
C.甲与乙独立 D.乙与丙独立
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（ ）
A.平均数不变 B.中位数不变
C.方差不变 D.极差不变
11.已知是边长为2的等边三角形相应边的中点，分别沿着把向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到多面体，则（ ）
A.多面体中直线与所成的角为
B.多面体中直线与平面所成的角为
C.多面体的体积为
D.多面体外接球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数据的众数为4，则其标准差为__________.
13.若某正四棱台的上､下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为__________.
14.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为__________.在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为__________.（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为，
（1）求“为偶数”的概率；
（2）求“”的概率.
16.（15分）每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差.
17.（15分）如图，在四棱锥中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若分别为的中点，求证：平面平面.
18.（17分）甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为；且各局比赛结果互不影响.
（1）求经过3局比赛，对抗赛结束的概率；
（2）求甲代表队赢得对抗赛的概率.
19.（17分）如图，在拴三棱锥中，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面与平面的交线为，求二面角的正切值；
（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
2023~2024学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学参考答案及评分标准
一､选择题
1-8CDBC ADBC
二､多选题
9.BC 10.ABD 11.ACD
三､填空题
12.3 13. 14.，
四､解答题
15.解：（1）由题意知，样本空间，，共16个样本点.
设事件“为偶数”，则
，共12个样本点.
所以，即“为偶数”的概率为.
（2）由（1）知，样本空间包含16个样本点.
设事件“”，则，，共10个样本点.
所以，即“”的概率为.
16.解：（1）由题意知，，解得
（2）根据频率分布直方图，
所以.
（3）由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40，
所以，
所以.
17.证明：（1）因为，所以.
又因为平面平面，所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）延长交于，
因为分别为中点，
所以，又平面平面，
所以平面.
因为，所以，又为中点，所以，
注意到，所以，所以.
又因为，所以为中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
18.解：（1）设事件“甲第局获胜”，事件“经过3局比赛，对抗赛结束”，
由题意知，前3局比赛中，甲全胜或者全负，即，
，
，
于是，
经过3局比赛，对抗赛结束的概率为.
（2）设事件“甲赢得对抗赛”，“经过局比赛，甲赢得对抗赛”，.
则.
若，则甲､乙的积分之比为；
若，则甲､乙的积分之比为，即在前三局比赛中，甲胜两局负一局，第四局甲获胜，所以
；
若，则甲､乙的积分之比为，即在前四局比赛中，甲､乙两人各胜两局，第五局甲获胜，所以
故.
19.解：（1）设，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）设平面与平面的交线为，
又平面平面，所以.
因为，所以平面.
设为中点，则，
所以平面.
因为平面，所以.
过作，因为，
所以平面.
连接，则，
所以为二面角的平面角.
因为，所以，即，所以.
在中，，所以，
即二面角的正切值为.
（3）设在面上射影为，则为与平面所成角.
由，可得.
由，所以.
在中，由余弦定理，
解得，
所以，在线段上存在点，当时，与平面所成角大小为.
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